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1、Chapter 4 Internal forces in beams,第四章 弯曲内力,4-1 基本概念及工程实例(Basic concepts and example problems),第四章 弯曲内力(Internal forces in beams),4-3剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图(Shear-force shear-force&bending-moment diagrams),4-2 梁的剪力和弯矩(Shear-force and bending-moment in beams),4-6 平面刚架和曲杆的内力图(Internal diagrams for frame memb
2、ers&curved bars),4-5 叠加原理作弯矩图(Drawing bending-moment diagram by superposition method),4-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间 的关系(Relationships between load,shear force,and bending moment),一、工程实例(Example problem),4-1 基本概念及工程(Basic concepts and example problems),工程实例(Example problem),二、基本概念(Basic concepts),2.梁(Beam)以弯曲变形为
3、主的杆件,外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线.,（1）受力特征,（2）变形特征 变形前为直线的轴线,变形后成为曲线.,1.弯曲变形(Deflection),3.平面弯曲(Plane bending)作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内,弯曲变形后的轴线是一条在该纵向对称面内的平面曲线,这种弯曲称为平面弯曲.,A,B,梁变形后的轴线与外力在同一平面内,FRA,F1,F2,FRB,（3）支座的类型,4.梁的力学模型的简化(Representing a real structure by an idealized model),（1）梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁。,（2）载荷类型,集中力(co
4、ncentrated force),集中力偶(concentrated moment),分布载荷(distributed load),可动铰支座(roller support),固定铰支座(pin support),固定端(clamped support or fixed end),5.静定梁的基本形式(Basic types of statically determinate beams),起重机大梁为No.25a工字钢,如图所示,梁长L=10m,单位长度的重量为38.105kg/m,起吊重物的重量为100kN,试求起重机大梁的计算简图.,一、内力计算(Calculating interna
5、l force),举例 已知 如图，F，a，l.求距A端x处截面上内力.,解:求支座反力,4-2 梁的剪力和弯矩(Shear-force and bending-moment in beams),求内力截面法,1.弯矩(Bending moment)M 构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩.,2.剪力(Shear force)FS 构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力.,1.剪力符号(Sign convention for shear force),使dx 微段有左端向上而右端向下的相对错动时,横截面m-m上的剪力为正.或使dx微段有顺时针转动趋势的剪力为正.,二、内力的符
6、号规定(Sign convention for internal force),使dx微段有左端向下而右端向上的相对错动时,横截面m-m上的剪力为负.或使dx微段有逆时针转动趋势的剪力为负.,当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半部受拉）时,横截面m-m上的弯矩为正；,2.弯矩符号(Sign convention for bending moment),当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.,解：,（1）求梁的支反力 FRA 和 FRB,例题2 图示梁的计算简图.已知 F1、F2,且 F2 F1,尺寸a、b、c和 l 亦均为已知.试求梁在 E、F 点处横截面处
