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1、第6章 离散信号与系统的频域分析,6.1 周期信号的离散时间傅里叶级数6.2 非周期信号的离散时间傅里叶变换 6.3 周期序列的离散时间傅里叶变换 6.4 离散时间傅里叶变换的性质 6.5 离散傅里叶变换(DFT)6.6 DFT的性质 6.7 快速傅里叶变换(FFT)简介 6.8 离散系统的频域分析,6.1 周期信号的离散时间傅里叶级数,6.1.1 离散时间傅里叶级数,一周期为T的周期信号f(t)，若满足狄里赫利条件，则有,式中，为基波角频率。这就是连续信号的傅里叶级数。若设其基波频率为，将积分区间由 移到0T，则上式可写为,DFS的输入是一个数列，而不是时间连续函数。数列通常是以周期TN秒等
2、间隔、周期地对连续信号采样而产生。如果在周期函数f(t)的一个周期中采集N个样点，则有T=NTN(TN为采样间隔)。这样就得到一个数据序列f(kTN)，可以简记为f(k)。数据的顺序k确定了采样时刻，而采样间隔TN隐含在f(k)中。为了计算数据序列f(k)的傅里叶级数系数，我们对式(6.1-4)的符号作如下的演变：,于是得到,(6.1-7),与连续时间信号傅里叶级数的情况一样，Fn称为离散傅里叶级数的系数，也称为f(k)的频谱系数。通常Fn是一个关于n的复函数。采用与连续时间傅里叶级数中同样的方法，可以证明当f(k)是实周期信号时，其离散傅里叶级数的系数满足,6.1.2 离散时间周期信号的频谱
3、,图 6.1-1 周期性矩形脉冲序列,应用式(6.1-7)可求其傅里叶级数。不过，直接利用式(6.1-7)从0到N-1来计算并不方便，因为这个序列是对k=0对称的，因此，宜选择一个对称区间，于是f(k)的离散时间傅里叶级数系数为,n0,N,2N,n=0,N,2N,(6.1-11),据式(6.1-11)就可画出f(k)的频谱图，但此频谱图的绘制比较困难。为了更方便地绘制f(k)的频谱图，我们采用与连续时间矩形脉冲信号频谱绘制相似的方法，先分析Fn的包络。为此，将(6.1-11)式中的 用连续变量来代换，即有,n0,N,2N,图 6.1-2 周期矩形脉冲序列的频谱,图 6.1-3 N=10,N1=
4、1时矩形脉冲序列的频谱,6.2 非周期信号的离散时间傅里叶变换,6.2.1 离散时间傅里叶变换,图 6.2-1 离散时间信号,图 6.2-1(a)所示fN(k)为一离散时间周期信号，当其周期N趋于无穷大时，周期信号fN(k)就过渡为非周期信号f(k)。,|k|N1|k|N1,据DFS的定义，图 6.2-1(a)所示离散时间周期信号fN(k)的离散时间傅里叶级数表示式为,由图 6.2-1(a)可知，当 时fN(k)=0，式(6.2-3)可写为,又由于当|k|N1时，fN(k)=f(k)，上式又可写为,则有,6.2.2 常用信号的离散时间傅里叶变换,1.f(k)=ak(k)，|a|1 指数序列ak
5、(k)示于图 6.2-2，其频谱函数应用式(6.2-11)可直接求得：,其幅度谱和相位谱示于图 6.2-2。从图中可知幅度谱、相位谱都是以2为周期的周期函数。因而一般只要画出02或-的谱线即可。,2.,(0a1),此信号为双边指数序列，并且是k的奇函数。由式(6.2-11)可得,图 6.2-2 ak(k)及其频谱,(a)0a1;(b)-1a0,3.矩形脉冲信号f(k),图 6.2-3 矩形脉冲信号及其频谱,4.单位脉冲序列(k),图 6.2-4 单位脉冲信号(k)及其频谱,5.f(k)=1,由此可见，对应的离散时间傅里叶变换为，因此可得，1的频谱为，即,图 6.2-5 序列1及其频谱,6.正负
