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1、桥梁结构内力影响线,一、影响线的基本概念（1）移动荷载 移动荷载是指荷载的作用位置在结构上是可以移动的，如：桥梁的车辆、人群荷载，吊车梁的吊钩等，它仍然属于静力问题。（2）最不利荷载位置 工程设计中经常需要确定结构中某指定位置的某项量值S（如反力，弯矩、剪力和竖向位移等）在移动荷载作用下产生的最大量值，即研究移动荷载的最不利荷载位置。（3）影响线 影响线是指在单位集中移动荷载P=1作用下，某截面内力变化规律的图形。影响线上某一纵坐标表示单位荷载移动到该位置时，该截面的某量值的大小。影响线是研究移动荷载的最不利位置和计算内力、位移最大值和最小值的有效工具。,移动荷载通常是由多个间距不变的竖向集中
2、荷载或竖向均布荷载所组成，我们可以首先研究一个竖向的单位集中荷载P=1在结构上移动时，某一量值的变化规律，然后根据线性叠加原理进一步研究各种实际移动荷载作用下，某一截面、某量值变化规律的图形。图1a为一简支梁，当竖向单位集中荷载P=1在梁上移动时，支座反力RA的变化规律及其图形。绘制影响线的基本方法有两种，静力法和机动法。,图 1,用静力法绘制影响线时，可先把荷载P=1放在任意位置，根据所选坐标系，以横坐标x表示其作用点的位置，然后由静力平衡条件求出所求量值S与荷载P=1作用的位置x之间的关系。表示这种关系的方程称为影响线方程。根据方程即可做出影响线。,静力法绘制影响线,单跨简支梁的影响线,反
3、力影响线求图2a所示简支梁反力RA的影响线，可取A为坐标原点，以x表示荷载P=1距坐标原点A的距离，取全梁作为隔离体，由平衡条件MB=0，设反力向上为正，则：MB=RA lP(lx)=0 由此可得：,同理，可绘出反力RB 的影响线方程为：同样可绘出RB 的影响线（图2c）。,当x=0时，RA=1当x=l 时，RA=0 图2b即为RA的影响线图形，根据影响线定义，RA 影响线中的任一纵坐标即代表荷载P=1作用于该处时反力RA 的大小。同时RA 的影响线只能代表RA 的变化规律反力，而不能代表其它任何量值的变化规律，其量值是唯一的。这就是RA的影响线方程。它是 x 的一次函数，故RA 的影响线是一
4、条直线。只需定出两点即可确定这条直线。,图2,由此可知，MC的影响线在截面C以左部分为一直线。当x=0时，MC=0当x=a 时，,求图3a所示简支梁上某指定截面C的弯矩影响线，取A为坐标原点，以x表示荷载P=1距坐标原点A的距离，当荷载P=1在截面C以左AC段（即x a）移动时，取截面C以右部分为隔离体，则：,2、弯矩影响线,于是可以绘出当荷载P=1在截面C以左移动时MC的影响线(图3b)。,b)中跨截面弯矩 Mc 影响线图3,当x=l 时，MC=0 于是可以绘出当荷载P=1在截面以右移动时MC的影响线(图3b)。由图3b可知MC 的影响线由上述两段,通常称截面C 以左的直线为左直线，截面C以
5、右的直线为右直线。,当荷载P=1在截面C以右CB段（即x a）移动时，上面求得的影响线方程显然已不再适用。可取截面C以左部分为隔离体，则：,由此可见，MC 的影响线在截面C 以右部分也为一直线。当x=a 时，,直线所组成，为一三角形。三角形的顶点位于截面C 的下面，纵坐标 ab/l。,从上述影响线方程可以看出，左直线可由反力RB 的影响线乘以b得到，而右直线可由反力RA的影响线乘以a得到。因此可以利用RA 和RB 的影响线来绘制MC 的影响线：在水平基线上相应左、右支座处分别取纵坐标a和b，分别将其顶点与左、右两支座处的零点用直线相连，则两直线的交点与左、右零点相连的部分就是MC 的影响线（见