7、的剪力和弯矩.,记 E 截面处的剪力为FSE 和弯矩 ME，且假设FSE 和弯矩ME 的指向和转向均为正值.,解得,取右段为研究对象,计算F点横截面处的剪力FSF 和弯矩MF.,三、计算规律(Simple method for calculating shear-force and bending-moment),1.剪力(Shear force),不论在截面的左侧或右侧向上的外力均将引起正值的弯矩，而向下的外力则引起负值的弯矩.,2.弯矩(Bending moment),左侧梁段 顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩,逆时针转向的外力偶引起负值的弯矩,右侧梁段 逆时针转向的外力偶引起正值的弯矩,
8、顺时针转向的外力偶引起负值的弯矩,例题3 轴的计例算简图如图所示，已知 F1=F2=F=60kN，a=230mm，b=100 mm 和c=1000 mm.求 C、D 点处横截面上的剪力和弯矩.,解：,（1）求支座反力,（2）计算C 横截面上的剪力FSC和弯矩 MC,看左侧,（3）计算D横截面上的剪力FSD 和弯矩 MD,看左侧,解:,例题4 求图示梁中指定截面上的剪力和弯矩.,（1）求支座反力,（2）求1-1截面的内力,（3）求2-2截面的内力,4-3 剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图(Shear-force shear-force&bending-moment diagrams),FS=FS
9、(x),M=M(x),一、剪力方程和弯矩方程(Shear-force&bending-moment equations)用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律，分别称作剪力方程和弯矩方程.,1.剪力方程(Shear-force equation),2.弯矩方程(Bending-moment equation),弯矩图为正值画在 x 轴上侧,负值画在x 轴下侧,二、剪力图和弯矩图(Shear-force&bending-moment diagrams),剪力图为正值画在 x 轴上侧,负值画在x 轴下侧,以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置,以纵坐标表示相应截面上的剪力和弯矩.这种
10、图线分别称为剪力图和弯矩图,例题5 如图所示的悬臂梁在自由端受集中荷载 F 作用,试作此梁的剪力图和弯矩图.,解:列出梁的剪力方程 和弯矩方程,例题6 图示的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载用.试作此梁的剪力图和弯矩图.,解：（1）求支反力,（2）列剪力方程和弯矩方程.,剪力图为一倾斜直线,绘出剪力图,弯矩图为一条二次抛物线,令,得驻点,弯矩的极值,绘出弯矩图,由图可见，此梁在跨中截面上的弯矩值为最大,但此截面上 FS=0,两支座内侧横截面上剪力绝对值为最大,解:（1）求梁的支反力,例题7 图示的简支梁在C点处受集中荷载 F 作用.试作此梁的剪力图和弯矩图.,因为AC段和CB段的内力方程不
11、同，所以必须分段列剪力方程和弯矩方程.,将坐标原点取在梁的左端,将坐标原点取在梁的左端,AC段,CB段,由（1）,（3）两式可知，AC、CB两段梁的剪力图各是一条平行于 x 轴的直线.,由（2），（4）式可知，AC、CB 两段梁的弯矩图各是一条斜直线.,在集中荷载作用处的左,右两侧截面上剪力值(图)有突变,突变值等于集中荷载F.弯矩图形成尖角,该处弯矩值最大.,解：求梁的支反力,例题8 图示的简支梁在 C点处受矩为M的集中力偶作用.试作此梁的的剪力图和弯矩图.,将坐标原点取在梁的左端.,因为梁上没有横向外力，所以全梁只有一个剪力方程,由(1)式画出整个梁的剪力图是一条平行于 x 轴的直线.,A
12、C段,CB段,AC 段和 BC 段的弯矩方程不同,AC,CB 两梁段的弯矩图各是一条倾斜直线.,x=a,x=l,M=0,梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩值(图)发生突变，其突变值等于集中力偶矩的数值.此处剪力图没有变化.,+,+,2.以集中力、集中力偶作用处、分布荷载开始或结束处,及支座截面处为界点将梁分段.分段写出剪力方程和弯矩方程,然后绘出剪力图和弯矩图.,1.取梁的左端点为坐标原点,x 轴向右为正:剪力图向上为正;弯矩图向上为正.,5.梁上的FSmax发生在全梁或各梁段的边界截面处;梁上的Mmax发生在全梁或各梁段的边界截面,或FS=0 的截面处.,小 结,3.梁上集中力作用处
13、左、右两侧横截面上,剪力（图）有突变,突变值等于集中力的数值.在此处弯矩图则形成一个尖角.,4.梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩（图）有突变,其突变值等于集中力偶矩的数值.但在此处剪力图没有变化.,例题9 一简支梁受移动荷载 F 的作用如图所示.试求梁的最大弯矩为极大时荷载 F 的位置.,解:先设F 在距左支座 A 为 x 的任意位置.求此情况下梁的最大弯矩为极大.,荷载在任意位置时，支反力为,当荷载 F 在距左支座为 x 的任意位置 C 时，梁的弯矩为,令,此结果说明，当移动荷载 F 在简支梁的跨中时，梁的最大弯矩为极大.,得最大弯矩值,设梁上作用有任意分布荷载其集度,4-4 剪力
