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1、Page,1,第 13 章 能量法,13-1 外力功与应变能的一般表达式13-2 互等定理13-3 卡氏定理13-4 变形体虚功原理13-5 单位载荷法,13-6 梁的横向剪切变形效应,Page,2,引言,求节点A的铅垂位移 的两条研究途径,方法一,方法二,压,Page,3,Page,4,几个概念,相应位移：载荷作用点沿载荷作用方向的位移分量。,外力功：载荷在其相应位移上所作之功。,广义力：力，力偶，一对大小相等、方向相反的力或转向相反的力偶等。,广义位移：线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。,13-1 外力功与应变能的一般表达式,Page,5,例：试确定图a均布载荷q 对应的广义位移.
2、,Page,6,一、计算外力功的基本公式,线弹性体：,载荷位移曲线所包围的面积,Page,7,二、克拉比隆定理：,已知线弹性体上同时作用有多个广义力F1,F2,.及其相应广义位移,求外力功,(1),Page,8,Page,9,加载过程中各载荷保持比例关系：,第一个载荷所做之功：,第二个载荷所做之功：,Page,10,加载过程中各载荷不保持比例关系：,最终状态相同,考虑比例卸载过程,对线弹性体,不论按何种方式加载,广义力F1,F2,.Fn在其相应位移1,2,.n上的总功恒为,Page,11,注意：,线弹性体上作用有多个广义力时：,广义位移可以用叠加法求解,外力功一般不可以用叠加法求解,特殊情况：
3、,一种载荷在另一种载荷引起的位移上不做功,一种载荷不在另一种载荷方向上引起相应位移,Page,12,三、应变能的一般表达式,拉压杆与桁架:,轴:,处于平面弯曲的梁与刚架（忽略剪力影响）:,基本变形情况,Page,13,组合变形情况,FN(x),M(x),Fs(x),T(x),dx,组合变形杆件的总能量是否可由叠加法计算？为什么？,Page,14,非圆截面杆或杆系,圆截面杆或杆系,y,z轴主形心轴,Page,15,解:（1）计算梁的应变能(x轴从A向左),相应位移互耦的多个外力引起的应变能不能叠加计算！,例：悬臂梁承受集中力与集中力偶作用，计算外力所做之总功。弯曲刚度为EI。,Page,16,解
4、:(2)计算外力所作之总功,梁的应变能等于外力所做总功,Page,17,例:试计算图示水平面内直角刚架的应变能。刚架截面为圆形，直径为 d，材料弹性模量和剪切模量分别为E和G。,解法一：对于图示刚架，弯矩和扭矩方程分别为：,AB段：,BC段：,Page,18,3,Page,19,解法二：A截面的挠度和转角分别为：,3,Page,20,作业131133,Page,21,13-2 互等定理,i 代表位置，j 代表载荷,同一弹性体的两种受力状态,Page,22,功的互等定理,若F1=F2,位移互等定理,先加 F1，后加 F2：,先加 F2，后加 F1：,考察F1,F2 对弹性体的做功,Page,23
5、,关于功的互等定理的说明：,成立的前提是对于线弹性体；,两组外力之间，功的互等定理也成立；,关键在于搞清楚两个（组）广义外力在对方作用点处引起的广义位移；,Page,24,例：测量变截面线弹性梁（图a,截面沿宽度变化）A、B点挠度，但仅端点C适合装千分表。,解：设图a在A点的挠度为,则,Page,25,例：两个相联的水平梁，,Page,26,由功的互等定理,Page,27,例：等直杆宽b，拉压刚度EA，泊松比 求,对于任意截面形状的等直杆，解答是否成立?,Page,28,解：考虑薄板受均布载荷q,Page,29,Page,30,线弹性梁受多个广义力Fk的作用，求各广义力的相应位移k。,13-3