6、图3b）。这种利用已知量值的影响线来作其它量值影响线的方法是非常方便的。由于竖向单位集中荷载P=1为不带任何单位的无名数。则反力RB的影响线的纵矩也是无名数，弯矩影响线纵坐标的单位为长度单位。,因此，可直接利用RA的影响线并截 取CB段部分，即得QC 影响线的右直线（图3c）。由上可知，QC的影响线由两段相互平行的直线组成（图3 c）。,3、剪力影响线,设要绘制截面C的剪力影响线（图3c）。同上分析，当荷载P=1在截面C以左AC段（即x a）移动时，取截面C以右部分为隔离体，并规定以绕隔离体顺时针方向转动的剪力为正，则：QC=-RB,因此，将RB的影响线反号并截取AC段部分，即得QC影响线的左
7、直线（图3c）。同样，当荷载P=1在截面C以右CB段（即x a）移动时，取截面C以左部分为隔离体，并规定以绕隔离体顺时针方向转动的剪力为正，则：QC=RA,图3,c)中跨截面剪力 Qc 影响线,三、伸臂梁的影响线,（1）反力影响线,如图4a所示的伸臂梁，仍取左支座A为坐标原点，横坐标x以向右为正。显然，无论荷载P=1在AB部分或是在两支座以外的伸臂部分上移动时，由平衡条件均可得到支座反力为：,这与简支梁的反力影响线方程完全相同。因此，只需将简支梁的反力影响线向两个伸臂部分延长，即可得到伸臂梁的反力影响线，如图4b、c所示。,图4 反力影响线,（2）跨中部分截面内力影响线,图4 伸臂梁中跨影响线
8、,为求MC 和QC 的影响线，可将它们表示为反力RA 和RB 的函数。当荷载P=1在截面C 以左AC 段（即x a）移动时，取截面C以右部分为隔离体，则：,当荷载P=1在截面C以右CB段（即xa）移动时，取截面C以左部分为隔离体，则：,因为RA 和RB 的影响线方程在伸臂梁和简支梁上是完全一样的，故由上述关系可知，MC 和QC 的影响线方程在这两种梁上也完全相同。因此，只需将简支梁上相应的弯矩和剪力影响线向两个伸臂部分延长，即可得到伸臂梁的MC 和QC 力影响线，如图4d、e所示。,c),图5 伸臂部分影响线,（3）伸臂部分截面的内力影响线,设要绘制截面K的弯矩和剪力影响线（图5a）。为方便起
9、见，改取K点为坐标原点，并规定横坐标x以向左为正。当荷载P=1在截面K以右（KE段）移动时，取截面K以左部分为隔离体，则显然MK和QK均等于零，故该二影响线在KE部分均与基线重合。当P=1在截面K以左（DK段）时，仍取截面K以左部分为隔离体，可得：,据此可以作出DK部分的MK和QK影响线。综上所述，伸臂梁部分截面K的MK和QK影响线分别如图5b、c所示。,对于支座处截面的剪力影响线，须对支座左、右两边的截面分别讨论。因为这两个截面是分别属于伸臂和跨中部分。例如：支座A左截面的剪力QA左的影响线，可由QK的影响线使截面K趋于支座A的左截面而得到（图5d）；,对于支座A右截面的剪力QA右的影响线，
10、则可由QC的影响线（图4d），使截面C趋于支座A的右截面而得到（图5e）。,对于静定结构，其反力和内力影响线方程，都是关于x的一次函数，故静定结构的反力和内力影响线均是由直线段所组成。但静定结构的位移、以及超静定结构的各种量值的影响线一般为曲线形式。,图5 伸臂部分影响线,四、机动法作单跨静定梁的影响线,机动法作影响线的理论依据是理论力学中的虚位移原理，一个体系在力系作用下处于平衡的必要和充分条件是：在任何微小的虚位移中，力系所作的虚功总和为零；,根据影响线的定义：P=1，则：,为了求解出反力RA，首先去掉与它相应的联系（即支座A处的竖向约束），而以正向的反力RA代替其作用（图6b）。此时，原