6、号函数Sgn(k),图 6.2-6 正负号序列Sgn(k),7.单位阶跃序列(k),对照连续信号(t)频谱的求法，我们将(k)表示为下面的形式：,由前面的讨论已经知道：,于是有,6.3 周期序列的离散时间傅里叶变换,我们已经知道，f(k)=1是一个周期信号，其对应的离散时间傅里叶变换为,图 6.3-1 所示的频谱可表示为,图 6.3-1 f(k)=e j0k的频谱,将F(ej)代入式(6.2-10)可求得,从而得到复指数序列e j0k的离散时间傅里叶变换为,对于复指数序列，若设，则有 的离散时间傅里叶变换为,如果将n的取值范围选为n=0N-1，,式(6.3-8)就可以改写成更为简单的形式：,离
7、散时间周期信号f(k)的离散时间傅里叶变换F(ej)，即有,例 6.3-1 求f(k)=cos0k的离散时间傅里叶变换。,解由于,同样可得,图 6.3-2 cos0k的频谱,例 6.3-2 f(k)为图 6.1-1 所示的周期性矩形脉冲序列，它在 的一个周期中可表示为,求其离散时间傅里叶变换。,解 周期序列f(k)的离散时间傅里叶级数系数Fn如式(6.1-11)所示，即,n=0,N,2N,n0,N,2N,图 6.3-3 周期矩形脉冲序列的频谱(N=10,N1=2),6.4 离散时间傅里叶变换的性质,1.周期性,离散时间f(k)的离散时间傅里叶变换F(ej)对来说总是周期性的，其周期为2。这是它
8、与连续时间傅里叶变换的根本区别。,2.线性,若,则有,3.,若,则据定义式(6.2-11)有,若f(k)为实序列，则f(k)=f*(k),于是有,此式可进一步表述如下。若,4.时移和频移,如果f(k)F(ej)，对f(k-k0)直接应用式(6.2-11)求离散时间傅里叶变换并通过变量代换可得时移特性,如果对F(ej(-0)应用式(6.2-10)求其傅里叶反变换，利用变量代换就得频移特性,例如，,应用频移性质，显然有,5.时域和频域的尺度变换,对于离散时间信号f(k)，由于k只能取整数，因而f(ak)中a也只能取整数，而且f(ak)的含义与f(at)根本不同。f(ak)并不表示将f(k)沿k轴压
9、缩1/a。比如当a=2时，f(2k)表示由f(k)的偶次项组成的序列，因而f(2k)的离散时间傅里叶变换与f(k)的离散时间傅里叶变换无直接关系。为了讨论离散序列中与连续信号尺度变换类似的性质，我们定义一个信号f(m)(k),k是m的倍数,k不是m的倍数,(m为整数),f(m)(k)序列相当于将f(k)在k轴扩展而得。,f(m)(k)的离散时间傅里叶变换F(m)(ej)为,这样就得到离散时间傅里叶变换的尺度变换性质，即,若f(k)F(e j),则有,作为特例，当m=-1时，有,尺度变换性质表明，对离散序列，当序列在时域里“拉长”，其对应的傅里叶变换在频域里就“压缩”了。,6.频域微分特性,若f
10、(k)F(ej)，即有,把上式两端对求微分，可得,因此，两端乘j,就有,7.卷积(和)特性,若f1(k)F1(ej),f2(k)F2(ej)，应用与连续时间傅里叶变换卷积特性的证明完全相似的方法，可得时域卷积特性,对于频域卷积特性，由于,所以,交换求和及积分次序，有,上式右端为F1(ej)与F2(ej)的卷积。只不过由于F1(ej)与F2(ej)都是以2为周期的周期函数，其卷积结果亦为以2为周期的周期函数，因而称之为周期卷积。记为,图6.4-1 尺度变换特性,8.差分与迭分(累和),设f(k)F(e j)，根据线性和时移特性可得离散序列傅里叶变换的差分性质，即,离散序列迭分的傅里叶变换为,(6
