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1、工程弹塑性力学,浙江大学 建筑工程学院,第五章 简单应力状态的弹塑性问题,5.1 基本实验资料5.2 应力应变的简化模型5.3 应变的表示法5.4 理想弹塑性材料的简单桁架5.5 线性强化弹塑性材料的简单桁架5.6 加载路径对桁架内应力和应变的影响,5.1 基本实验资料,一、应力-应变曲线,（1）单向拉伸曲线,（a）有明显屈服流动阶段,拉伸试验和静水压力试验是塑性力学中的两个基本试验，塑性应力应变关系的建立是以这些实验资料为基础。,屈服应力,屈服应力,如:低碳钢,铸铁,合金钢等,如:中碳钢,高强度合金钢,有色金属等,5.1 基本实验资料,一、应力-应变曲线,经过屈服阶段后，材料又恢复了抵抗变形
2、的能力。在第二次加载过程中，弹性系数仍保持不变，但弹性极限及屈服极限有升高现象，其升高程度与塑性变形的历史有关，决定与前面塑性变形的程度。这种现象称为材料的应变强化(或加工硬化)。,材料在塑性阶段的一个重要特点：在加载和卸载的过程中应力和应变服从不同的规律：,加载,卸载,简单拉伸试验的塑性阶段：,5.1 基本实验资料,一、应力-应变曲线,（2）拉伸与压缩曲线的差异（一般金属材料）,应变10%时，基本一致；应变10%时，较大差异。,一般金属的拉伸与压缩曲线比较,用简单拉伸试验代替简单压缩试验进行塑性分析是偏于安全的。,5.1 基本实验资料,一、应力-应变曲线,（3）反向加载,卸载后反向加载，ss
3、 ssBauschinger效应,拉伸塑性变形后使压缩屈服极限降低的现象。即正向强化时反向弱化。,5.1 基本实验资料,一、应力-应变曲线,(4)断裂特性,伸长率:,标志材料的塑性特性，其值越大则材料破坏后的残余变形越大。,截面收缩率:,dk 5%：塑性材料；低碳钢dk=20%30%dk 5%：脆性材料。,5.1 基本实验资料,塑性变形有以下特点：,(2)、由于应力应变关系的非线性，应力与应变间不存在单值对应关系，同一个应力可对应不同的应变，反过来也是如此。这种非单值性是一种路径相关性，即需要考虑加载历史。,(1)、由于塑性应变不可恢复，所以外力所作的塑性功具有不可逆性，或称为耗散性。在一个加
4、载卸载的循环中外力作功恒大于零，这一部分能量被材料的塑性变形损耗掉了。,(3)、当受力固体产生塑性变形时，将同时存在有产生弹性变形的弹性区域和产生塑性变形的塑性区域。并且随着载荷的变化，两区域的分界面也会产生变化。,5.1 基本实验资料,二、静水压力(各向均匀受压)试验,(1)、体积变化,体积应变与压力的关系(bridgman实验公式),体积压缩模量,派生模量,铜：当p1000MPa时，ap7.3110-4，而bp22.710-6。说明第二项远小于第一项，可以略去不计。因此根据上述试验结果，在塑性理论中常认为体积变形是弹性的。,因而对钢、铜等金属材料，可以认为塑性变形不受静水压力的影响。但对于
5、铸铁、岩石、土壤等材料，静水压力对屈服应力和塑性变形的大小都有明显的影响，不能忽略。,5.1 基本实验资料,二、静水压力(各向均匀受压)试验,(2)、静水压力对屈服极限的影响,Bridgman对镍、铌的拉伸试验表明，静水压力增大，塑性强化效应增加不明显，但颈缩和破坏时的塑性变形增加了。,静水压力对屈服极限的影响常可忽略。,5.2 应力应变简化模型,一般应力-应变曲线：s=Ee，e es(屈服后),选取模型的标准：,1、必须符合材料的实际性质,2、数学上必须是足够地简单,5.2 应力应变简化模型,1.理想弹塑性模型,符号函数:,（软钢或强化率较低的材料）,加载:,卸载:,为一个大于或等于零的参数
