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1、,第10章 梁的变形,建筑力学,主讲 韩志型 西南科技大学土建学院力学教研室,101 概述102 梁的挠曲线近似微分方程103 用积分法求梁的变形104 用叠加法求梁的变形105 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施,第10章 梁的变形,学 时：3关键术语：挠度，转角，挠曲线，挠度方程，转角方程，边界条件，连续条件，光滑条件教学重点：1、挠度、转角的概念 2、积分法求梁的挠度和转角 3、叠加法求梁指定截面的挠度和转角 4、刚度条件的应用教学难点 1、挠曲线微分方程的建立 2、挠度、转角函数的确定,要求：1理解挠度曲线、挠度、转角的概念以及它们之间的关系；2、了解梁的挠曲线近似微分方程的应用条件，掌握
2、梁挠曲线的近似微分方程；3、掌握用积分法求梁的变形；4、熟练运用叠加法求梁的变形。5、熟练运用刚度条件，解决刚度校核、截面设计和确定容许荷载问题。,10-1 概 述,工程中的弯曲变形问题,行车,电葫芦,6,弯曲变形,高架桥,研究目的：对梁作刚度校核；解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。研究范围：等直梁在平面弯曲时位移的计算。,工程中的弯曲变形问题,一、梁的变形特征,一、梁的变形特征,梁轴线由直线变成曲线。,梁轴线由直线变成光滑曲线,梁的变形特征？,？思 考1、梁的变形如何度量？2、这些曲线可用方程描述吗？3、曲线上一点包含了哪些信息？,2.转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用 表示，顺时针
3、转动为正，反之为负。,3.横截面形心沿轴线方向的线位移x。在小变形情况下，x很小，通常被忽略不计。度量梁变形的两个基本位移量：挠度和转角,二、度量梁变形的两个基本位移量,v,C,1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用v 表示。v向下为正，反之为负。,挠度曲线指梁在弹性范围内的荷载作用下，梁的轴线将弯曲成一条连续光滑的曲线，该曲线称为挠度曲线，简称为挠曲线。挠曲线方程用来描述挠曲线的方程称为挠曲线方程。,三、挠曲线与挠曲线方程,挠曲线上任一点的纵坐标 v（x）即为该点的横截面的挠度。,可见：梁的任一横截面的转角，等于挠曲线在对应点的切线的斜率。,四、转角与挠度的关系,小变形,转角单位为
4、弧度。,推导纯弯梁横截面正应力时，得到挠曲线的曲率公式：,忽略剪力对变形的影响，也可用上式计算横力弯曲梁的变形：,10-2 挠曲线的近似微分方程,以挠曲线的曲率来度量梁弯曲变形的程度。显然，在纯弯曲时，曲率为常数，其挠曲线为一圆弧。在横力弯曲时，曲率与弯矩成正比。,由数学知识可知：平面曲线的曲率公式为,略去高阶小量，得,所以,在小变形（小挠度）,其中的正负号与弯矩的正负号规则和v坐标的取向有关。,由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号相反，所以取负号，挠曲线的近似微分方程为：,由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和挠度。,挠曲线近似微分方程适用条件：线弹性范围内小变形平面
5、弯曲。,挠曲线的近似微分方程,？思 考1、梁的变形如何度量？2、这些曲线可用方程描述吗？3、曲线上一点包含了哪些信息？,v,一、转角方程和挠曲线方程,1.微分方程的积分,10-3 用积分法求梁的变形,对于等截面直梁，EI是常数，挠曲线近似微分方程：,积分一次,积分二次,转角方程,挠曲线方程,讨论：（1）梁的弯矩M(x)可用一个函数描述时，积分常数仅2个，由支承约束条件确定；（2）梁上有突变荷载将梁分成几段，则各段梁的弯矩方程M(x)不同，因而各段的转角和挠度具有不同的函数形式，应分段积分，每一段的积分常数有2个，这些常数由支承约束条件和分段点连续光滑条件确定。,2.求积分常数,（1）支点位移条