11、.4-15),当f(k)=(k)时，,由于,应用式(6.4-15)的迭分特性，可得,9.巴塞瓦尔定理,与连续时间信号的情况一样，在离散序列的傅里叶变换中也有类似的巴塞瓦尔定理。即,若f(k)F(ej)，则有,对于周期序列，则相应有,10.对偶性,若,则有,若非周期序列f(k)的离散时间傅里叶变换为F(ej)，即,F(ej)是周期为2的频域周期函数，其对应的F(ejt)也是以2为周期的时域周期函数。我们将周期信号F(ejt)展开为连续时间傅里叶级数，注意到周期T=2，基波频率，于是有,因此有：若f(k)F(ej)，则,例 6.4-1 已知一周期为2的连续时间周期信号f(t)的傅里叶级数系数为,求
12、周期信号f(t)。,解 由题可知，Fn可看作是一个离散时间脉冲序列。其离散时间傅里叶变换如式(6.2-15)所示，即为，因此，依据对偶关系，就有,如果将对偶性的讨论应用于离散时间傅里叶级数，则可得到与连续信号傅里叶变换相对应的对偶性。将周期序列f(k)的傅里叶级数系数表示为F(n)，则有,如果把上式中的k与n对换，则有,n换为-n,则得,上式表明，离散序列F(k)的离散时间傅里叶级数系数为。上述结论可记为,若f(k)F(n)，则有,DFS,这一对偶性意味着：离散时间傅里叶级数的每一个性质都有其相应的对偶性质。这与连续时间傅里叶变换的情况一样。比如，对于下式所示性质：,则与其对偶的性质为,6.5
13、 离散傅里叶变换(DFT),图 6.5-1 产生离散傅里叶变换对的图解说明,6.5.1 离散傅里叶变换的引入,假定f(k)是一个有限长序列，其长度为N，即在区间0kN-1以外，f(k)为零。将f(k)以周期为N延拓而成的周期序列记为fp(k)，则有,(r为整数),上式还可写为,符号(k)N表示将K域序列以周期N延拓。为了便于记述，我们定义矩形脉冲序列 GN(k)：,于是可以将周期序列fp(k)与有限长序列f(k)的关系表示为,周期序列fp(k)的离散时间傅里叶级数表示式为,如果将NFn表示成Fp(n),并令，则上两式可改写为,式中，常数系数1/N置于DFS的正变换或反变换式中，对DFS变换无任
14、何实质影响。如果将周期序列Fp(n)在主值区间表示为F(n),0nN-1，由于以上两式的求和范围均为0N-1，在此区间内fp(k)=f(k)，因此，“借用”离散傅里叶级数的形式可以得到,0nN-1,0kN-1,式中:,(6.5-9),(6.5-10),式(6.5-9)和式(6.5-10)所定义的变换关系就称为离散傅里叶变换。它表明，时域的N点有限长序列f(k)可以变换为频域的N点有限长序列F(n)。很显然，DFT与DFS之间存在以下关系：,与连续时间傅里叶变换的情况类似，DFT的正、反变换之间存在一一对应的关系。或者说，IDFTF(n)是惟一的。对此可作如下证明。,由于,m=k+MN,mk+M
15、N,(M为整数),所以，在区间0N-1有,0kN-1,由此可见式(6.5-10)定义的离散傅里叶反变换是惟一的。可记为,例 6.5-1 有限长序列f(k)=G4(k)，设变换区间N=4、8、16时，试分别求其DFT。,解 设N=4,则据式(6.5-9)有,同样,当N=8时,n=0,1,7,当N=16时,n=0,1,15,由此可见f(k)的离散傅里叶变换结果与变换区间长度N的取值有关。,设序列f(k)的长度为N，据式(6.2-11)可求得f(k)的离散时间傅里叶变换,而f(k)的离散傅里叶变换为,0nN-1,图 6.5-2 F(n)与F(ej)的关系,6.5.2 DFT的计算,其计算过程可写成矩
16、阵形式，即,设,l均为整数,式中，r是kn被N除得的商数，l是余数。所以有,由于,所以有,表 6.1 按模 8 计算的kn值,6.6 DFT的性质,1.线性,若 f1(k)F1(n),f2(k)F2(n)，则,式中，a,b为任意常数。,2.对称性,若 f(k)F(n),则,此性质可以由式(6.5-10)互换变量k和n而证得。,3.时移特性,有限长序列f(k)的时移序列f(k-m)，从一般意义上讲，是将序列f(k)向右移动m位。即将区间0N-1的序列f(k)移到区间mN+m-1。由于DFT的求和区间是0到N-1，这就给位移序列的DFT分析带来困难。我们这里所讨论的时间位移并不是指上述一般意义上的
