测试结果及误差分析.ppt

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1、学 习 要 求,了解误差的定义及分类了解不确定度评定的基本知识掌握标准不确定度的A类评定掌握标准不确定度的B类评定掌握合成标准不确定度的评定方法掌握扩展不确定度的评定方法及报告形式,第6章 测试结果及误差分析6.1 概述测试工作的最终目的 通过测试数据认识事物内在规律，研究事物相互关系和预测事物发展趋势的重要依据,并在此基础上对已获得的数据进行科学的处理，才能去粗取精、去伪存真、由表及里，从中提取能反映事物本质和运动规律的有用信息。研究被测量的变化规律及变量之间的关系 寻求被测量的合理数值和评估其精度。,6.2 实验数据的表述方法,实验数据最终必然要以人们易于接受的方式表述出来，常用的表述方法

2、有:表格法、图解法、方程法。表述方法的基本要求：确切地将被测量的变化规律反映出来；便于分析、应用、控制与预报;,6.2.1 表格法,表格法是把被测量数据精选、定值，按一定的规律归纳整理后列于一个或几个表格中，该方法比较简便、有效、数据具体、形式紧凑、便于对比。自变量的减小或增加为顺序。,列表时应 以下几个问题：,数据的写法要整齐规范，数值为零时要记“0”，不可遗漏；试验数据空缺时应记为“”；表达力求统一简明。同一竖行的数值、小数点应上下对齐。当数值过大或过小时，应以10n表示，n为正、负整数；根据测量精度的要求，表中所有数据有效数字的位数应取舍适当。,注意,6.2.2 图解法,图解法:利用图形

3、或曲线表示实验数据之间的关系。该曲线又称实验曲线。方法：把互相关联的实验数据按照自变量和因变量的关系在适当的坐标系中绘制成几何图形，用以表示被测量的变化规律和相关变量之间的关系。,特点：简单、直观、便于分析与比较。,曲线描绘时应 如下几个问题：,合理布图；正确选择坐标分度；灵活采用特殊坐标形式；正确绘制图形；图的标注要规范。,注意,6.2.3 经验公式,通过试验获得一系列数据，这些数据可用图表法表示出函数之间的关系，也可用与图形相对应的数学公式来描述函数之间的关系，从而进一步用数学分析的方法来研究这些变量之间的相关关系。数学表达式称为经验公式，又称为回归方程。建立回归方程的方法称回归分析。,根

4、据变量个数以及变量之间的关系不同，常用的回归方程有：,一元线性回归方程（直线拟合）;一元非线性回归方程（曲线拟合）;多元线性回归和多元非线性回归;,6.2.4 有效数字与数据修约,不影响测量结果的最后一位有效数字为原则。四舍五入，偶舍奇入。12.35 12.4,法则,6.3 回归分析及其应用,6.3.1 一元线性回归一元线性回归是最基本的回归方法，也是最常用的回归方法之一。1.线性相关 相关指变量之间具有某种内在的物理联系。对于确定性信号来说，两个变量之间可用函数关系来描述，两者一一对应。而两个随机变量之间不一定具有这样确定性的关系，可通过大量统计分析发现它们之间是否存在某种相互关系或内在的物

5、理联系。,现讨论两个随机变量x、y数值对的总体。每一对值在xy坐标中用点来表示。（a）中两个变量是不相关的，各对x和y值之间没有明显的关系。（b）中x和y具有确定的关系，这两个变量是相关的，大的x值对应大的y值，小的x值对应小的y值。,相关系数,如希望用直线形式来表示x和y的近似函数关系，则可使yi的实际值和用直线来近似的yi预计值之差的均方值为最小。,2.线性回归方程的确定,若所获取的一组xi、y i数据可用线性回归方程来描述，确定回归方程的方法较多，常用“最小二乘法”。,假设有一组实测数据，含有N对xi、y i值，用回归方程来描述：,由上式可计算出与自变量xi对应的回归值,即(i=1，2，