6、,5.2 应力应变简化模型,1.理想弹塑性模型,用应变表示的加载准则：,加载:,卸载:,符号函数:,公式只包括了材料常数E和，故不能描述应力应变曲线的全部特征；,在s处解析式有变化，给具体计算带来困难;,理想弹塑性模型抓住了韧性材料的主要特征，因而与实际情况符合得较好。,缺点:,优点:,5.2 应力应变简化模型,2.线性强化弹塑性模型,（材料有显著强化率）,加载:,卸载:,5.2 应力应变简化模型,2.线性强化弹塑性模型,用应变表示的加载准则：,加载:,卸载:,在许多实际工程问题中，弹性应变塑性应变，因而可以忽略弹性应变。,5.2 应力应变简化模型,*刚塑性模型（忽略弹性变形）,(b)线性强化
7、刚塑性模型,(a)理想刚塑性模型,特别适宜于塑性极限载荷的分析。,总应变较大，,5.2 应力应变简化模型,3.一般加载规律,w(e)=AC/AB弹性曲线与实际曲线的相对差值,(5.12),5.2 应力应变简化模型,对线性强化弹性材料在加载时:,(5.13),5.2 应力应变简化模型,4.幂次强化模型,在0处与轴相切,理想弹性模型,理想刚塑性模型,虎克定律,只有两个参数A和n，因而也不可能准确地表示材料的所有特征。但由于解析式比较简单，而且n可以在较大范围内变化，所以也经常被采用。,(5.14),5.2 应力应变简化模型,5.Ramberg-Osgood模型(三参数模型),1，1为0.7E(初始
8、切线模量)处的应力应变,强化指数,强化系数,(5.15),流动应力s1取(sb+s0.2)/2。sb为抗拉强度，s0.2为工程屈服应力；流动应变e1=s1/E，E为弹性模量。,例：钛合金钢,有三个参数，能较好地代表真实材料，数学表达式简单。,5.2 应力应变简化模型,1).等向强化模型 拉伸和压缩时的屈服极限相等,2).随动强化模型 拉伸和压缩的弹性范围不变,6.反向加载应力-应变简化模型,等向强化：OABB随动强化：OABB,(5.16),例：线性强化的情形,(5.17),(5.18),塑性应变按绝对值进行累积,5.2 应力应变简化模型,解：,例题：,已知一单向加载过程的应力路径为01.5s
9、s 0 ss 0，材料符合线性随动强化规律，强化模量E=E/100，试求出对应的应变路径。,应变路径为：051ss/E 49.5ss/E ss/E 0,5.2 应力应变简化模型,例2：,应力路径：01.5ss 0 1.2ss 0,应变路径：,解：,051es 49.5es 21es 19.8es,5.3 应变的表示法,工程应变：,自然应变/对数应变：,原始长度,变形后长度,(5.19),适用于大变形,(5.20),(5.21),不适用于大变形,在塑性变形较大时，用-曲线不能真正代表加载和变形的状态。,颈缩阶段：,应变；应力,不符合材料的实际情况,5.3 应变的表示法,工程应变与自然应变的关系：
10、,（1）小变形时，e E；变形程度越大，误差越大。,(5.22),当变形程度小于10%时，两值比较接近。,小变形与大变形界限的由来,5.3 应变的表示法,工程应变与自然应变的关系：,（2）自然应变为可加应变，工程应变为不可加应变,(5.23),例如：l0 1.5l0 1.8l0 2l0,假设某物体原长l0，经历l1，l2变为l3，总相对应变为：,各阶段的相应应变为：,5.3 应变的表示法,工程应变与自然应变的关系：,（2）自然应变为可加应变，工程应变为不可加应变,(5.24),用自然应变表示变形程度：,各阶段的相应应变为：,(5.25),5.3 应变的表示法,工程应变与自然应变的关系：,（3）
