平差数学模型与最小.ppt

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1、,第二章 平差数学模型与最小二乘原理,2-1 测量平差概述,在测量工作中，为了确定待定点的高程，需要建立水准网，为了确定待定点的平面坐标，需要建立平面控制网（包括测角网、测边网、边角网），我们常把这些网称为几何模型。每种几何模型都包含有不同的几何元素，如水准网中包括点的高程、点间的高差，平面网中包含角度、边长、边的坐标方位角以及点的二维或三维坐标等元素。这些元素都被称为几何量。,在诸多几何量中，有的可以直接测量，但更多的是通过测定其它一些量来间接求出。如根据一点的坐标，通过直接测定的角度和距离求定另一些点的坐标；根据一点的高程，通过直接测定的高差求定另一些点的高程等等。这也充分说明要确定一个几

2、何模型，并不需要知道其中所有元素的大小，只需知道其中的一部分就可以了，其它元素可以通过它们之间的函数描述而确定出来，这种描述所求量与已知量之间的关系式称为函数模型。,随着几何模型的不同，它所需要知道的元素的个数与类型也有所不同，要唯一地确定几何模型，就必须弄清楚至少需要观测哪些元素以及哪些类型的元素。例如：,如图2-1的三角形ABC中，为了确定它的形状，只需要知道其中任意两个内角的大小就可以了，如、或、或、等。它们都是同一类型的元素。,要确定该三角形的大小和形状，就必须知道三个不同的元素，即任意的一边两角、任意的两边一角或者是三边。,如：或 或 等，它们中间都至少包含一条边长，否则只能确定其形

3、状，而不能确定其大小，该情况包含两类元素（角度和边长）。,要确定该三角形的大小、形状和它在一个特定坐标系中的位置和方向，则必须知道图中15个元素中的6个不同的元素，当然，这6个元素可以构成更多的组合，但不论哪一种组合，都至少要包含一个点的坐标和一条边的坐标方位角，这是确定其位置和方向不可缺少的元素，通常称其为外部配置元素，它们的改变只相当于整个网在坐标系中发生了平移和旋转，并不影响该三角形的内部形状和大小。,所以三角形中如果没有已知点坐标和已知方位角时，也可以假定一个点的坐标和一条边的方位角，这就相当于将该三角形定位于某个局部坐标系中，实际上只需要3个元素就可以了。如果A、B两点都是已知点，为

4、确定三角形的大小、形状、位置和方向，则只需要任意两个元素就行了，如两角、两边或一边一角等。,从上面例子可知，一旦几何模型确定了，就能够唯一地确定该模型的必要观测元素的个数。我们把能够唯一地确定一个几何模型所必要的元素，称为必要观测元素。,必要观测元素的个数用t表示，称为必要观测个数。对于上面三种情况，必要观测元素个数分别为t=2,t=3和t=3。而对于后两种情况，不仅要考虑必要观测元素的个数，还要考虑到元素的类型，否则就无法唯一地确定模型。必要观测个数t只与几何模型有关，与实际观测量无关。,必要观测元素的个数用t表示，称为必要观测个数。对于上面三种情况，必要观测元素个数分别为t=2,t=3和t

5、=3。而对于后两种情况，不仅要考虑必要观测元素的个数，还要考虑到元素的类型，否则就无法唯一地确定模型。必要观测个数t只与几何模型有关，与实际观测量无关。,一个几何模型的必要观测元素之间是不存在任何确定的函数关系的，即其中的任何一个必要观测元素不可能表达为其余必要观测元素的函数。在上述情况中，任意三个必要观测元素，如 之间，其中 不可能表达成 的函数，除非再增加其它的量。这些彼此不存在函数关系的量称为函数独立量，简称独立量。,在测量工作中，为了求得一个几何模型中的几何量大小，就必须进行观测，但并不是对模型中的所有量都进行观测。假设对模型中的几何量总共观测n个，当观测值个数小于必要观测个数，即nt

6、,显然无法确定模型的解；,式中n是观测值个数，t是必要观测个数，r称为多余观测个数，表示有r个多余观测值，在统计学中也叫自由度。,既然一个几何模型能通过t个必要而独立的量唯一的确定下来，这就意味着在该模型中，其它的量都可以由这t个量确定下来，即模型中任何一个其它的量都是这t个独立量的函数，都与这t个量之间存在有一定的函数关系式。现在模型中有r个多余观测量，因此，一定也存在着r个这样的函数关系式。,再如上述中，如果观测了角度、和边长，即n=5,t=3,则r=2,它们的真值之间也存在如下关系式：,由此可见，每增加一个多余观测，在它们中间就必然增加且只增加一个确定的函数关系式，有多少个多余观测，就会