6、 卡氏定理,Page,31,卡氏定理的证明：,多个Fi的作用下：,先加上Fk，再加上Fi,若给Fk一个增量Fk,（略去高阶小量）,Page,32,解：,Page,33,例2：求A端的转角,附加力法：先假设一附加力，对被积函数求导后，令附加力等于零,思考：如何求直梁在F作用下扫过的面积？,Page,34,例3：EI为常数，求wA，A,解：为避免混淆，设Fa=M,a,a,Page,35,AB段：,BC段：,得：,例4：用卡氏定理求A点挠度，为弯曲刚度。,Page,36,等于A点挠度的两倍与B点挠度之和。,讨论：,的几何意义?,Page,37,讨论,的意义,代表AB两点的相对位移,的意义,Page,
7、38,由A、B 两节点平衡,例：各杆EA，求A点水平位移及AB转角,解：（1）计算A点水平位移 由整体平衡,Page,39,问题 若由卡氏定理计算，附加载荷怎么办？,Page,40,作业13813913-1113-12,Page,41,13-4 变形体虚功原理,回顾刚体虚功原理,处于平衡状态的任意刚体，作用于其上的力系在任意虚位移或可能位移上所作之总虚功等于零。,虚位移：,满足约束条件的微小位移,虚位移是虚构的，与刚体上的作用力无关,虚功原理同样适用于变形体,Page,42,关于变形体的虚功原理,变形体的虚位移或可能位移：,满足位移边界条件及变形连续条件的任意微小位移,梁微段,刚体虚位移,虚变
8、形,不同于刚体,Page,43,可能内力：,满足平衡方程与静力边界条件的内力,对于静定系统，可能内力即为真实内力,静不定系统的可能内力不唯一，只有满足位移边界及连续条件的可能内力才是真实内力,变形体的可能内力：,Page,44,变形体的外力虚功与内力虚功：,外力虚功：,内力虚功：,注意：1、外力在虚变形上不做功2、内力和外力虚功都没有系数1/2,虚位移,Page,45,变形体的外力虚功与内力虚功之间有何关系？,方法：分别从两个角度分析微段上力系的总虚功，然后各自积分，最后比较,从微段的受力角度：,微段上作用有外力和内力,从微段的变形角度：,微段上有刚体虚位移和虚变形,Page,46,力系在刚体
9、虚位移上所作虚功,力系在虚变形上所作虚功,刚体虚功原理,外力在虚变形上不作功,内力在虚变形上所作虚功,从微段的变形角度研究微段上力系在虚位移上所作总虚功：,微段上的力系,Page,47,外力在虚位移上所作虚功,内力在虚位移上所作虚功,1、内力均作用于切开面上,2、切开处的两面上，内力大小相等、方向相 反，虚位移相同,从微段的受力角度研究微段上力系在虚位移上所作总虚功：,微段上的力系,Page,48,处于平衡状态的变形体，外力在虚位移上所作 虚功，恒等于可能内力在虚变形上所作虚功。,变形体虚功原理,Page,49,例：验证虚功原理,位移边界条件与变形连续条件,Page,50,位移边界条件,静力边
10、界条件,Page,51,关于虚功原理：,内力与外力平衡,外力在虚位移作功=内力在虚变形作功,虚位移是任一满足位移边界与变形连续条件的微小位移，与外力可以彼此独立,虚变形是与虚位移相对应的变形,适用于线弹与非弹性材料，各向同性与各向异性材料,Page,52,13-5 单位载荷法,回顾求杆或杆系轴线上一点位移的计算方法,直接计算法(画变形图、积分法等),利用功能原理,利用卡氏定理,不适宜解决复杂问题,只能求解作用有单个广义力时，该广义力的相应位移,只适用于线弹性体,单位载荷法：更一般的方法，应用更广泛，更方便。,Page,53,单位载荷法,理论基础：变形体虚功原理,目标：变形体在已知载荷作用下，求
11、任意一点沿 任一方向的位移,例：求任一A截面沿任一方向n-n方向的位移,A截面上没有作用广义力,杆系结构上作用有多个广义力,所求位移不为某一广义力的相应位移,Page,54,方法一：卡氏定理,方法二：虚功原理,处于平衡状态的变形体，外力在虚位移上所做功等于内力在虚变形上所做功。,选择单位载荷状态,选择虚位移,将真实载荷状态下的位移作为虚位移,Page,55,研究单位载荷状态，并取真实载荷引起的位移作为虚位移。,虚功原理的表达式：,真实载荷在微段引起的虚变形：,单位载荷在微段引起的内力：,忽略剪力的影响,Page,56,对于线弹性体：,(a),(b),Page,57,关于单位载荷法的说明：,应用