17、位移，而是指循环位移(亦称圆周位移)。所谓循环位移，实质上是先将有限长序列f(k)周期延拓构成周期序列fp(k)，然后向右移动m位得到fp(k-m)，最后取fp(k-m)之主值。这样就得到所谓的循环位移序列fp(k-m)GN(k)。一般可记为,图 6.6-1 有限长序列的循环位移,DFT分析中的时间循环位移特性告诉我们：若f(k)F(n)，则,上述结论可直接对位移序列f(k-m)NGN(k)求DFT得到。,4.频移特性,频移特性表明，若时间序列乘以指数项,则其离散傅里叶变换就向右循环位移l单位。这可看作调制信号的频谱搬移，因而也称为调制定理。,若f(k)F(n)，则 有,5.采用的IDFT,这
18、个性质的意义在于，利用DFT正变换的算法既可计算其正变换，又可计算其反变换，这就为DFT的计算带来了程序通用化的方便。,若f(k)F(n)，则 有,6.时域循环卷积(圆卷积),我们知道，卷积在系统分析中起着非常重要的作用。两序列f1(k)和f2(k)(长度分别为L和M)的卷积得到长度为L+M-1的另一个序列，即,k=0，1,2，,L+M-2,这就是所谓的线卷积。而这里所讨论的是循环卷积，也称圆卷积。循环卷积的含义为：两长度均为N的有限长序列f1(k)和f2(k)，其循环卷积结果仍为一长度为N的序列f(k)。循环卷积的计算过程与线卷积相似，只不过求和式中的位移项f(k-m)应按循环位移处理。因而
19、，有限长序列f1(k)与f2(k)的循环卷积可记为,图 6.6-2 线卷积与圆卷积比较,在DFT中，循环卷积(圆卷积)具有如下的性质：,若f1(k)F1(n)，f2(k)F2(n)，则有,对原序列应作如下处理：对长度分别为L和M的有限长序列f1(k)和f2(k)用补零的方法将其开拓成长度为NL+M-1的增广序列 和,图 6.6-3 应用DFT求序列f1(k)与f2(k)的线卷积,于是，增广序列 与 的循环卷积就得到长度为NL+M-1的序列,与原序列线卷积的结果相同。对于增广序列的循环卷积显然可以应用DFT处理。,7.频域循环卷积(频域圆卷积),若f1(k)F1(n)，f2(k)F2(n)，则有
20、,式中：,8.奇偶虚实性,设f(k)为实序列，f(k)F(n)，令,式中，Fr(n)是F(n)的实部，Fi(n)是F(n)的虚部。由DFT的定义式可写出,于是有,由此可见，实序列的离散傅里叶变换为复数，其实部为偶函数，虚部为奇函数。若实序列f(k)为k的偶函数，即,上面讨论的性质可用如下的表示式说明：,即，对于实数序列，其变换式的实部为n的偶函数，虚部为n的奇函数。由此可知，F(n)与F(-n)呈共轭关系，即,由于F(n)具有周期性，故F*(-n)NGN(n)=F*(N-n)，因此，式(6.6-17)可写为,(6.6-17),式(6.6-18)的共轭关系反映其模相等，幅角(arg)反号，即,(
21、6.6-18),图 6.6-4 实序列DFT的|F(n)|对称分布示例,若f(k)为纯虚序列，它的DFT F(n)也可分解为实部和虚部之和，仍以式(6.6-11)表示。容易证明，Fr(n)是n的奇函数，而Fi(n)是n的偶函数。即纯虚序列的离散傅里叶变换为复数，其实部为奇函数,虚部为偶函数。同样可证，虚偶函数的DFT是虚偶函数，而虚奇函数的DFT为实奇函数。因此,对于纯虚序列有,9.巴塞瓦尔定理,若f(k)F(n)，则有,如果f(k)为实序列，则有,巴塞瓦尔定理表明，在一个频域带限之内，功率谱之和与信号的能量成比例。,6.7 快速傅里叶变换(FFT)简介,6.7.1 DFT矩阵WE及其因子化,