7、增加多少个这样的关系式。这种函数关系式，在测量平差中称为条件方程。,即观测值产生了矛盾，从而使观测值不能完全吻合于几何模型。为了消除矛盾，通常用另一组被称为“观测值估值”（又叫平差值、最或是值、最或然值）来代替观测值 L，由于任何一个观测值估值都可以看作是一个改正了的观测值，是由观测值加上改正数而得到，即,（2-1-6）,式中 称为观测值 的改正数，它们必须在计算之前被计算出来。但这种改正数有无数多组（如：对三角形闭合差的分配），但从统计学角度讲，只有一组改正数能得到最优解。为求唯一的一组最优改正数，必须附加一定的约束条件，我们把按照某一准则求得观测值新的一组最优估值的计算过程叫平差。求观测值

8、的平差值是测量平差的任务之一，除此之外，还要对计算成果进行分析，衡量平差结果的精度。,2-2 测量平差的数学模型,在测量工作中，涉及的是通过观测量确定某些几何量的大小等有关数量问题，因此，常考虑如何建立相应的数学模型及如何解算这些模型。由于测量观测值是一种随机变量，所以，平差的数学模型与传统数学上的模型不同，它不仅要考虑描述已知量与待求量之间的函数模型，还要考虑随机模型，在研究任何平差方法时，函数模型和随机模型必须同时予以考虑。本节详细介绍平差的随机模型和常见的平差函数模型及其建立方法,在科学技术领域，通常对研究对象进行抽象概括，用数学关系式来描述它的某种特征或内在的联系，这种数学关系式就称为

9、数学模型。,矿区水准网示意图:,如何对各段高差按照一定规则进行改正,满足各闭合环的闭合差等于零的要求!,某矿井下导线示意图:,如何对各段各角和边进行改正,满足各附合路线的要求!,如图3-8所示，为一四等附合导线，测角中误差=2.5，测边所用测距仪的标称精度公式=5mm+5ppmD。已知数据和观测值见表3-2。试按条件平差法对此导线进行平差，并评定3号点的点位精度。,三个条件:,如何对角度和边长进行改正满足上述要求!,表3-2,解：未知导线点个数n 1=3，导线边数n=4，观测角个数n+1=5近似计算导线边长、方位角和各导线点坐标，列于表3-2中,表3-3,(1)组成改正数条件方程及第3点平差后

10、坐标函数式改正数条件方程闭合差项：,=3.9,=-1.6 cm,=1.7 cm,改正数条件方程,即,v1+v2+v3+v4+v5 3.9=0,0.3868VS1-0.7857VS 2-0.0499VS 3 0.9959VS 4 1.8479V1 1.1887V2,-0.7614V3+0.0857V4+1.6=0,0.9221VS1+0.6186VS 2+0.9988VS 3-0.0906VS 4 1.2502V1 1.5267V2,0.9840V3 0.9417V4 1.7=0,W=3.9-1.6 1.7 T,第3点平差后坐标函数式,全微分得,fx3=0.3868 0.7857 0 0 1.0

11、865 0.4273 0 0 0 fy3=0.9221 0.6186 0 0-0.2662-0.5427 0 0 0,(2)确定边角观测值的权,设单位权中误差,T,T,根据提供的标称精度公式=5 mm+5ppmD计算测边中误差,根据(3-3-26)式，测角观测值的权为 P=1；为不使测边观测值的权与测角观测值的权相差过大，在计算测边观测值权时，取测边中误差和边长改正值的单位均为厘米（cm）。,(),则可得观测值的权阵为,(3)组成法方程，计算联系数、改正数及观测值平差值，得,进一步计算各导线点的坐标平差值，得,1(187966.644,29506889.663)；2(186847.270,29

12、507771.048)；3(186760.000,29509518.201),(4)精度评定1）单位权中误差,2）点位中误差权倒数：,点位中误差：,=2.46 cm,一、函数模型,函数模型是描述观测量与待求量之间的数学函数关系的模型。对于一个平差问题，建立函数模型是测量平差中最基本、最重要的问题，模型的建立方法不同，与之相应就产生了不同的平差方法。函数模型有线性与非线性之分，测量平差通常是基于线性函数模型，当函数模型为非线性时（如（2-1-4）式），总是要将其线性化。下面简述各种经典平差方法的线性函数模型及其建立方法。,1.条件平差法 下面先通过两个例子，来说明条件平差函数模型的建立方法。在图

