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1、1,物理学专业必修课程,数学物理方法,Mathematical Method in Physics,西北师范大学物理与电子工程学院,2,第一章 波动方程和行波法,3,引言1.1 弦振动方程1.2 行波法,4,数理方程（泛定方程）（三类）在物理学的研究中起着重要作用。如何从物理学的实际问题中导出数理方程呢？我们先从弦振动方程入手。,引 言,5,基本步骤：,1.建立坐标系（时间，空间）,2.选择表征所研究过程的物理量,表征物理量的选择常常是建立一个新方程的起点。（一个或几个）。,数学模型,物理模型,6,3.寻找（猜测）物理过程所遵守的物理定律或物理公理;4.写出物理定律的表达式，即数学模型。,7,
2、一、弦的横振动方程 二、定解条件的提出 三、三类定解问题,1.1 弦振动方程,8,一、弦的横振动方程（均匀弦的微小横振动）演奏弦乐（二胡，提琴）的人用弓在弦上来回拉动，弓所接触的是弦的很小的一段，似乎只能引起这个小段的振动，实际上振动总是传播到整个弦，弦的各处都振动起来。振动如何传播呢？,9,实际问题：设有一根细长而柔软的弦,紧绷于A，B两点之间，在平衡位置附近产生振幅极为微小的横振动（以某种方式激发，在同一平面内，弦上各点的振动方向相互平行，且与波的传播方向（弦的长度方向）垂直），求弦上各点的运动规律。,1.物理模型,10,2.分析 弦是柔软的，即在放松的条件下，把弦弯成任意的形状，它都保持
3、静止。绷紧后，相邻小段之间有拉力，这种拉力称为弦中的张力，张力沿线的切线方向。,11,由于张力的作用，一个小段的振动必带动它的邻段，邻段又带动它自己的邻段，这样一个小段的振动必然传播到整个弦，这种振动的传播现象叫作波。弦是轻质弦（其质量只有张力的几万分之一）。跟张力相比，弦的质量完全可以略去。,12,模型实际上就是：柔软轻质细弦（“没有质量”的弦）将无质量的弦紧绷，不振动时是一根直线，取为 x 轴。,将弦上个点的横向位移记为,13,14,3.研究建立方程 如图，选弦绷紧时（不振动）直线为 x 轴,15,为表征物理量。,弦离开平衡位置的位移记为,因弦的振动是机械振动，基本规律为：,然而弦不是质点
4、，故,对整根弦并不适用。但整根弦可以细分为许多极小的小段，每个小段可以抽象为质点。,16,即整根弦由相互牵连的质点组成，对每个质点即每个小段可应用.,17,对弦的每一小段dx,沿x方向（纵向）没有运动，沿 x方向所受合外力为零。任一小段弦在振动过程中只受到相邻段对它的张力和施加在弦上的外力。设单位长度上受到的横向外力为,18,于是由牛顿第二定律对 dx 所对应的这一小段弦有:,19,20,21,于是、化简为：,22,即,令,则上式为:,23,应用微积分中值定理:,24,即,弦的强迫横振动方程,其中:,，,量纲分析：,，,25,即,：振动的传播速度,它与弦的张力的平方根成正比，与弦的线密度的平方
5、根成反比。,26,对乐器来讲，意味着弦绷的越紧，波速越大；弦的质料越密，波速越小。,则得弦的自由横振动方程：,27,注意：上述推导过程中，并没有考虑重力。不仅弦振动，一维波动方程，如弹性杆的横振动。二维波动方程，如薄膜的横振动方程，管道中小振动的传播，理想传输线的电报方程等均可用上述波动方程描述。故称为一类方程，即波动方程。（也是称其为泛定方程的远大）可描述一类物理现象。流体力学与声学中推导三维波动方程，这里不再一一推导。,28,二、定解条件的提出 1、必要性。导出方程后，就得对方程进行求解。但是只有泛定方程不足以完全确定方程的解，即不足以完全确定具体的物理过程，因为具体的物理过程还与其初始状
