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1、第二章 平面问题的基本理论,（习题讲解）,习题2-1,设有任意形状的等厚度薄板，体力可以不计，在全部边界上（包括孔口边界上）受有均匀压力 q。试证：,及,能满足平衡微分方程、相容方程和边界条件，同时也满足位移单值条件，因而就是正确的解答。,解：,本问题属平面应力问题,（1）校核是否满足平衡微分方程,平衡微分方程满足,（2）校核是否满足相容方程,相容方程满足,（3）校核是否满足边界条件,（3）校核是否满足边界条件,边界条件,取任意微段边界，其外法线方向余弦：,将应力分量：,及,代入边界条件公式：,应力边界条件满足,（4）满足位移单值条件,结论：,及,为该弹性体的正确解。,习题2-2,矩形截面悬臂
2、梁，受力如图，体力不计。试根据材料力学公式写出弯曲应力 和剪应力 的表达式，并取挤压应力，然后证明，这些表达式满足平衡微分方程和相容方程。这些表达式是否就表示正确的解答？,解：,由材料力学理论求出：,(1),将式(1)代入平衡微分方程：,满足平衡微分方程,将式(1)代入相容方程：,相容方程满足,习题2-2,上、下边界条件：,显然满足,左侧边界条件：,显然满足,矩形截面悬臂梁，受力如图，体力不计。试根据材料力学公式写出弯曲应力 和剪应力 的表达式，并取挤压应力，然后证明，这些表达式满足平衡微分方程和相容方程。这些表达式是否就表示正确的解答？,习题2-2,解：,由材料力学理论求出：,右侧边界条件：
3、,显然满足,矩形截面悬臂梁，受力如图，体力不计。试根据材料力学公式写出弯曲应力 和剪应力 的表达式，并取挤压应力，然后证明，这些表达式满足平衡微分方程和相容方程。这些表达式是否就表示正确的解答？,习题2-3,试证明，如果体力虽然不是常量，但却是有势力，即：,其中V是势函数，则应力分量亦可用应力函数 表示成为：,试导出相应的相容方程。,证明：,当式（1）成立时，有：,（1）,（2）,将式（2）代入，有：,式（2）满足平衡微分方程,表明应力分量可用式（2）表示。,将式（2）代入应力表示的相容方程：,代入相容方程：,有：,平面应力情形,对平面应变情形，将,习题2-4,试证明：在发生最大与最小剪应力的
4、面上，正应力的数值都等于两主应力的平均值。,证：,以主应力方向截取应力单元体，如图所示。,任意斜截面的方向余弦：,任意斜截面上的剪应力：,当,时：,当,时，,代入：,补充题2-1,图示楔形体，试写出其边界条件。,左侧面：,右侧面：,补充题2-2,试用圣维南原理写出梁固定端的应力边界条件。,梁固定端的内力（由梁的整体平衡）：,梁固定端的应力边界条件：,补充题 2-3,试写出图示三角形悬臂梁的边界条件。,上边界：,下边界：,代入边界条件公式，有,右边界：,梁固定端的内力（由梁的整体平衡）：,由圣维南原理，有,补充题2-4,各方向的方向余弦：,代入任意斜方向的应变计算公式：,解：,补充题2-5,下面
5、给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。,（1）,（2）,解：,（1）,验证是否满足平衡微分方程；,满足平衡微分方程,验证是否满足相容方程；,显然满足,结论：所给应力分量为一组可能的应力分量。,解：,（2）,验证是否满足应变协调方程：,要使下式成立：,须有：,上式成立的条件：,结论：,（1）,仅当式（1）成立时，所给应变分量为可能的。,补充题2-6,试写出图示构件的边界条件。(应用圣维南原理),(a),(b),(c),(d),解：,（a）,补充题2-6,试写出图示构件的边界条件。(应用圣维南原理),(a),左侧：,右侧：,上侧：,y=0,下侧：,y=l,反力：,(b),解：,（b）,补充题2-6,试写出图示构件的边界条件。(应用圣维南原理),左侧：,右侧：,上侧：,y=0,下侧：,y=l,反力：,补充题2-6,试写出图示构件的边界条件。(应用圣维南原理),(c),解：,（c）,左侧：,x=0,右侧：,x=h,上侧：,y=0,下侧：,y=l,反力：,补充题2-6,试写出图示构件的边界条件。,解：,（d）,上侧：,下侧：,右侧：,x=l,左侧：,x=0,反力：,