13、2-1中，观测了三个内角，n=3，t=2，则r=n-t=1,存在一个函数关系式（条件方程），可以表示为：,再如图2-2水准网，D为已知高程水准点，A、B、C均为待定点，观测值向量的真值为,令,2.附有参数的条件平差法 在平差问题中，设观测值个数为n，必要观测个数为t，则可以列出r=n-t个条件方程，现又增设了u个独立量作为未知参数，且0 ut,每增加一个参数应增加一个条件方程，因此，共需列出r+u个条件方程，以含有参数的条件方程为平差函数模型的平差方法，称为附有参数的条件平差法。,如图2-3的三角形ABC中，观测了三个内角、，n=3，t=2，r=n-t=1，平差时选A为平差参数，即u=1，此时

14、条件方程个数应为r+u=2个，它们可以写成：,则上式可写成,令,一般而言，在某一平差问题中,观测值个数为n，必要观测个数为t，多余观测个数为r=n-t，再增选u个独立参数，0 ut，则总共应列出c=r+u个条件方程，其一般形式为,(2-2-7),3.间接平差法(参数平差法)由前所述，一个几何模型可以由t个独立的必要观测量唯一的确定下来，因此，平差时若把这t个量都选作参数，即u=t（这是独立参数的上限），那么通过这t个独立参数就能唯一地确定该几何模型，换句话说，模型中的所有量都一定是这t个独立参数的函数，每个观测量也都可以表达为所选t个独立参数的函数。,选择几何模型中t个独立量为平差参数，将每一

15、个观测量表达成所选参数的函数，共列出r+u=r+t=n个这种函数关系式，以此作为平差的函数模型的平差方法称为间接平差。,如图2-3三角形ABC中，观测了三个内角、，n=3，t=2，r=n-t=1，平差时选A、B为平差参数，即，u=2，共需列出r+u=3个函数关系式，列立方法是将每一个观测量表达成所选参数的函数，由图知：,一般而言，如果某一平差问题中,观测值个数为n，必要观测个数为t，多余观测个数为r=n-t，再增选u个独立参数，u=t，则总共应列出c=r+u=n个函数关系式，其一般形式为,4.附有限制条件的间接平差 如果在某平差问题中，选取ut个参数，其中包含t个独立参数，则多选的s=u-t个

16、参数必定是t个独立参数的函数，即在u个参数之间存在着s个函数关系式。方程的总数c=r+u=r+t+s=n+s个，建立模型时，除了列立n个观测方程外，还要增加参数之间满足的s个条件方程，以此作为平差函数模型的平差方法称为附有条件的间接平差。,其函数模型的一般形式为,5.附有条件的条件平差（综合平差模型）上面几种模型的建立，对参数的选择都提出了相应的要求，如：条件平差u=0；附有参数的条件平差0t，要求包含t个独立参数。,附有条件的条件平差的基本思想是：对于一个平差问题，若增选了u个参数，不论ut，也不论参数是否独立，每增加一个参数则肯定相应地增加1个方程，故方程的总数为r+u个。,如果在u个参数

17、中有s个是不独立的，或者说在这u个参数中存在着s个函数关系式，则应列出s个形如（2-2-20）的限制条件方程，除此之外再列出 c=r+u-s个形如（2-2-8）的一般条件方程，形成如下的函数模型,二、平差的随机模型,对于上面介绍的五种基本平差方法，最基本的数据就是观测值向量，进行平差时除建立其函数模型外，还要同时考虑到它的随机模型，亦即观测向量的协方差阵：,（2-2-25）,式中D为L的协方差阵，Q为L的协因数阵，P为L的权阵，为单位权方差。函数模型连同随机模型，就称为平差的数学模型。在进行平差计算前，函数模型和随机模型必须首先被确定，前者按上面介绍的方法建立，后者须知道P、Q、D其中之一。一

