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1、线性方程组有解的判定条件,问题：,齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；,非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；,例1 求解齐次线性方程组,解,二、线性方程组的解法,即得与原方程组同解的方程组,由此即得,例 求解非齐次线性方程组,解,对增广矩阵B进行初等变换，,故方程组无解,例 求解非齐次方程组的通解,解 对增广矩阵B进行初等变换,故方程组有解，且有,所以方程组的通解为,例,解证,对增广矩阵B进行初等变换，,方程组的增广矩阵为,由于原方程组等价于方程组,由此得通解：,例 设有线性方程组,解,其通解为,这时又分
2、两种情形：,思考题,矩阵求逆、线性方程组的解和矩阵的秩,授课教师：张方国Email:,矩阵的转置,逆矩阵与伴随矩阵,1.逆矩阵的定义,对于n阶矩阵A,若存在n阶矩阵B,使得 AB=BA=E,则称矩阵A可逆。可以证明，此时的矩阵B是唯一的，我们记它为A-1,称之为A的逆矩阵。,【注】定义中的AB=BA=E 可以减为AB=E.,【定理】矩阵A可逆的充分且必要条件是A的行列式不等于零，并且,2.逆矩阵的性质,矩阵A可逆的其它充分且必要条件：,A是非奇异的；A是满秩的；A的n的行（列）向量线性无关；A可以通过有限次行的初等变换化为单位矩阵E;A等价于E,即AE;A可以表为有限个初等矩阵之积，即 A=P
3、1P2-Pk;A没有零特征值。,逆矩阵的计算,方法1 定义法【例】已知矩阵 A2-A-3E=O,求A+E的逆矩阵。,方法2伴随矩阵法,【例】已知 ad-bc0,求二阶矩阵 的逆矩阵。,方法3初等变换法,【例】,求五阶矩阵 的逆矩阵。,方法4分块待定法,求分块矩阵 的逆矩阵，其中A,B为不同阶的可逆矩阵。,【例】,第一种行初等变换,第二种行初等变换,第三种行初等变换,2.主要结论,对矩阵施以行（列）变换，相当于用相应的初等矩阵左（右）乘该矩阵。初等变换不改变矩阵的秩。矩阵可以通过有限次初等变换化为阶梯阵。初等矩阵皆可逆，其逆仍为初等矩阵。可逆矩阵的充要条件是它可表为有限个初等矩阵的乘积。,3.用
4、行变换求矩阵的逆,4.用行变换求线性方程组以及矩阵方程的解,其中A可逆。,伴随矩阵,定义,讨论伴随矩阵的永恒出发点,性质,【例】证明,本题考查的内容较多，至少包括伴随矩阵的定义、性质、运算等。这一结论要记住，其证明最好也掌握。,矩阵可逆的充要条件,下面哪些条件是A可逆的充要条件?|A|0;|A|不等于0A不等于0Rank(A)=n;A*可逆;A的行向量线性无关;A等价于单位矩阵;A可以表示成若干个初等矩阵的乘积A仅通过行初等变换就可以变成单位矩阵A可以写成两个可逆矩阵的乘积AX=0只有零解AX=b有唯一解A没有零特征值A的任何幂次都不等于零,线性方程组,能够熟练判定线性方程组解的情况；能够熟练
5、求出线性方程组的解通式；能够利用解的判定定理解决一些证明；理解两个线性方程组同解的条件；掌握非齐次线性方程组的解与其相应的齐次线性方程组(导出组)的解之间的关系,线性方程组,非齐次线性方程组AX=b;导出组AX=0齐次线性方程组,线 性 方 程 组,一.主要结论,1.,有解的充分且必要条件是,增广矩阵化为阶梯阵后的最后一个非零行的首元素不出现在最后一列。,2.,AX=O 一定有解：,r(A)=n 时，AX=O 有唯一零解；r(A)n 时，AX=O 有无穷多解；,特别，当m=n 时，A的行列式为零时，有无穷多解；A的行列式不为零时，有唯一零解。,3.当AX=O 有无穷多解时，若其解空间的维数为
6、n-r,即其基础解系为,时，其通解为,4.当AX=b 有无穷多解时，其通解为,5.AX=b,AX=O 解的关系：AX=b 的一个解与AX=O 的 一个 解之和，必为AX=b 的一个解；AX=b 的两个解之差，必为AX=O 的一个解.,二.解法,1.AX=O 解法A的行变换法（保留方程法）；,2.AX=b 解法 的行变换法（保留方程法）.,矩阵的秩,定义及求法,定义矩阵A非零子式的最高阶数称为它的秩，并用 r（A）表示。,我们有,r（A）min（m,n）;r（A）=0,当且仅当 A=O;求r（A）我们依据下面的定理：,【定理】初等变换不改变矩阵的秩。（用行变换化矩阵为阶梯阵，即可由非零阶梯的个数求得）,2.关于矩阵秩的几个重要结论,r(AB)min r(A),r(B);若A可逆，则 r(AB)=r(B)，若B可逆，则 r(AB)=r(A);max r(A),r(B)r(A,B)r(A)+r(B);r(A)-r(B)r(A+B)r(A)+r(B);A为sn,B为nt时，r(AB)r(A)+r(B)n;A为sn,B为nt时，且AB=O时，r(A)+r(B)n。,（0）矩阵的秩=矩阵的行秩=矩阵的列秩。,