11、结构变为具有一个自由度的机构，使其产生微小的虚位移（图6b）,以A和P分别表示RA和P的作用点沿力的作用方向的虚位移。由于该机构在力RA、RB和P的共同作用下处于平衡，因此它们所作的虚功的总和应等于零，有：,图6,式中A为力RA作用点沿其力方向的位移，在给定虚位移的情况下，它是一个常数。P为荷载P=1所沿着x移动的各点的竖向虚位移图。令A=1，则上式成为：,这表明此时P的变化情况就反映了P=1移动时RA的变化规律，即虚位移图P便代表了RA的影响线。（图6c），而符号相反。由于P是以与力P方向一致者为正，故P向下为正。因而可知：当P向下时，RA为负；当P向上时，RA为正。这就恰好与在影响线中纵坐
12、标以向上为正相一致。由上述可知：要作某一反力或某一内力的影响线时，只需将与该量值相应的联系去掉，并使所得机构沿该量值的正方向发生单位位移，则由此得到的虚位移图即代表该量值的影响线。这种绘制影响线的方法，称为机动法。机动法提供了绘制影响线的另一种途径，其最大优点在于可以不经过具体计算就能够迅速绘出影响线的轮廓。这对于设计工作将有很大的帮助，且有利于对静力法所作的影响线进行较核。为进一步说明机动法的应用，下面再举两个例子。如图7a所示简支梁，用机动法作截面C的弯矩影响线和剪力影响线。,（1）截面C弯矩影响线,首先将与MC相应的联系去掉，即将截面C 处改为铰接，并加一对力偶Mc代替原有联系的作用（该
13、处便不能传递弯矩，但仍能传递剪力和轴力）。然后使AC与BC两部分沿Mc的正方向发生虚位移（图7b），虚功方程为：,故,若使+=1，即AC与BC两部分的相对转角等于1，则所得到的虚位移图即表示MC的影响线（图7c）。,令：影响线顶点至基线的距离为ya，则：,图 7,因此有：,所以:,首先将与QC相应的联系去掉，即将截面C处改为用两根水平链杆相联（该处便不能传递剪力，但仍能传递弯矩和轴力），并以一对正向剪力QC代替原有联系的作用（图7d）使机构沿QC的正方向发生虚位移，由虚功原理得：,（2）截面C的剪力影响线,故,图 7,若使CC1+CC2=1，即AC与CB两部分沿截面C方向的相对位移等于1，则所
14、得到的虚位移图即表示QC的影响线（图7e）。必须注意，由于AC与CB两部分是两根平行链杆相联，它们之间只能作相对平行移动，故在其虚功位移图中AC1与C2B应为平行直线，也就是QC影响线的左右两直线相互平行。,则,因此有,所以：,图 7,五、多跨静定梁的影响线,对于多跨静定梁，只需分清它的基本结构和附属部分以及这些部分之间的传力关系，再利用单跨静定梁的已知影响线，即可顺利完成。,（1）按静力法,图8a 所示多跨静定梁，图8b 为结构拆分的层叠图，作弯矩M k的影响线。,图8 按静力法求多跨静定梁影响线,当P=1在CE 段移动时，附属部分EF是不受力的，可将其撤去。基本部分AC 则相当于CE 梁的