6、N)。由于数据的误差和公式的近似性，回归值与对应测量值y i间会有一定的偏差，偏差计算公式：通常该差值称为剩余误差，表征了测量值与回归值的偏离程度。剩余误差越小，测量值与回归值越接近。根据最小二乘法理论，若剩余误差的平方和为最小，即,意味着回归值的平均偏差程度最小，回归直线为最能代表测量数据内在关系的曲线。根据求极值的原理应有,解此方程组有：,则得:,回归方程的另一种形式为：,3.回归方程的精度问题,用回归方程根据自变量x的值，求因变量y的值，其精度如何，即测量数据中yi和回归值的差异可能有多大，用回归方程的剩余标准偏差来表征，有,N为测量次数，或成对测量数据的对数；q为回归方程中待定常数的个

7、数。越小表示回归方程对测试数据拟合越好。,6.3.2 多元线性回归,设因变量y依赖若干个变量xj(j=1、2、m)变化而变化，按照间接测量的原理，对上述变量进行测量，可获得X1、X2、Xm、y数据对，回归方程可表示为：,yi在某点上与上述回归方程差值为:,利用最小二乘原理，可求出系数k0、k1、k2、km，即有：,得到正规方程组:,上式可解出回归系数k0、k1、k2、km。,相关系数,标准差,式中，m为自变量个数，n为测量次数。,6.3.3 非线性回归,在测试过程中，被测量之间并非都是线性关系，很多情况下，它们遵循一定的非线性关系。求解非线性模型的方法通常有：利用变量变换把非线性模型转化为线性

8、模型。利用最小二乘原理推导出非线性模型回归的正规方程，然后求解。采用直接最优化方法，以残差平方和为目标函数，寻找最优化回归函数。,1.模型转换,常用非线性模型，可用变量变换的方法使其转化为线性模型，如指数函数,两边取对数得：,令,，则方程可化为,对幂函数,同样有,令,，,，,则有:,即可转化为线性关系。,2.非线性回归分析简介,并不是所有非线性模型都能用上述方法进行转化。如当，就无法用上述办法来处理，可采用多项式回归方法来解决。对于若干测量数据对（xi，yi），经绘图发现其间存在着非线性关系时，可用含m+1个待定系数的m阶多项式来逼近。,将上式作如下变量置换，令，即可将上式转化为多元线性回归模

9、型：,1）在适当的坐标系中，把数据点(xi,yi=1,2,n)描绘成测量曲线。2）分析描绘的曲线，确定公式y=f(x)基本形式：直线，可用一元线性回归方法确定直线方程;曲线，先将该曲线方程变换为直线方程，再按一元线性回归方法处理；曲线类型未知，按曲线多项式回归方程处理3)由测量数据确定拟合方程（公式）中的常量。,建立经验公式的步骤,6.4 误差的定义及分类,6.4.1 误差的概念 1.真值 真值即真实值，是指在一定时间和空间条件下，被测物理量客观存在的实际值。一般指理论真值和约定真值（规定真值、相对真值、算术平均值）。1）理论真值：理论真值也称绝对真值。圆心角360度。2）规定真值：国际上公认

10、的某些基准量值。规定真值也称约定真值。1m的规定。3）相对真值：是指计量器具按精度不同分为若干等级，上一等级的指示值即为下一等级的真值，此真值称为相对真值。4）算术平均值。,为什么要讨论误差？,2.误差误差:测量结果减去被测量的真值,测量误差（又称真误差）；,测量结果（由测量所得到的被测量值）；,被测量的真值。,3.残余误差,测量结果减去被测量的最佳估计值,v,残余误差（简称残差）；,真值的最佳估计（也即约定真值）。,6.4.2 误差的分类,1.产生误差的主要因素：工具误差：它包括试验装置、测量仪器所带来的误差；方法误差：方法引起的，这种误差亦称为原理误差或理论误差；环境误差：在测量过程中，因

