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1、1,第二章 解析函数,第一节 解析函数的概念与柯西-黎曼方程,第二节 初等解析函数,第三节 初等多值解析函数,2,一、复变函数的导数与微分,1.导数:,第一节 解析函数的概念与柯西-黎曼方程,在定义中应注意:,3,例1,解,即,例2,解,4,例3,解,5,例4,解,6,2.可导与连续:,函数 f(z)在 z0 处可导则在 z0 处一定连续,但函数 f(z)在 z0 处连续不一定在 z0 处可导.,7,3.求导法则:,8,4.微分:,特别地,9,二、解析函数的概念,1.解析函数的定义,2.奇点的定义,若函数 在点 不解析，但在 的任一邻域内总有 的解析点，则称 为函数 的奇点.,10,根据定义可
2、知:,1、函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.,2、函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的概念.（即函数在一点处可导,不一定在该点处解析.函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多.）,注意：,P56,（1,2，反之不对）,11,例1,解,例2,解,课后思考题：,答案:,处处不可导,处处不解析.,12,13,定理：,以上定理的证明,可利用求导法则，可知：,(1)所有多项式在复平面内是处处解析的.,14,如果 是可微的，的实部 与虚部 应当不是相互独立的，而是必须适合一定的条件。,若 在一点 可微，设,设,（1）,则（1）变为：,（2）,三、柯西-黎曼方程（C.-R.方程）,15,（2）
3、,情况一：,即变点 沿平行于实轴的方向趋于点 则（2）变为：,知 存在，有,情况二：,即变点 沿平行于虚轴的方向趋于点 则（2）变为：,知 存在，有,（3）,（4）,16,由（3），（4）得：,-称为：柯西-黎曼方程（C.-R.方程）,（2）在点 满足C.-R.方程.,定理2.1（可微的必要条件）设函数在区域 内有定义，且在 内一点 可微，则必有,（1）偏导数 在点 存在；,17,（2）在点 满足C.-R.方程.,定理2.2（可微的充要条件）设函数在区域 内有定义，则 在 内一点 可微的充要条件是：,（1）二元函数 在点 可微；,满足上述条件，在点 的导数可以表示为下列形式之一：,推论2.3（
4、可微的充分条件）设函数在区域 内有定义，且在 内一点 可微的充分条件是,（1）在点 处连续；,（2）在点 满足C.-R.方程.,18,19,例1,解,（注：由定理2.5知，函数 在复平面内解析）,20,解析函数的判定方法:,注1 解析函数的实部与虚部不是完全独立的，它们是C-R方程的一组解，它们是在研究流体力学时得到的。,注2 解析函数的导数形式更简洁。,21,四、典型例题,解,不满足C.-R.方程,例1 判断下列函数在何处可导，在何处解析：,四个偏导数均连续,但是,22,例2,解,P56 例2.7，例2.8，例2.9,23,例3,证:因为,类似可进一步证明:P91,24,思考题：P58,（1
5、）复变函数的可微性与解析性有什么异同？（2）判断函数的解析性有哪些办法？,25,一、指数函数,1.指数函数的定义:,第二节 初等解析函数,指数函数的定义等价于关系式:,26,注意：,1、满足加法定理,2、具有周期性,3、极限 不存在，即 无意义.,4、不满足罗尔定理，但满足洛必达法则.,27,例1,解,例2,解,28,二、三角函数和双曲函数,1.三角函数的定义,将两式相加与相减,得,现在把它们定义推广到自变数取复值的情况：,（1）,（2）,29,（4）有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式,(注意：这是与实函数完全不同的),事实上，,P62 例2.12,（5）的零点，的零点.,（6）,30,其它
6、三角函数,31,2.双曲函数的定义,它们的导数分别为,它们都是以 为周期的周期函数,显然这些函数都是解析函数，各有其解析区域，且都是相应的实双曲函数在复数域内的推广。,32,思考题:,实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同?,答案,两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是类似的,而且导数的形式、加法定理、正余弦函数的平方和等公式也有相同的形式.,最大的区别是,实变三角函数中,正余弦函数都是有界函数,但在复变三角函数中,3.初等复变函数：基本初等复变函数经过加、减、乘、除、乘方和开方等基本运算，或经历有限次复合运算，所形成的复变函数称为初等复变函数,简称为复变函数.,33,定义2.8(单叶函