6、态及边界所受的外界作用有关，因而必须找一些补充条件，用以确定该物理过程。,29,从物理角度看：泛定方程仅表示一般性（共性），要为物体的运动个性化附加条件。从数学角度看：微分方程解的任意性也需附加条件。通解中含任意函数（解不能唯一确定）。通过附加条件确定任意函数（常数），从而确定解。这些附加条件就是前面所谈的问题的“历史”与“环境”，即初始条件和边界条件，统称为定解条件。,30,2、初始条件 在求解含时间t变量的数理方程时，往往要追溯到早些某个所谓“初始”时间的状况（“历史”），于是称物理过程初始状况的数学表达式为初始条件。,31,如弦振动方程:,其初始条件为:,注意：(a）初始条件应是整个系统
7、的初始状态，而不是系统中个别点的初始状态。,32,如：一根长为 l 的两端固定的弦，用手把它的中点朝横向拔开距离h，然后放手任其振动（初始时该就为放手的时刻），则初始条件应为：,33,(b)时间 t 的 n 阶方程需 n个初始条件，n 个常数。,如：,34,3、边界条件 求解方程时还需考虑边界状况（周边“环境”）（边界状况将通过逐点影响所讨论的整个区域），称物理过程边界状况的表达式为边界条件，或称为边值条件。边界条件在数学上分为三类：,35,第一类边界条件(Dirichlet边界条件)：直接规定所研究的物理量在边界上的数值,36,第二类边界条件（Neuman 边界条件）：规定所研究物理量在边界
8、外法线方向 上的方向导数的数值.,，,37,第三类边界条件（混合边界条件 也叫Robin边界条件）：规定所研究物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的值,:常系数,38,第一、二、三类齐次边界条件。,39,衔接条件,集中地,由于一些原因，在所研究的区域里出现跃变点，泛定方程在该点失去意义。如波动方程（弦），如果有横向力,作用于,点，,这就成了弦的折点。在点,斜率,的左极限,不同于右极限,，因而,不存在,4、其它条件,40,在各段上,弦振动方程有意义，但它是一根弦的两段，并不是各自振动的。从数学上来讲，不可能在两端上分别列出定解问题。两段可作为一个整体来研究，两段的振动是相互关联的。,41,42
9、,虽是折点，但它们连续，即,、合称为衔接条件，这时振动问题适定。,43,再如，不同材料组成的杆的振动，在衔接处的位移和能量相等，即：,：杆的两部分位移.,：两部分的杨氏模量.,44,静电场中，两种电介质的交界面 上电势应相等（连续），电位移矢量的法向分量也应相等（连续）,其衔接条件是:,45,46,自然边界条件 某些情况下，出于物理上的合理性等原因，要求解为单值、有限，就提出自然边界条件，这些条件通常都不是要研究的问题直接给出，而是根据解的特性要求自然加上去，故称为自然边界条件，如：,47,通解为：,48,但并非所有的定解问题中，都一定同时具有初始条件和边界条件。,三、三类定解问题,49,（1
10、）初值问题(Cauchy问题）：定解问题中仅初始条件而无边界条件,如无界弦的振动:,50,（2）边值问题：定解条件为边界条件,如,51,（3）混合问题:即有初始条件又有边界条件。,如有界弦的自由振动,52,物理系统总是有限的，必须有界，要求边界条件，如：弦总是有限长的，有两个端点，但如果注重研究靠近一端的一段弦，即在不太长的时间里，另一端还没来得及传到，可认为另一端不存在这样就可将真实的弦抽象为半无界弦。,（4）无界半无界问题：,53,如果注重考虑不靠近两端点的某段弦，在不太长的时间里，两端点的影响还没来得及传到，可认为两端点都不存在，即两端点都在无限远，就不提边界条件了，这样有限的真实弦抽象