11、环境条件的变化而产生的误差。人员误差：测量者生理特性和操作熟练程度的优劣引起的误差称为人员误差。,2.误差的分类,按照误差的特点和性质进行分类，可分为:随机误差；系统误差；粗大误差。,随机误差 产生误差的原因及误差数值的大小、正负是随机的，没有确定的规律性，或者说带有偶然性，这样的误差就称为随机误差。随机误差就个体而言，从单次测量结果来看是没有规律的，但就其总体来说，随机误差服从一定的统计规律。,.系统误差 在相同的测量条件下，多次测量同一物理量，误差不变或按一定规律变化着，这样的误差称为系统误差。系统误差等于误差减去随机误差，是具有确定性规律的误差，可以用非统计的函数来描述。系统误差又可按下

12、列方法分类。按对误差的掌握程度可分为：已定系统误差和未定系统误差。按误差的变化规律可分为：定值系统误差、线性系统误差、周期系统误差和复杂规律系统误差。,(3)粗大误差 粗大误差是指那些误差数值特别大，超出在规定条件下的预计值，测量结果中有明显错误的误差，也称粗差。出现粗大误差的原因是由于在测量时仪器操作的错误，或读数错误，或计算出现明显的错误等。粗大误差一般是由于测量者粗心大意、实验条件突变造成的。粗大误差由于误差数值特别大，容易从测量结果中发现，一经发现有粗大误差，应认为该次测量无效，即可消除其对测量结果的影响。,6.4.3 误差的表示方法,常用的几种误差表示方法：绝对误差；相对误差；引用误

13、差。,1.绝对误差 绝对误差是指测得值与真值之差，表示为:绝对误差=测得值-真值 即：,2.相对误差 相对误差是指绝对误差与被测真值之比值，通常用百分数表示，即,说明,1）当被测真值为未知数时，一般可用测得值的算术平均值代替被测真值。2）对于不同的被测量值，用测量的绝对误差往往很难评定其测量精度的高低，通常采用相对误差来评定。,3.引用误差 测量仪器的绝对误差除以仪器的满度值。,测量仪器的引用误差；,测量仪器的绝对误差，一般指的是测量 仪器的示值绝对误差；,测量仪器的满度值，又称为引用值，通常是测量仪器的量程。,说明,1)引用误差实质是一种相对误差，可用于评价某些测量仪器的准确度高低。2)国际

14、规定电测仪表的精度等级指数a分为：0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0共七级，其最大引用误差不超过仪器精度等级指数a百分数，即r m a%。,6.4.4 表征测量结果质量的指标,常用正确度、精密度、准确度、不确定度等来描述测量的可信度。,准确理解几个“度”,（1）正确度 正确度表示测量结果中系统误差大小的程度，即由于系统误差而使测量结果与被测量值偏离的程度。系统误差越小，测量结果越正确。,（2）精密度 精密度表示测量结果中随机误差大小的程度，即在相同条件下，多次重复测量所得测量结果彼此间符合的程度。随机误差越小，测量结果越精密。,（3）准确度 准确度表示测量结果中系统误差与随

15、机误差综合大小的程度，即测量结果与被测真值偏离的程度。综合误差越小，测量结果越准确。,（4）不确定度 不确定度表示合理赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系的参数。不确定度越小，测量结果可信度越高。,6.5 不确定度评定的基本知识,测量不确定度就是对测量结果质量的定量表征，测量结果的可用性很大程度上取决于其不确定度的大小。测量结果必须附有不确定度说明才是完整并有意义。,有关不确定度的术语 1、标准不确定度：以标准差表示的测量不确定度。2、A类不确定度评定：用对观测列进行统计分析的方法来评定标准不确定度。3、B类不确定度评定：用不同于观测列进行统计分析的方法来评定标准不确定度。,4、合成标准不

16、确定度：当测量结果是由若干个其它量的值求得时，按其它各量的方差和协方差算得标准不确定度。5、扩展不确定度：确定测量结果区间的量，合理赋予被测量之值分布的大部分可望含于此区间，有时也称为展伸不确定度或范围不确定度。6、包含因子：为求得扩展不确定度，对合成标准不确定度所乘之数字因子。,6.5.2 产生测量不确定度的原因和测量模型,1.测量不确定的来源被测量的定义不完整；复现被测量的测量方法不理想；取样的代表性不够，即被测样本不能代表所定义的被测量；对测量过程受环境影响的认识不恰如其分或对环境的测量与控制不完善；,对模拟式仪器的读数存在人为偏移；测量仪器的计量性能（如灵敏度、鉴别力阈、分辨力、死区及