12、(a)式，不受材料性质的限制(但须满足小变形条件),应用(b)式，只能是线弹性体,式中的A,n也可以是转角(此时单位载荷状态加的 是单位力偶),Page,58,式中的A,n还可以是两截面的相对位移或相对转角(此 时单位载荷状态加的是一对反向的单位力或单位力偶),按以上公式求出的位移为正，则说明所求位移方向与 所加单位载荷同向，为负，则说明两者反向。,Page,59,2.分段建立弯矩方程,实际载荷状态与单位载荷状态分段与坐标应相同圆弧段用极坐标方便,例:弯曲刚度EI，求A点铅垂位移,分析步骤：,1.配置单位载荷状态,Page,60,解：AB段：,BC段：,Page,61,例：杆1，物理非线性，杆
13、2，物理线性，已知杆横截面积均为A，求B,解：,原载荷状态下的内力方程,配置单位载荷状态,B,Page,62,作业1315131613-17(b)13-18(a),Page,63,上一讲回顾,虚位移与虚功原理,外力在虚位移3上做的总功,可能内力在虚变形3上做的总功,2.将梁在F1，F2作用下的实际变形 作为单位载荷下变形体的虚位移,同理,那么，该单位载荷在虚位移上的相应位移就是所求的45，外虚功为145微段的虚变形（在F1、F2作用下的实际变形，假设变形体弹性）为,（与单位外载荷相对应的）可能内力在虚变形上做的总功（内虚功）为,由虚功原理可得：,Page,64,根据对称性,例:弯曲刚度EI，求
14、C点挠度 和A点转角,真实载荷与单位载荷下竖直杆的弯距正负，要按同一标准判断！,Page,65,根据对称性,解：（2）求，配置单位载荷状态,Page,66,解：,（1）求,例:各杆EA，求AB杆转角，A、D点相对位移,Page,67,（2）求,解：,配置单位载荷系统,Page,68,分析步骤：弯扭组合,（1）建立F作用下的弯矩、扭矩方程,（2）配置单位载荷并建立单位载荷状态的弯距、扭矩方程,（3）求相对位移,例:图中 F=80N,=240MPa,E=200GPa,G=80GPa R=35mm,d=7mm,忽略开口宽度 求开口沿F 方向相对位移,Page,69,（1）求沿F 载荷作用下的内力方程
15、,沿F 方向加一对单位力,Page,70,思考：如果开口端面上作用一对扭力偶，该开口小曲率环形杆是一种什么样的变形状态？,Page,71,求解思路讨论：,A 点在与F 垂直方向位移,例:A点位移与F 方向相同，求角,Page,72,Page,73,例：已知EI，求A左、A右,解：,(1)求 A左，配置单位载荷,Page,74,(2)求 A右,Page,75,作业13281330,Page,76,Page,77,经典梁理论中，忽略了剪切对梁变形的影响；前一章在计算梁的应变能时，同样忽略了弯曲剪切变形的影响,13-6 梁的横向剪切变形效应,剪切对梁的变形究竟有多大的影响？,如何用能量法简捷并定量地
16、加以评价？,Page,78,梁的应变能密度表达式：,?,Page,79,一、考虑剪切效应时梁的应变能,矩形截面梁,4,Page,80,矩形截面梁应变能,一般截面梁应变能公式（对称弯曲）,kS剪切形状系数，与截面形状有关，截面形状影响截面切应力分布。各种截面kS之值如下：,Page,81,二、计及剪切变形效应的梁位移公式,由卡氏定理,梁应变能,Page,82,由单位载荷法,微段应变能,微段相对转角和剪切变形,梁应变能,Page,83,例：（1）求图示悬臂梁自由端挠度，（2）研究剪力的影响。,解：采用卡氏定理（1）在A点施加附加载荷Fa，,Page,84,式中第二项代表剪力的影响。,（2）研究剪力的影响。,对矩形截面：I/A=h2/12，并设：m=1/3,则 E/G=8/3，,不计剪切变形,l/h=3,e=10.4%l/h=5,e=4.27%l/h=10,e=1.07%,相对误差,结论：对一般实心截面梁，当l/h5时，可不计剪力的影响。,Page,85,作业13-42,