22、当N=8，kn值以模8运算，据定义式有：,显然，这样的方程式用矩阵表示更为简明方便。一般情况下，我们可将DFT的定义式写成矩阵的形式:,它们都是列矩阵。WE称为DFT矩阵.,它们都是列矩阵，WE称为DFT矩阵，当N=8时,在分析一个系统时，往往是确定的，因而WE矩阵的关键是矩阵中 的指数排列次序。为此，我们将WE矩阵中各元素 的指数单独组成矩阵E，使问题更加简单明了。当N=8时,同理，IDFT也可写成矩阵形式。,设N=22=4，则有,n=0,1,2,3,式中，,令n的排序为0，2，1，3，则可写出其矩阵表示式为,可见，在n按0,2,1,3排序情况下，DFT矩阵为,每个子矩阵可以写成下面的形式：
23、,矩阵WE可以写为,若令,则,稀疏矩阵,6.7.2 基2FFT概述,对于N=22=4，据DFT定义式(6.7-1)有,利用DFT矩阵因子化的结论式(6.7-10)，可将上式写成,列矩阵F1(k)：,利用中间矢量F1(k)就可进一步完成式(6.7-12)的计算：,元素F2(0)可用一次复数乘法和一次复数加法确定：,直接算法的计算时间对FFT算法的计算时间之比有下列近似的关系：,图 6.7-1 N=22的FFT信号流程图,例如，对于结点F1(2)有,表 6.2 自然顺序与二进制逆序(N=8),6.8 离散系统的频域分析,6.8.1 基本信号ejk激励下的零状态响应,对一任意的周期离散信号f(k)，
24、利用离散傅里叶级数可以将其表示为指数信号 的线性组合，即,式中：,同样，利用离散时间傅里叶变换可以将任一非周期离散信号f(k)表示为指数信号ejk的线性组合，即,式中：,因此，与连续信号的情况一样，我们将指数信号ejk称为基本信号。指数信号 实质上与基本信号ejk一样，它只不过是当 时的特例。,设稳定离散LTI系统的单位响应为h(k)，则据上一章的讨论可知，系统对基本序列e jk的零状态响应为,式中的求和项正好是h(k)的离散时间傅里叶变换，记为H(ej)，即,称H(ej)为传输函数或频率响应。,一个稳定的离散LTI系统，对ejk这一基本信号的零状态响应是基本信号ejk本身乘上一个与时间序数k
25、无关的常系数H(ej)，而H(ej)为系统单位响应h(k)的离散时间傅里叶变换。H(ej)一般是的连续函数，而且是复函数，即,称为系统的幅频响应或幅度响应，()称为系统的相频响应或相位响应。,设输入周期正弦序列为,应用欧拉公式，可将f(k)写成,f(k)通过一个频响函数为H(ej)的离散LTI系统的稳态响应可表示为,式中：,(6.8-10),由于|H(ej)|为的偶函数，而()为的奇函数，因而式(6.8-10)可写为,例 6.8-1 已知描述一离散LTI系统的差分方程为,若输入正弦序列,求该系统的稳态响应ys(k)。,解,则有,由输入正弦序列的表达式可知，其=/2，所以有,则该离散系统的稳态响
26、应为,若输入正弦序列改,即改为，则据,从而其输出的稳态响应为,6.8.2 一般信号f(k)激励下的零状态响应,该系统的零状态响应yf(k)为,应用离散时间傅里叶变换的有关性质，上式在频域中可以表示为,对一个离散LTI系统而言，其输出y(k)与输入f(k)间的N阶线性常系数差分方程一般具有如下形式：,式中，ai和bi都是常数。若系统是稳定的，对上式两端求离散时间傅里叶变换，并应用离散时间傅里叶变换的时移性质，可以得到,从而得到该系统的频率响应,例 6.8-2 描述一稳定离散LTI系统的差分方程为,解,若给该系统施加信号f(k)=(0.5)k(k)，则该系统的零状态响应yf(k)据式(6.8-13)即可求得。,由于,则有,同理，将Y(ej)展开成部分分式有,利用式(6.2-13)的变换对，可得零状态响应,若f(k)是一个有限长序列，系统的h(k)也是一个有限长序列，则在满足由循环卷积求线卷积的条件下，它们的DFT满足,此时，由DFT利用FFT算法可以求得系统的响应y(k)。,