17、稳定性等）的局限性 测量标准或标准物质的不确定度；引用的数据或其它参数的不确定度；测量方法和测量程序的近似和假设；在相同条件下被测量在重复观测中的变化。,2.测量不确定度及其数学模型的建立 测量不确定度通常用测量过程的数学模型和不确定度的传播律来评定。在实际测量的很多情况下，被测量Y（输出量）不能直接测得，而是由N个其它量X1、X2、XN（输入量）通过函数关系f来确定 Y=f（X1，X2，XN）(A)称为测量模型或数学模型。,说明：数学模型不是唯一的，如果采用不同的测量方法和不同的测量程序就可能有不同的数学模型。例：一个随温度t变化的电阻器两端的电压为V，在温度为t0时的电阻为R0，电阻器的温

18、度系数为，则电阻器的损耗功率P（被测量）取决于V、R0、和t，P=f（V，R0，t）=V2/R01+（t-t0）,也可采用测量其端电压和流经电阻的电流来获得，则P的数学模型就变成 P=f（V，I）=VI 最简单的数学模型是Y=X，如用卡尺测量工件的尺寸时，则工件的尺寸就等于卡尺的示值。模型中，被测量Y的估计值为y，输入量Xi的估计值为xi，则有：y=f（x1，x2，xN）式（A）中，大写字母表示的量的符号既代表可测的量，代表随机变量。当叙述为Xi具有某概率分布时，这个符号的含义就是随机变量。,y是取Y的n次独立观测值y k的算术平均值，其每个观测值yk 的不确定度相同，且每个y k都是根据同时

19、获得的N个输入量Xi的一组完整的观测值求得的。,在一列观测值中，第k 个Xi的观测值用Xik表示。当被测量Y的最佳估计值y是通过输入量X1，X2，XN的估计值x1，x2，xN得出时，可有以下两种方法：,（B）,式中，它是独立观测值X i,k的算术平均值。说明:（）以上两种方法，当f是输入量Xi的线性函数时，它们的结果相同。（）当f是Xi的非线性函数时，式的计算方法较为优越。,（）在数学模型中，输入量X1、X2、XN可以是：由当前直接测定的量；由外部来源引入的量；xi的不确定度是y的不确定度的来源。（4）评定y的不确定度之前，为确定Y的最佳值，应将所有修正量加入测得值，并将所有测量异常值剔除。（

20、5）Y的不确定度将取决于xi的不确定度，为此首先应评定xi的标准不确定度u（xi）。评定方法可归纳为A、B两类。,6.6 标准不确定度的A类评定,6.6.1 单次测量结果试验标准差与平均值试验标准差 等精度测量定义：使用同样的仪器，在同等的测量环境条件下，同一人员进行的测量。不等精度测量定义：使用不同的仪器或在不同的测量环境条件下，由不同人员进行的测量。,A类,X在重复性条件或复现性条件下进行n次独立重复观测，观测值为,（i=1,2,n）,平均值的实验标准值,算术平均值,单次测量的实验标准差,通常以样本的算术平均值作为被测量值的估计（即测量结果），以平均值的实验标准差作为被测量结果的标准不确定

21、度，即A类标准不确定度。当测量结果取观测列的任一次时所对应的A类不确定度为 当测量结果取n次的算术平均值时，所对应的A类不确定度为,当测量结果取其中的m次的算术平均值时，所对应的A类不确定度为 的自由度是相同的，都是,和,观测次数n充分多，才能使A类不确定度的评定可靠，一般认为n应大于5；当该A类不确定度分量对合成标准不确定度的贡献较大，n也不宜太小；当该A类不确定度对合成标准不确定度的贡献较小，n小一些关系也不大。,说明,例：对一等标准活塞压力计的活塞有效面积进行检定。在各种压力下测得有效面积S0与工作基准面积SS之比l i如下：0.250670 0.250673 0.250670 0.25