7、数）设函数f(z)在区域D内有定义,且对D内任意不同的两点z1及z2都有f(z1)f(z2),则称函数 f(z)在D内是单叶的.并且称区域D为f(z)的单叶性区域.显然,区域D到区域G的单叶满变换w=f(z)就是D 到G的一一变换.f(z)=z2不是C上的单叶函数.f(z)=z3是C上的单叶函数,第三节 初等多值函数,34,一、根式函数,定义：根式函数 是幂函数 的反函数（n是大于1的整数）.,1、幂函数 的性质,(1)在w平面上单值解析，且,(2)在w平面上单值多叶.,(3)的变换性质.,扩充 平面 扩充 平面，,射线 射线,圆周 圆周，,角形 角形,.令，则：,35,特别地，变换 把 平面
8、上的角形 平面除去原点及负实轴的区域：,36,2、幂函数 的单叶性区域,（1）的单叶性区域的一种分法.,即 都是 的单叶性区域.,（2）判断区域是单叶性区域的办法,定理：是 的单叶性区域,37,3、根式函数 的单值解析分支,当 时，根式函数,（1）根式函数多值原因：自变量 确定后，其幅角 并不惟一确定，可以相差 的整数倍，即可以随意绕原点转整圈，从而使根式函数 是多值函数.,38,（2）分出 的单值解析分支 P67-68,因此，在区域 内，对每一个，得到 的 个不同的单值连续分支函数：,又 在 内解析，且,故 也是 的 个不同的单值解析分支函数.,39,定义1 设 为多值函数，为一定点，作小圆
9、周,，若变点 沿 转一周，回到出发点时，,函数值发生了变化，则称 为 的支点，如,就是其一个支点，这时绕 转一周也可看作绕点,转一周，故点 也是其一个支点.,4、的支点及支割线,注：一般地，多值函数的支点是这样的点，使当变点 绕这点一周时，多值函数从其一支变到另一支.,40,定义2 设想把平面割开，借以分出多值函数的单值分支的割线，称为多值函数的支割线.,(如 可以以负实轴为支割线.),注 a)支割线可以有两岸,单值分支在两岸取不同的值.,c)支割线改变各单值分支的定义域，值域也随之改变.,(e)每一单值分支在支割线上是不连续的.,d)对，当以负实轴为支割线时，当 时取正值的那个分支称为主值支
10、.,b)支割线的不同做法，分支也就不同;但 仍互不相交而填满整个 平面.,(f)包含或包围原点 的区域 内，不可能把 分成 个独立的单值解析分支.,41,例2.15 设 确定在从原点 起沿负实轴割破了的 平面上，并且.试求 的值.,解 设，则,（1）由已知条件定,时,要,必,或者：直接由 的幅角，合于 看出，因而.,(2)求,因 故,注：定支求值法,42,二、对数函数,1、是一个无穷多值函数.,43,2、的一般值,的主值（主值支）,注：,w=Lnz是指数函数ew=z的反函数，,Lnz一般不能写成lnz,44,例1,解,注意:在实变函数中,负数无对数,而复变数对数函数是实变数对数函数的推广.,例
11、2,例3,45,例4,解,3.对数函数的性质,46,4、指数函数 的变换性质,令,特别，变换 把 平面上的带形 变成 平面上除去原点及负实轴的区域.,47,5、指数函数 的单叶性区域,（1）变换 把宽为 的带形,都变成 平面上除去原点及负实轴的区域.P77 图2.10,（2）判断区域是单叶性区域的办法,的点 不属于.,对于区域 内任一点，满足条件,（为非零整数）,48,6、对数函数 的单值解析分支,就是一个单值连续分支函数，记为：,（1）在 平面上割破负实轴的区域 内：,每取定一个 值，,（2）在区域 内解析，有,故 有无穷多个单值解析分支.,7、对数函数 的支点和支割线,支点：0和,（特别地
12、，的支点：和）,支割线：连接 和 的简单曲线.（如负实轴）,49,例1 设 定义在沿负实轴割破的平面上，且,解：,求值：,（是下岸相应点的函数值）求 的值.,注：定支求值法,50,三、一般幂函数与一般指数函数,1、定义：（为复常数）称为 的一般幂函数.,注：,（1）是实数域中（为实数）在复数域中的推广.,（2）取整数 或分数 时，则分别为,（3）,其中，是多值函数，所以 也是多值函数;而 是 所有的值中的一个.,51,讨论 的三种情形：,（1）为一整数 时，有，为单值.,（2）为（有理数），有,只能取 个不同的值，即当 时的对应值.,（3）是一无理数或虚数，则 所有值各不相同，就有无限多解.,
13、注：是多值函数，它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的，有,52,2、定义：（为一复常数）称为 的一般指数函数.,注：它是无穷多个独立的、在z平面上单值解析的函数。,53,例1,求 的主值.,解,的主值为,解,的主值为,54,例3,解,幅角的主值为：,55,四、具有有限个支点的情形,(1)的可能支点为 和；,(2)当且仅当 不能整除 时，是 的支点；,(3)当且仅当 不能整除 时，是 的支点；,(4)若 能整除 中若干个之和，则 中对应的几个就可以联结成割线，即变点 z 沿只包含它们在其内部的简单闭曲线转一整周后，函数值不变.,56,例 考查下列函数有哪些支点.,解：,（1）支点为,（2）支点为,（3）可能支点为，就可将0与1，2与3，分别用直线联结成割线，抱成两个团，余下4与点 联结成一条割线.,（4）可能支点为，就可将0与1，2用直线联结成一条割线，抱成一个团，余下将3，4与点 联结成一条割线.,57,1.反三角函数的定义,两端取对数得,同样可以定义反正弦函数和反正切函数,重复以上步骤,可以得到它们的表达式:,五、反三角函数和反双曲函数,58,2.反双曲函数的定义,例1,解,