15、支座，故此时M k 的影响线与CE 段单独作为一伸臂梁相同。当P=1在基本部分AC段移动时，作为AC 的附属部分的CE是不受力的，故M k影响线在AC段的竖坐标为零。最后考虑P=1在附属部分EF段移动时的情况，此时CE 梁相当于在铰E处受到力VE 的作用（图8c）。因此，VE=(l-x)/l 即为 x 的一次函数，故此时CE 梁相当于在铰E处受到力VE的作用（图8c）。,图8 按静力法求多跨静定梁影响线,图8 按静力法求多跨静定梁影响线,由此可知M k影响线必为一直线，只需要定出两点即可将其绘出。当P=1作用于铰E处时M k值已由CE段的影响线得出；而P=1作用于支座F处时有M k=0。于是可
16、绘出M k的整个影响线如图（8d）所示。由上述分析可知，多跨静定梁任一反力或内力影响线的一般作法为：1）当P=1在量值本身所在的梁段上移动时，量值的影响线与相应的单跨静定梁相同。2）当P=1在对于量值所在部分来说是基本部分的梁段上移动时，量值影响线的竖坐标 为“零”3）当P=1在对于量值所在部分来说是附属部分的梁段上移动时，量值影响线为直线。根据在铰处的竖坐标为已知和在支座处竖坐标为零，即可得出。按上述方法，不难作出Q B左和RF 的影响线如图8e、f 所示。,（2）按机动法 按机动法求解多跨静定梁的影响线更为方便。首先去掉与所求反力或内力X的相应联系，使所得到的体系沿X 的正方向发生单位位移
17、，此时根据每一刚片的位移图应为一段直线以及在每一竖向支座处竖向位移为零的条件。便可迅速绘出各部分的位移图。如图9所示。,图9 机动法求多跨静定梁影响线,P=1,Q B左 影响线,六、按机动法求多跨超定梁影响线,七、利用影响线求量值,移动活荷载载对桥梁结构的内力影响，对桥梁结构分析是非常重要的，也是桥梁结构所特有的。根据移动活荷载的特性，以影响线作为分析移动活荷载量值和最不利荷载位置的工具是简便和有效的。因此，利用影响线对桥梁结构活荷载的分析，包括两个方面，即移动活荷载量值和最不利荷载位置。首先讨论当若干个集中力荷载或分布荷载作用于某已知位置时，如何利用影响线来求量值。,集中力荷载,设结构某量值
18、S的影响线已绘出，如图11所示，有若干个竖向集中荷载P1、P2Pn作用于已知位置，其相应在影响线上的纵距分别为y1、y2yn，要求解由这些集中荷载作用下所产生的某一量值S 的大小。,图11,根据影响线的定义和特点，影响线上的纵距y1代表荷载P=1作用于该处时量值S 的大小，若荷载不是P=1而是P=P1，则S 应为P1y1。因此，当有若干集中荷载作用时，根据叠加原理可知，所产生的S值为：,图12,因Pi xi为各力对O点的力矩之和，根据合力矩定理，它应等于此组荷载的合力P 对O点之矩，即：,代入上式，得,式中,为合力R 所对应得影响线纵坐标。,（2）,（）,2、分布力荷载 若将任意分布荷载沿其长
19、度分成微段，则每一微段dx上的荷载 qxdx都可作为集中荷载（图13a），故在ab区段内的分布荷载所产生的量值S为：,若qx为均布荷载 q 时（图13b、13c），则上式为：,式中 表示影响线在均布荷载范围ab区段内的面积合。,由此可见，在均布荷载作用下求量值S 时，只需把影响线在荷载分布范围内的面积求出，再乘以均布荷载集度即可，应注意：在计算影响线面积有正或负时，应为代数合。,图13,（3）,（4）,六、利用影响线求最不利荷载位置 在移动荷载作用下，结构上的各种量值都将随荷载的位置而变化。在结构设计中，求出各量值的最大值（或最小值）是我们的最终目的，以作为设计的依据。首先必须确定使量值发生最