22、0671 0.250675 0.250671 0.250675 0.250670 0.250673 0.250670试计算最佳估计值 L、,解：最佳估计值L为：单次测量标准差 为,L由测量重复性导致的标准不确定度 是表示一等标准活塞压力计活塞有效面积S0与工作基准面积SS之比l的由测量重复性引起的不确定度分量，因：,得到由测量重复性引起的S0的标准不确定度分量：以相对不确定度表示,6.6.2 极差,在重复性条件或复现性条件下，对 进行n独立观测，计算结果中的最大值与最小值之差R称为极差。在 可以估计接近正态分布的前提下，单次测量结果 的实验标准差，可按下式近似地评定 式中系数C及自由度 如表6

23、-4所示。,表6-4 极差系数C及自由度,一般在测量次数较小时采用极差法，以49为宜,例：用金属洛氏硬度计测量混凝土回弹仪试验钢砧的硬度，测量5次，硬度值分别为：60.0、60.9、60.8、61.8、62.0HRC，5次平均值 为61.1HRC。用贝塞尔公式算得平均值的实验标准差为:自由度为,如采用极差法进行计算，则 自由度 极差法与贝塞尔法相比，得到不确定度的自由度下降了，也就是说不确定度评定的可靠性有所降低。,6.6.3 最小二乘法,当X的估计值由实验数据用最小二乘法拟合的直线或曲线上得到时，任意预期是估计值或表征曲线拟合参数的标准不确定度可以用已知的统计程序计算得到的。如两估计值x、y

24、有线性关系，对其独立测得若干对数据（x1，y1），（x2，y2），（x n，y n），n2，欲得到参数b、k及其标准不确定度，以及预期估计值及其标准不确定度，要用到最小二乘法。,important,实验标准差：,为残差.,参数b、k的标准不确定度为,为求和公式,6.6.4 不确定度A类评定的独立性,在重复性条件下所得的测量列的不确定度，通常比其它评定方法所得到的不确定度更为客观，并具有统计学的严格性，但要求有充分的重复次数。,6.6.5 A类不确定度评定的自由度和评定流程,对于独立重复测量，自由度（n为测量次数）。对于最小二乘法，自由度（n为数据个数，t为未知数个数）,标准不确定度A类评定的流

25、程,6.7 标准不确定度的B类评定,6.7.1 B类不确定度评定的信息来源当被测量X的估计值不是由重复观测得到，其标准不确定度可用xi的可能变化的有关信息或资料来评定。B类评定的信息来源有以下六项：以前的观测数据；对有关技术资料和测量仪器特性的了解和经验；生产部门提供的技术说明文件；,B类,校准证书、检定证书或其它文件提供的数据、准确度的等级或级别，包括目前暂时在使用的极限误差等；手册或某些资料给出的参考数据及其不确定度；规定实验方法的国家标准或类似技术文件中给出的重复性限r或复现性限R。,6.7.2 B类不确定度的评定方法,1、已知置信区间和包含因子 根据经验和有关信息或资料，先分析或判断被

26、测量值落入的区间，并估计区间内被测量值的概率分布，再按置信水准p来估计包含因子k，则B类标准不确定度,a置信区间半宽；k对应置信水准的包含因子。,2、已知扩展不确定度U和包含因子k；U/K3、已知扩展不确定度和置信水准p的正态分布；一般按正态分布考虑评定其标准不确定度。,正态分布的置信水准（置信概率）p与包含因子 之间存在如下表的关系。,正态分布情况下置信水准p与包含因子k p间的关系,4、已知扩展不确定度 以及置信水准p 与有效自由度 的t分布 如 的扩展不确定度 不仅给出了扩展不确定度 和置信水平p，及有效自由度 或包含因子，按t分布处理,例：校准证书上给出了标称值为5kg的砝码的实际质量