18、般是按第一章介绍的方法进行平差前经验定权。可以通过平差计算求出 的估值确，然后根据公式 求得D的估值。,例2-1 如图2-4水准网中，A,B点为已知水准点，点 为待定水准点，观测高差为。试按下面不同情况，分别列出相应的平差函数模型：,4.若选 的平差值为未知参数 时；5.若选 的平差值为未知参数 时。,3.u=1t，属于附有参数的条件平差，方程个数为t+u=3,4.u=t=2但相关，属于附有条件的条件平差。方程总个数为r+u=4个，应列1个限制条件方程和3个一般条件方程。函数模型为,5.u=3t且包含2个独立参数，属于附有条件的间接平差，限制条件方程个数为s=u-t=1，观测方程个数为4个。函

19、数模型为,限制条件方程为,2-3 函数模型的线性化,从上面的讨论知，不同的平差问题，所列出的函数模型有的是线性的，有的则是非线性的。在进行平差时，必须利用台劳级数将非线性方程线性化，转化为线性方程。,在所有函数模型中，分别代表观测值向量和参数的真值向量。根据台劳级数展开的要求，必须要知道它们的近似值。,(2-3-1),考虑到（2-3-1）式，按台劳级数在近似值处展开，略去二次和二次以上各项，于是有,若令,式中,2-4 最小二乘原理,通过前面的论述可知，如果只对几何模型中的必要元素进行观测，而没有多余观测，则在观测值之间不可能产生任何函数关系式，也不存在平差问题。只有在有了多余观测的情况下，才会

20、产生平差问题。,例如为确定一个三角形的大小和形状，必要观测数为t=3，如果实际观测了一边三角（n=4）,则存在一个多余观测（r=n-t=1）。现以一边和其中任意两个角作为一个组合来确定三角形的大小和形状，则有三种组合，由于观测值不可避免地含有偶然误差，三种组合所计算的结果将出现微小差别，这说明在具有多余观测的情况下，将无法唯一的确定模型的解。从函数模型来考虑，由于存在一个多余观测，三个内角真值之间就存在一个条件方程，即：,称为条件方程的闭合差或常数项，它是可以根据观测值计算出来的。由于观测值的真值不知道，所以真误差是未知量。要根据（2-4-1）式确定真误差的值，显然其解是不唯一的。要确定满足函

21、数模型的唯一的一组解，如果不另外附加一定的约束条件，那是不可能的。到底应该采用什么样的约束条件，才能使模型得到一组具有最佳性质的解呢？,式中 称为观测值的改正数，称为观测值 的估值，或平差值、最或然值。应用最小二乘准则，并不需要知道观测向量属于什么概率分布，只需要知道它的先验权阵 就可以了。当 为非对角阵，表示观测值相关，按 进行的平差称为相关观测平差。当 为对角阵，表示观测值不相关，此时最小二乘准则可表示为纯量形式，即：,其实，估计的准则有许多种，最小二乘准则是其中的一种，还有一种常用的估计叫做最大似然估计，这种估计要求事先知道观测量的概率分布函数。一般认为测量观测值向量是服从正态分布的随机

22、变量，其概率分布密度函数为,（2-4-8）,例2-2 设对某物理量 进行了n次同精度独立观测，得观测值，试按最小二乘准则求该量的估计值。,有此解得,2-5 习 题,2.1在图2.1中，A，B点为已知水准点，P1，P2，P3，P4为待定水准点，观测高差向量为，试列出条件平差的平差函数模型（将条件方程写成真值之间的关系式）。,1题.n=8,t=4,r=n-t=4,2.2 为确定某航摄像片中一块梯形的面积，用卡规量得上底边长为，下底边长为，高为h，并用求积仪量得面积为S（见图2.2），,若设梯形面积为未知参数，试按附有参数的条件平差法列出平差函数模型。,2题.n=4,t=3,r=n-t=1,u=1故

23、方程个数为r+u=2个,3题.n=5,t=3,r=n-t=2,u=3,2.4 在图2.4的水准网中，A，B点为已知水准点，P1，P2点为待定水准点，观测高差为 和。若设三段高差为未知参数，如图所示，试按附有限制条件的间接平差列出平差函数模型。,4题.n=4,t=2,r=n-t=2,ut,s=r+u=5,2.5 在图2.5的水准网中，A，B点为已知点，点为待定点，观测高差为 若选AP1，P1P2及P2B路线的三段高差为未知参数，试按附有限制条件的条件平差列出条件方程和限制条件.,5题.n=6,t=3,r=n-t=3，u=3,s=1,有r+u-s=5个条件方程和一个限制条件方程。,（考虑到B矩阵必须列满秩，因此在一般条件式中所选的未知参数至少出现一次）,