11、成无界的弦，分别称为半无界问题、无界问题。,54,举例：弦振动问题中,第一类边界条件：,55,端点的运动规律:,左端点，,右端点,若两端点固定，则,为齐次边界条件，称固定端点边界条件。,56,57,第三类边界条件：,的弹簧，弦的左端点固定于弹簧的自由顶端，弦的左端点受到垂直于 轴的已知外力 的作用而上下运动。,58,59,若,弹性支承边界条件：,弦的一端与一个其他系统相连接，弦在左端 处连接于一弹簧质量系统，保持其运动是完全垂直的。,60,61,弹簧的拉伸长度为:,由牛顿第二定律：,弹簧上的其它力,胡克定律，设弦的支撑点按照其解的方式,移动。弹簧的长度为,62,63,64,则,65,若质量的平
12、衡位置与弦的平衡位置重合，即,则：,66,端点处无任何其它垂直外力，弹力在端点的垂直分量必为0，否则此端点将会有无限垂直加速度。,若端点附在前述无摩擦的垂直轨道上，上下自由移动，无弹簧质量系统也无外力，,67,1.2 行波法,一、定解问题 二、求解定解问题 三、分析解答 四、依赖区域 五、其它:问题,68,引 言,69,先求方程通解（含任意常数）,(利用初值条件),方程的特解,确定条件中的数,70,例如：,通解为:,71,72,其一，通解不好求；其二，用定解条件确定函数较困难，但也却非不能解决任何方程，对一类问题是可行的：无界区域齐次波动方程的定解问题。,73,74,（初值问题）抽象成问题的区
13、域是整个空间，由初始扰动所引起的振动就会一往无前的传播下去，形成行进的波，简称行波。（数学上将弦的长度视为无限）。这种求解行波问题的方法成为行波法。,75,一、定解问题,76,物理模型解释：无限长弦的自由振动 无限长杆的纵振动 无限长理想传输线上电流、电压之比 这里“无限长”指没有受到外力作用，只研究其中一小段，则在不太长的时间里，两,77,端的影响来不及传到，可认为两端不存在，因而为无限长。对该问题的处理思路（借鉴 ODE处理方法）,自变量变换,简化泛定方程,定解问题的解,得通解,初始条件,78,二、求解定解问题（一维齐次波动方程的通解）（1）作自变量变换（行波变换）.目的：将泛定方程简化成
14、易积分的 形式.设,79,80,使,为常数，,81,令,则,故令,82,则有,这时,83,为了书写简便和对称，令,即,84,85,86,87,（）求通解,则有,88,89,90,（）用初始条件定特解确定,由初始条件,由,有,91,92,由此解得,93,94,故:,这叫做达朗贝尔解，简称达氏解，因此这种方法叫做达朗贝尔解法。,95,三、分析解答（1）解的适定性(存在性、唯一性、稳定性)（2）解的物理意义.,96,97,越大,表示波传播速度越快。,98,+,99,上式第一项为:,100,101,102,例1.求解初值问题（初始位移引起的波动）,103,若,104,四、依赖区域、影响区域、决定区域
15、无界弦自由振动的这种特性，可以更几何直观地表现出来.定解问题 如下:,105,106,响，而区域外的任何点一定不受到初始激发的影响。如下图:,107,108,109,110,111,例2.求弦振动方程的初值问题（初始速度引起的振动）。,112,解：一维无界空间的波动问题，其中,113,114,解：方程的通解为,令,将条件代入有,115,而,116,半无界弦的振动问题,其它Cauchy问题,五、,反射波法,1）端点固定；,2）端点自由；,3）端点依赖某规律运动,117,若是半无界问题，则可用延拓法（反射波法）,118,分析：先求泛定方程的通解，再由定解条件确定特解，只有在极少数情况下才有效，故对泛定方程的求解还需找到别的方法。,