20、大值（或最小值）的最不利荷载位置。因此，寻求某一量值的最大值的关键，就是确定其最不利荷载位置，当其位置一经确定就可按前述方法求解该量值的最大值（或最小值）。,1、一个集中荷载,这是最简单的情况（图14），由S=Py可知，将该集中荷载P置于S影响线的最大纵坐标处即产生Smax值；而将P置于S 影响线的最小纵坐标处即产生Smin值。,图14,2、均布荷载 这里是指可以任意截断布置的均布荷载，也称为可动均布荷载（如人群荷载）。由式 可得：将荷载布满对应影响线所有正号面积的部分，则产生Smax值；反之，将荷载布满对应影响线所有负号面积的部分，则产生Smin值；如图15所示求S的最大、最小值时相应的最不
21、利荷载位置。,图15,三、行列荷载所谓行列荷载，是指一系列彼此间距不变的移动集中荷载（包括均布荷载），如汽车车队等，在此情况下确定最不利荷载位置相对比较困难。由最不利荷载位置的定义可知，当荷载移动到该位置时，所求量值S为最大，因此荷载由该位置无论向左或向右移动到邻近位置时，S值一定减小。我们可以从荷载移动时S的增量变化给予确定。,设某量值S的影响线如图16a所示，为一折线线形，其水平线与各段直线间的倾角为a1、a2an。取坐标轴x向右为正，坐标轴y向上为正，倾角a以逆时针方向为正。集中荷载组处在图16b所示位置，其相应的量值以S1表示，若每段直线内各荷载的合力为R i（i=1n）,则S1可表示
22、为：,当整个荷载组向右移动一微小距离x 时，其相应的量值S2为：,故S的增量为：,其中x为一常数，上式可写为：,图 16,量值S的增加率和减小率为：,使S成为极大值的条件是：荷载自该位置向左或向右移动时，S的数值均减小，即S 0。因此，,当荷载向左移动时，x 0，有,当荷载向右移动时，x 0，有,即：当荷载先向左、后向右移动时，,必须由正变负，S才有,当荷载先向左、后向右移动时，,必须由负变正，S才有,可能为极小值。,将能使,变号的荷载称为临界荷载，而把,称为临界荷载的判别式。,可能为极大值。,（5）,式中、为水平基线与影响线间的倾角（图17），其正负号规定 同前。若以,和,代入,则：,这就是
23、三角形影响线上确定临界荷载的公式。上式可以理解为：把Pk计入影响线的哪一边，则哪一边上的“平均荷载”就大些。,Ra,Rb,Pk,h,a,b,a,b,图17,（6）,对于均布荷载跨过三角形影响线顶点的情况（图18）则可由,故,即：左右两边的“平均荷载”应相等。,（7）,Ra,Rb,h,a,b,a,b,图 18,的条件来确定最不利荷载位置。此时有：,例：试求图19a所示简支梁在汽10级荷载作用下截面C的最大弯矩。解：作出Mc的影响线如图19b所示。为一三角形。,（1）首先考虑车队由左向右行驶情况。将重车后轮置与影响线顶点处进行试算（图19c）,A,C,图19,根据式（6）有：,故该位置为一不利荷载
24、位置。由图17c可以看出，此时在梁上的荷载较多且最重的轮子位于影响线顶端，最大纵坐标处，故知毋需再考虑其它位置了。,（2）其次考虑车队掉头由右向左开行情况。也将重车后轮置于顶点处进行试算（图19d），,则有：,故该位置为另一不利荷载位置。而且在该位置情况下，其它荷载位置也毋需再考虑了。,根据上述两不利荷载位置，分别算出相应的弯矩Mc值。经比较，图19c所示荷载位置对应的值更大，即该荷载位置为最不利荷载位置。此时有：,需要指出，对于直角三角形的影响线如RA反力影响线加载情况，判别式（6）不在适用。此时的最不利荷载位置，当荷载较为简单时，一般可以直观判断。当荷载较为复杂时，可按前述估计最不利荷载位置的原则，布置几种荷载位置，然后直接算出与各位置相应的S值进行比较，取其中最大值（穷举法）。,图8 按静力法求多跨静定梁影响线,