6、件：,（2)连续条件：,(3)光滑条件：,例1 用积分法求挠曲线方程时，试问下列梁的挠曲线近似微分方程应分几段，将分别出现几个积分常数，确定积分常数的条件是什么?,解（1）分AB、BC 2段，4个积分常数,(1),支座条件：,连续条件：,光滑条件：,例1 用积分法求挠曲线方程时，试问下列梁的挠曲线近似微分方程应分几段，将分别出现几个积分常数，确定积分常数的条件是什么?,解（2）分AB、BC 2段，4个积分常数,(2),支座条件：,连续条件：,光滑条件：,例1 用积分法求挠曲线方程时，试问下列梁的挠曲线近似微分方程应分几段，将分别出现几个积分常数，确定积分常数的条件是什么?,解（3）分AB、BC
7、 2段，4个积分常数,(3),支座条件：,连续条件：,B铰处光滑条件不满足，左右两截面可相对转动，,例2 求等截面直梁AB的挠曲线方程、最大挠度及最大转角。,建立坐标系并写出弯矩方程,写出微分方程并积分,应用位移边界条件求积分常数,解：,x,v,(1),(2),写出挠曲线方程和转角方程，并画出挠曲线,最大挠度及最大转角,例3 简支梁受集中力F作用，求梁的转角方程和挠度方程，并求C截面的挠度和A截面的转角。已知梁的EI，l=a+b，ab。,解：1）由梁整体平衡分析得：,2）弯矩方程,AC 段：,CB 段：,HA,3）列挠曲线近似微分方程并积分,AC 段：,CB 段：,4）由边界条件确定积分常数,
8、代入求解，得,位移边界条件,光滑连续条件,（1）,（2）,（3）,（4）,5）确定转角方程和挠度方程,AC 段：,CB 段：,（1）,（2）,（3）,（4）,6）确定C截面的挠度：,7）确定A截面转角：,将 x1=a 代入v1 或将 x2=a 代入v2,将 x1=0 代入（1）式：,叠加原理：多个载荷同时作用于结构而引起的变形 等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。,10-3 叠加法求梁的挠度与转角,计算时可查表10-1（p194）。,叠加原理适用条件：小变形、材料服从胡克定律。,例4 按叠加原理求A点转角和C点 挠度。,解、载荷分解如图,查梁的简单载荷变形表：,q,P,P,=,+,
9、A,A,A,B,B,B,C,a,a,q,P,P,=,+,A,A,A,B,B,B,C,a,a,叠加,例5 按叠加原理求B点转角和挠度。,解、载荷分解如图,=,+,（1）,（2）,（1）,（2）,查梁的简单载荷变形表：,叠加：,=,+,（1）,（2）,（1）,（2）,一、梁的刚度条件,其中v称为许用挠度。,10-4 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施,建筑工程中的梁主要是强度条件控制，即按强度条件设计出梁的截面尺寸，然后进行刚度校核。刚度条件就是将最大挠度控制在一定范围内，而对转角一般不要求。,建筑钢梁的许可挠跨比：,例6 图示一圆木桁条，d=11.62cm、l=3.6m，E=104MPa，q=1.0
10、4kN/m，桁条的容许挠度v=l/200,试校核此桁条的刚度。,解：查表,可见，不满足刚度条件。因此需重新设计圆木的直径。,（2）重新设计桁条尺寸 根据刚度条件：,例6 图示一圆木桁条，d=11.62cm、l=3.6m，E=104MPa，q=1.04kN/m，桁条的容许挠度v=l/200,试校核此桁条的刚度。,二、提高梁刚度的主要措施,挠曲线微分方程：,转角：,1、选择合理的截面形状，以增大截面惯性矩Iz2、尽量减小梁的跨度或长度，减少弯矩数值3、改善梁的受力情况4、改变支座形式,提高弯曲刚度的措施，就是减小结构的最大变形，根据上面所述的变形公式，可得相应的措施。,1、选择合理的截面形状,将圆形截面改为工字形、槽形或箱形，可使A较小而 I z较大。,2、尽量减小梁的跨度或长度，减小弯矩数值,B,3、改善梁的受力情况,尽可能地将集中载荷用分布载荷来代替。或者增加辅助梁。,4、改变支座形式，减少弯矩数值,采用静不定梁：,作业,p199：10-1,10-3,10-5(b),10-7,本章结束,