11、自然应变为可比应变，工程应变为不可比应变,失去了可以比较的性质,可以比较,5.4 理想弹塑性材料的简单桁架,平衡方程：,如图，三杆桁架受竖向力P作用，杆件截面均为A，试作弹塑性分析。,消去N3，并用应力表示：,(5.26),变形协调关系：,(5.27),5.4 理想弹塑性材料的简单桁架,一、弹性阶段（P Pe）,应力-应变关系：,（Pe：弹性极限荷载）,联立(5.26)(5.29),(5.28),(5.29),(5.30),(5.31),当s2=ss时，桁架内将出现塑性状态，相应的荷载为弹性极限荷载Pe,(5.32),对应A点位移为:,(5.34),(5.33),(5.30),(5.31)变为
12、,5.4 理想弹塑性材料的简单桁架,二、弹塑性阶段（P Pe）,（塑性流动阶段）,约束塑性变形阶段：,杆2已屈服，杆1、3仍为弹性,塑性流动阶段：,3杆均屈服,相应的荷载为塑性极限荷载,点A的位移：,(5.38),(5.35),(5.36),(5.37),5.4 理想弹塑性材料的简单桁架,弹性与塑性极限荷载（极限位移）的关系：,荷载-挠度曲线：,(5.39),5.4 理想弹塑性材料的简单桁架,卸载符合弹性规律。设荷载变化为DP，则由式(5.33)得,三、卸载,若加载至P*（Pe P*Ps）再卸载至零，即DP=P*，则残余应力和应变为,(5.40),整体处于弹塑性阶段时杆1的应力,弹性阶段的应力
13、,(5.41),对于超静定结构，卸去外荷载后，残余应变塑性应变，它含有弹性应变。,5.4 理想弹塑性材料的简单桁架,从P*卸载至零的过程为弹性变形过程，从零再重复加载到P*（P*Pe），此过程仍为弹性过程。这相当于将弹性范围由扩大了。,四、重复加载,这种使其弹性范围扩大的有利的残余应力状态称为安定状态。,5.5 线性强化弹塑性材料的简单桁架,联立平衡和协调方程可求得,平衡方程与协调方程不变,加载过程，物理方程改变部分：,1.弹性阶段(P Pe)：与理想弹塑性相同,2.约束塑性变形阶段(P Pe)：,(5.42),(5.43),5.5 线性强化弹塑性材料的简单桁架,(杆1、3进入屈服),3.塑性
14、流动阶段(P Pe)：,(5.44),与理想弹塑性材料的比较：,(5.45),如考虑中等强化情形:,说明这时理想塑性的近似还是比较好的，考虑强化对它的影响不大。,5.5 线性强化弹塑性材料的简单桁架,考虑随动强化，加载应力范围为2ss，即要求Ds2 2ss，,4.卸载：,仍按弹性规律变化,卸载后杆2转为压应力，是否会进入压缩塑性状态？,最大安定荷载,5.5 线性强化弹塑性材料的简单桁架,图示等截面杆，截面积为A，在x=a(ab)处作用集中力P，试求弹性极限荷载Pe和塑性极限荷载Ps。若加载至Pe P*Ps时卸载，试求残余应力和残余应变。材料分别为:(1)理想弹塑性；(2)线性强化弹塑性。,例题
15、：,解：,平衡方程：,变形协调方程：,5.5 线性强化弹塑性材料的简单桁架,(1)理想弹塑性,弹性阶段：,代入变形协调方程，可得：,联立平衡方程，可得：,5.5 线性强化弹塑性材料的简单桁架,弹塑性阶段：由s1=ss，并利用平衡方程得：,卸载：加载至Pe P*Ps时卸载，即DP=P*。因卸载符合弹性规律，故,5.5 线性强化弹塑性材料的简单桁架,残余应力和应变为,5.6 加载路径对桁架应力应变的影响,加载方案,时:,(5.46),5.6 加载路径对桁架应力应变的影响,加载方案,由,从零开始增加Q，P将相应改变,对应的应力增量和应变增量的平衡方程：,(5.47),(5.48),保持y不变，即 y=0；施加Q，则 x0,杆1，2仍保持塑性状态,杆3卸载,5.6 加载路径对桁架应力应变的影响,加载方案,从(5.47)可得：,(5.49),当 3=-2 s；使3=-s时，杆3进入压缩屈服，整个桁架进入塑性流动阶段,叠加上初始值后：,保持 的比例，一直加载到方案一的最终状态,5.6 加载路径对桁架应力应变的影响,加载方案,弹性阶段,最大,对应的应力和位移,再继续加载,5.6 加载路径对桁架应力应变的影响,加载方案,对应的应力和位移,(5.50),
