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1、By NO.7,概率论第四章随机变量的数字特征,一、数学期望,1.定义1)设离散型随机变量X的分布率为PX=xk=pk,k=1,2,.若级数 绝对收敛，则称级数 的和为随机变量X的数学期望，记为E(X).即E(X)=2)设连续型的随机变量X的概率密度为f(x),若积分 绝对收敛，则称积分 的值为随机变量X的数学期望，记为E(X).即E(X)=,2.性质（假设以下所遇到的随机变量的数学期望存在）1）设C是常数，则有E(C)=C.2）设X是一个随机变量，C是常数，则有E(CX)=CE(X).3）设X,Y是两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y).(这一性质可以推广到任意有限个随机变量之和
2、的情况）4）设X,Y是相互独立的随机变量，则有E(XY)=E(X)E(Y).(这一性质可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况）,3.一个数学期望有关的定理,设Y是随机变量X的函数：Y=g(X)(g(x)是连续函数）.,4.相关例题,二、方差,1.定义,X的方差,记为D(X)或Var(X),即D(X)=Var(X)=EX-E(X)2.,设X是一个随机变量，若EX-E(X)2存在，则称EX-E(X)2为,*在应用上我们还引入量,记为(X),称为标准差或均方差.,2.计算,对于连续型的随机变量，有D(X)=,，其中f（x）是X的概率密度.,3.性质,1）设C是常数，则D(C)=0.,3）设
3、X,Y是两个随机变量，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E(X-E(X)(Y-E(Y).,*特别，若X,Y相互独立，则有 D(X+Y)=D(X)+D(Y).,2）设X是随机变量，C是常数，则有D(CX)=C2D(X)，D(X+C)=D(X).,4)D(X)=0的充要条件是X以概率1取常数E(X),即 PX=E(X)=1,4.重要定理切比雪夫不等式,证明：设X的概率密度为飞f(x),则有 P|X-|=f(x)dx=,这个公式很重要哦，千万记住了,5.例题,三、协方差及相关系数,2.基本性质,7)|=1的充要条件是，存在常数a,b使得 PY=a+bX=1,5)Cov(X1+X2,Y)=Cov
4、(X1,Y)+Cov(X2,Y).6)|1.*当=0时，称X与Y不相关.,2）D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)3）Cov(X+Y)=E(XY)-E(X)E(Y).,1）Cov（X,Y）=Cov(Y,X),Cov(X,X)=D(X).,4）Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),a,b是常数.,3.例题,设随机变量X N（，），Y N(,),且设X,Y相互独立，试求Z1=aX+bY和Z2=aX-bY的相关系数（其中a,b是不为零的常数）.解：Cov(Z1,Z2)=Cov(aX+bY,aX-bY)=a2Cov(X,X)-abCov(X,Y)+abCov(Y,X)-b2Cov(Y,Y)=a2D(X)-b2D(Y)=(a2-b2)而有D(Z1)=D(aX+bY)=a2D(X)+b2D(Y)+2Cov(aX,bY)=(a2+b2),D(Z2)=D(aX-bY)=a2D(X)+b2D(Y)-2Cov(aX,bY)=(a2+b2),故=,Thank you！,