14、、弯矩与分布荷载集度间的关系(Relationships between load,shear force,and bending moment),一、弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系(Differential relationships between load,shear force,and bending moment),q=q(x),规定 q(x)向上为正.,将 x 轴的坐标原点取在梁的左端.,假想地用坐标为 x 和 x+dx的两横截面m-m和n-n从梁中取出dx 微段.,x+dx 截面处 则分别为 FS(x)+dFS(x)，M(x)+dM(x).由于dx很小，略去q(x)沿dx的
15、变化.,m-m截面上内力为 FS(x),M(x),写出微段梁的平衡方程,得到,略去二阶无穷小量即得,公式的几何意义,（1）剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小;,（2）弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小;,（3）根据q(x)0或q(x)0来判断弯矩图的凹凸性.,M(x)图为一向上凸的二次抛物线.,FS(x)图为一向右下方倾斜的直线.,二、q(x)、FS(x)图、M（x）图三者间的关系(Relationships between load,shear force,and bending moment diagrams),1.梁上有向下的均布荷载,即 q(x)0,2.梁上无荷
16、载区段，q(x)=0,剪力图为一条水平直线.,弯矩图为一斜直线.,当 FS(x)0 时,向右上方倾斜.,当 FS(x)0 时,向右下方倾斜.,5.最大剪力可能发生在集中力所在截面的一侧;或分布载荷发生变化的区段上.梁上最大弯矩 Mmax可能发生在FS(x)=0 的截面上;或发生在集中力所在的截面上;或集中力偶作用处的一侧.,3.在集中力作用处剪力图有突变,其突变值等于集中力的值.弯矩图有转折.,4.在集中力偶作用处弯矩图有突变，其突变值等于集中力偶的值，但剪力图无变化.,无荷载,集中力,F,C,集中力偶,M,C,向下倾斜的直线,上凸的二次抛物线,在FS=0的截面,水平直线,一般斜直线,或,在C
17、处有转折,在剪力突变的截面,在紧靠C的某一侧截面,一段梁上的外力情况,剪力图的特征,弯矩图的特征,Mmax所在截面的可能位置,表 4-1 在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征,向下的均布荷载,在C处有突变,在C处有突变,在C处无变化,三、分布荷载集度、剪力和弯矩之间的积分关系(Integral relationships between load,shear force,and bending moment),若在 x=x1 和 x=x2 处两个横截面无集中力则,等号右边积分的几何意义是x1,x2两横截面间分布荷载图的面积.,若横截面x=x1，x=x2 间无集中力偶作用则得,式中 M(x1)，M(
18、x2)分别为在x=x1 和 x=x2处两个横截面上的弯矩.,等号右边积分的几何意义是 x1,x2两个横截面间剪力图的面积.,式中，分别为在 x=x1 和 x=x2 处两个横截面上的剪力.,例题10 一简支梁受两个力F作用,如图所示.已知 F=25.3kN,有关尺寸如图所示.试用本节所述关系作剪力图和弯矩图.,解：（1）求梁的支反力,将梁分为 AC、CD、DB 三段.每一段均属无载荷区段.,（2）剪力图,每段梁的剪力图均为水平直线,AC段,DB段,最大剪力发生在DB段中的任一横截面上,CD段,最大弯矩发生在 C 截面,（3）弯矩图,每段梁的弯矩图均为斜直线.且梁上无集中力偶.,（4）对图形进行校
19、核,在集中力作用的C,D 两点剪力图发生突变,突变值F=25.3kN.而弯矩图有尖角.,在AC段剪力为正值，弯矩图为向上倾斜的直线.,在CD和DB段，剪力为负值，弯矩图为向下倾斜的直线.,最大弯矩发生在剪力改变正、负号的 C截面处.说明剪力图和弯矩图是正确的.,例题11 一简支梁受均布荷载作用，其集度 q=100kN/m,如图 所示.试用简易法作此梁的剪力图和弯矩图.,解：（1）计算梁的支反力,将梁分为 AC、CD、DB 三段.AC和DB上无荷载，CD 段有向下的均布荷载.,（2）剪力图,AC段 水平直线,CD段 向右下方的斜直线,DB段 水平直线,最大剪力发生在 AC 和 DB 段的任一横截