27、为m=5000.00078g，并给出了m的测量结果扩展不确定度U95=48mg，有效自由度，求 解：查t分布表得知t95（35）=2.03，故B类标准不确定度为,6.7.3 B类标准不确定度评定的流程,6.8 合成标准不确定度的评定,被测量Y的估计值y的标准不确定度，是由相应输入量x1，x2，x N的标准不确定度适当合成求得，估计值y的合成不确定度记为，它表征合理赋予被测量估计值y的分散性。,6.8.1 输入量不相关时不确定度的合成,1、当全部输入量 是彼此独立或不相关时，合成标准不确定度 由下式得出,式中 f被测量y与诸直接测得量xi的函数关系。,或是A类评定标准不确定度，或是B类评定标准不

28、确定度。,（C）,说明：1）不确定度 是个估计标准差，表征合理赋予被测量Y的分散性。2）上式是基于 的泰勒级数的一阶近似，称为“不确定度传播律”。3）但当f是明显非线性时，上式中还应包括泰勒级数的高阶项，当每个输入量 都对其平均值 对称分布时，,2、偏导数 称为灵敏系数，符号为c i，即。式（C）在互不相关时，可表达为：,6.8.2 输入量相关时不确定度的合成,如果一些量 明显相关时，就必须考虑其相关性，即使两个量，无真正关联，但在得到它们的估计值的过程中，某些因素可能使它们估计值，之间有某种关联，使得在不确定度处理时，仍要考虑它们之间的相关性。,1、输入量相关时的不确定度传播率,当输入量相关

29、时，测量结果的合成方差,应表示为如下的不确定度传播率,式中,，,的估计；,的估计方差，且,的相关程度可按估计相关系数 表示为,2、相关系数的求法,两输入量X，Y的估计相关系数r(X，Y)表示，取值范围是 可用以下公式计算 统计法,物理（实验）判断法 对于，即X，Y不相关，有下面几种情况：a）X、Y不相关；b）X、Y属于不同体系的分量，如人员引起的不确定度分量与温度影响的不确定度分量；c）(X，Y)在-1，1上对称分布，取 d）X、Y弱相关，近似取,对于(X，Y)=1，即两分量完全正相关，有下面几种情况 a）X、Y呈线性或近似线性关系；b）X、Y属于同一体系的分量，如用一米基线尺测两个1m的长度

30、，则各米分量之间完全正相关；c）一分量增大或减小，引起另一分量增大或减小；d）若知X、Y相关，可近似取,6.8.3 合成标准不确定度的自由度,合成标准不确定度 的自由度称为有效自由度。如果 是两个或多个估计值方差分量的合成，即则即使每个xi是正态分布的输入量 的估计值时，变量 的分布是t分布，其有效自由度可用韦尔奇-萨特思韦特（Welch-Satterthwaite）公式计算,显然有 上式也可用于相对标准不确定度的合成，计算为：,6.8.4 合成不确定度的计算流程,1、对某量进行精度测量，测得的一组数据分别为：802.40、802.50、802.38、802.48、802.42、802.45、

31、802.43，请给出该量测量结果的报告。2、用A、B两只电压表分别对A、B两只用电设备进行电压测量，测量结果如下：A表对用电设备测量结果为:VA=10.000V,绝对误差VA=1mv;B表对用电设备B测量结果为：VB=10mV,绝对误差VB=0.1mv;试比较两测量结果的测量精度高低。,作业,3、测量某用电设备的发电量，用公式 进行计算,已知电流、电阻、时间，测量的相对误差分别为：,求 的测量相对误差。,4、已知x及y为近似直线关系的一组测量数据如下表所列。试用最小二乘法建立此直线的拟和方程，并考核该方程的回归精度。,5、一位移测量系统，经大量试验表明，其系统输出y与被测位移量变化及环境温度的变化呈线性关系，某次试验数据如下表所列。试用多元线性回归法，建立系统输出与量纲及温度的经验公式，并计算该经验公式的相对系数 及剩余标准偏差,6、简述A类不确定度与B类不确定度在评定方法上的主要区别。7、已知函数，被测量x的标准不确定度为，求。,