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1、点估计有使用方便、直观等优点,但他并没有提供关于估计精度的任何信息,为此提出了未知参数的区间估计法.,例 对明年小麦的亩产量作出估计为:,即,若设X表示明年小麦亩产量,则估计结果为,P(800X1000)=80%,明年小麦亩产量八成为800-1000斤.,区间估计,第5.3节 期望、方差的区间估计及Excel实现,区间估计的定义,设总体分布中含有未知参数,根据来自该总体的s.r.s,如果能够找到两个统计量,使得随机区间 包含 达到一定的把握,那么,便称该随机区间为未知参数的区间估计.即,当 成立时,称概率 为置信度或置信水平或置信系数;称区间 是 的置信度为 的置信区间;分别称为置信下限和置信
2、上限.,1.单正态总体数学期望的区间估计,选择包含的分布已知函数:,构造Z的 一个1-区间:,设总体XN(,2),X1,X2,Xn 为一组样本，,(1)2已知,求的置信度为1-置信区间,即,的1-置信区间:,/2,/2,1-,z/2,P(|Z|)=1-,1-,注意：置信区间不是唯一的.对于同一个置信度,可以有不同的置信区间.置信度相同时,当然置信区间越短越好.一般来说,置信区间取成对称区间或概率对称区间.,注意 以上Z具有三个特点:(1)样本的函数;(2)含且仅含待估未知参数;(3)其分布与待估未知参数无关.,可称Z为枢轴变量.,(2)2未知,求的置信度为1-置信区间,从点估计着手构造枢轴变量
3、:,构造T的 一个1-区间:,的1-置信区间:,/2,/2,1-,Excel求置信区间使用CONFIDENCE函数,其语法格式如下:CONFIDENCE(,n)=置信下限为:CONFIDENCE(,n)置信上限为:CONFIDENCE(,n),例5.3.1(135页例5.3.1)设正态总体的方差为1,根据取自该总体的容量为100的样本计算得到样本均值为5,求总体均值的置信度为0.95的置信区间.,解 已知2=1,=0.05,求 的1-置信区间：,选择包含的分布已知函数:,构造Z的 一个1-区间:,的1-置信区间:,例5.3.2(136页例5.3.2)某种零件的重量服从正态分布.现从中抽取容量为
4、16的样本,其观测到的重量(单位:千克)分别为4.8,4.7,5.0,5.2,4.7,4.9,5.0,5.0,4.6,4.7,5.0,5.1,4.7,4.5,4.9,4.9.需要估计零件平均重量,求平均重量的区间估计,置信系数是0.95.,解 未知2,=0.05,求 的1-置信区间:,应用t分布,需要计算,从点估计着手构造枢轴变量:,构造T的 一个1-区间:,变形得到的1-置信区间:,设总体XN(,2),X1,X2,Xn 为一组样本，,(1)总体均值 已知,构造枢轴变量,其中,取1-置信区间为,解不等式得到2的1-置信区间:,2.单正态总体方差的区间估计,构造枢轴变量:,构造Q的 一个1-区间
5、:,解不等式得到2的1-置信区间:,/2,/2,1-,1,2,1-/2,(2)总体均值 未知,例5.3.3(138页例5.3.3)投资的回收利用率常常用来衡量投资的风险.随机地调查了26个年回收利润率(%),标准差S(%).设回收利润率为正态分布,求它的方差的区间估计(置信系数为0.95).,解 总体均值 未知,=0.05,方差的区间估计.,构造枢轴变量:,构造Q的 一个1-区间:,变形得到2的1-置信区间:,(1)12,22已知,1-2的1-置信区间,相对1-2，构造枢轴变量:,构造Z的 一个1-区间:,概率恒等变形，得到1-2的1-置信区间:,设XN(1,12),Y N(2,22),从中分
6、别抽取容量为n1,n2的样本,且两组样本独立，样本均值和样本方差分别记为,3.两个正态总体均值差的区间估计,(2)12=22=2,2未知,1-2的1-置信区间,对于1-2，构造枢轴变量:,构造T的 一个1-区间:,变形得到1-2的1-置信区间:,其中,例5.3.4 某工厂利用两条自动化流水线罐装番茄酱,分别从两条流水线上抽取随机样本:和,计算出(克),(克),.假设这两条流水线上罐装番茄酱的重量都服从正态分布,其总体均值分别为,且有相同的总体方差.试求总体均值差 的区间估计,置信系数为0.95.(140页例5.3.4),解 12=22=2,2未知,1-2的0.95置信区间:,构造枢轴变量:,构
7、造T的 一个1-区间:,变形得到1-2的1-置信区间:,(1)对于12/22，构造枢轴变量:,(2)构造F的 一个1-区间:,(3)解不等式得12/22 的1-置信区间:,/2,/2,1,2,1-,P(1F 2)=1-,4.两个正态总体方差比 12/22的1-置信区间,例5.3.5(141页例5.3.5)为了比较用两种不同方法生产的某种产品的寿命而进行一项试验.试验中抽选了由方法一生产的16个产品组成一随机样本,其方差为1200小时;又抽选了由方法二生产的21个产品组成另一随机样本,得出的方差为800小时.试以95%的可靠性估计两总体方差之比的置信区间.,解 设方法一生产的产品的寿命为XN(1,12),方法二生产的产品的寿命为Y N(2,22),要求 12/22 的置信度为95%的置信区间.,(1)构造枢轴变量:,(2)构造F的 一个1-区间:,(3)解不等式得12/22 的1-置信区间:,由上述方法求得的总体均值差或总体方差比的置信区间,我们在实际中通常有下列结论:,(1)若 的置信区间的下限大于零,则可认为;若 的置信区间的上限小于零,则可认为;若 的置信区间包含零,则可认为,