20、面上.,例题12 作梁的内力图.,解：（1）支座反力为,将梁分为AC、CD、DB、BE 四段.,（2）剪力图,AC段 向下斜的直线(),CD段 向下斜的直线(),DB段 水平直线(-),EB段 水平直线(-),AC段 向下斜的直线(),CD段 向下斜的直线(),F点剪力为零,令其距 A截面的距离为x,x=5m,（3）弯矩图,CD段,AC段,BE段,（4）校核,解：支座反力为,FRA=81 kNFRB=29 kNMA=96.5 kNm,例题13 用简易法作组合梁的剪力图和弯矩图.,将梁分为 AE，EC，CD，DK，KB 五段。,(1)剪力图,AE段 水平直线,FSA右=FSE左=FRA=81kN
21、,ED 段 水平直线,DK 段 向右下方倾斜的直线,FSK=-FRB=-29kN,FSE右=FRA-F=31kN,KB 段 水平直线,FSB左=-FRB=-29 kN,设距K截面为 x 的截面上剪力 FS=0.即,（2）弯矩图,AE，EC，CD 梁段均为向上倾斜的直线,KB 段 向下倾斜的直线,DK段 向上凸的二次抛物线,在 FS=0 的截面上弯矩有极值,中间铰链传递剪力(铰链左,右两侧的剪力相等)；但不传递弯矩(铰链处弯矩必为零).,+,例题14 已知简支梁的剪力图,作梁的弯矩图和荷载图.已知梁上没有集中力偶作用.,AB 段 没有荷载，在B处有集中力,BC 段 无荷载,CD 段 有均布荷载
22、q(),(2)弯矩图,AB段 向右上倾斜的直线,BC段 向右下倾斜的直线.,CD段 向上凸的二次抛物线.该段内弯矩没有极值.,例题15 已知简支梁的弯矩图,作出梁的剪力图和荷载图.,AB段 因为 M(x)=常量,剪力图为水平直线,且 FS(x)=0.,BC段 FS(x)=常量,剪力图为水平直线,CD段 剪力图为水平直线,且FS(x)=0,AB段 无荷载,在A处有集中力偶,(2)作荷载图,F=20kN(),B 处有集中力.,集中力,BC段 无荷载 C处有集中力,集中力 F=20kN(),CD段 无荷载,4-5 按叠加原理作弯矩图(Drawing bending-moment diagram by
23、 superposition method),一、叠加原理(Superposition principle)多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独 作用于结构而引起的内力的代数和.,二、适用条件(Application condition)所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系.即在弹性限度内满足胡克定律.,三、步骤(Procedure)（1）分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图;（2）将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）,例16 悬臂梁受集中荷载 F 和均布荷载 q 共同作用,试按叠加原理作此梁的弯矩图,解:悬臂梁受集中荷载 F 和均布荷载 q 共同作
24、用，在距左端为 x 的任一横截面上的弯矩为,F 单独作用,q单独作用,F,q 作用该截面上的弯矩等于F,q 单独作用该截面上的弯矩的代数和,+,-,例题17 图示一外伸梁，a=425mm,F1、F2、F3 分别为 685 kN,575 kN,506 kN.试按叠加原理作此梁的弯矩图,求梁的最大弯矩.,解：将梁上荷载分开,1.平面刚架的内力(Internal forces for plane frame members)剪力(shear force);弯矩(bending moment);轴力(axial force).,平面刚架是由在同一平面内,不同取向的杆件,通过杆端相互刚性连结而组成的结构
25、.,一、平面刚架的内力图(Internal diagrams for plane frame members),弯矩图(bending moment diagram)画在各杆的受压側,不注明正、负号.,剪力图及轴力图(shear force and axial force diagrams)可画在刚架轴线的任一側(通常正值画在 刚架的外側).注明正,负号.,2、内力图符号的规定(Sign convention for internal force diagrams),例题18 图示为下端固定的刚架.在其轴线平面内受集中力F1 和 F2 作用，作此刚架的弯矩图和轴力图.,解：将刚架分为 CB，A
26、B 两段,CB 段,FN(x)=0,M(x)=F1x(0 x a),FS(x)=F1(+)(0 x a),BA 段,FN(x)=F1（）(0 x l),M(x)=F1a+F2 x(0 x l),FS(x)=F2(+)(0 x l),二、平面曲杆(Plane curved bars),轴力 引起拉伸的轴力为正；,弯矩 使曲杆的曲率增加（即外侧受拉）的弯矩为正.,剪力 对所考虑的一端曲杆内一点取矩 产生顺时针转动 趋势的剪力为正;,1、平面曲杆(Plane curved bars)轴线为一平面曲线的杆件.内力情况及绘制方法与平面刚架相同.,2、内力符号的确定(Sign convention for internal force),例19 如图所示的半圆环半径为R,在自由端受到载荷F 的作用.试绘制FS图、M图和FN图.,解：建立极坐标系,O为极点,OB极轴,q 表示截面m-m的位置.,第四章结束,
