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1、2 线性空间的定义 与简单性质,3 维数基与坐标,4 基变换与坐标变换,1 集合映射,5 线性子空间,7 子空间的直和,8 线性空间的同构,6 子空间的交与和,第六章 线性空间,6.1 集合 映射,一、集合,二、映射,6.1 集合映射,6.1 集合 映射,一、集合(set),把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合；,常用大写字母A、B、C 等表示集合；,当a是集合A的元素时，就说a 属于A，记作；,当a不是集合A的元素时，就说a不属于A，记作.,1、定义,组成集合的这些事物称为集合的元素（element）,用小写字母a、b、c 等表示集合的元素,6.1 集合 映射,关于集合没有一个严谨的
2、数学定义，只是有一个描述性的说明集合论的创始人是19世纪中期德国数学家康托尔（GCantor），他把集合描述为：所谓集合是指我们直觉中或思维中确定的，彼此有明确区别的那些事物作为一个整体来考虑的结果；集合中的那些事物就称为集合的元素即，集合中的元素具有：确定性、互异性、无序性.,注意,6.1 集合 映射,集合的表示方法一般有两种：描述法、列举法,描述法（description）：,列举法（enumeration）：,Mx|x具有性质P,Ma1，a2，an,把构成集合的全部元素一一列举出来.,给出这个集合的元素所具有的特征性质.,6.1 集合 映射,例1,例3,空集：不含任何元素的集合，记为,注
3、意,约定：空集是任意集合的子集合.,6.1 集合 映射,2、集合间的关系,如果B中的每一个元素都是A中的元素，则称B是 A的子集（subset），记作，（读作B包含 于A）.,当且仅当,如果A、B两集合含有完全相同的元素，则称 A与 B相等，记作AB.,AB当且仅当 且,6.1 集合 映射,3、集合间的运算,交：；,并：；,显然有，,6.1 集合 映射,二、映射,设M、M是给定的非空集合，如果有 一个对,应法则，通过这个法则对于M的每一个元素a，,都有M中一个确定的元素a与它对应,则称 为,称 a为 a 在映射下的象（image），而 a称a在映射下的原象（inverse image），记作(
4、a)a或,M到M的映射（mapping），记作.,1、定义,6.1 集合 映射,1.设映射,集合,称之为M在映射下的象，通常记作 Im,2.集合M 到M 自身的映射称为M 的一个变换,显然，,注意,6.1 集合 映射,例4M是一个集合，定义I：,I(a)a，,即 I 把 M 上的元素映到它自身，I 是一个映射，,都是实数集R到自身的映射，,称 I 为 M 上的恒等映射（identity mapping）或,即，函数可以看成是映射的一个特殊情形,单位映射,6.1 集合 映射,2、映射的乘积,设映射，,即相继施行和的结果，是 M 到 M 的一个,映射,乘积,定义为：,6.1 集合 映射,1.对于任
5、意映射，有,有,注意,6.1 集合 映射,3、映射的性质,设映射,（surjection）或称 为映上（onto）的；,，使，则称 是M到M的一个满射,6.1 集合 映射,（3）若既是单射，又是满射，则称为双射（bijection）,（或称为 1-1对应）.,则称是M到M的一个单射（injection）或称,（2）若M中不同元素的象也不同，即,为1-1（one to one）；,6.1 集合 映射,例6 判断下列映射的性质,（1）Ma，b，c、M1,2，3,：(a)1，(b)1，(c)2,（既不单射，也不是满射）,：(a)3，(b)2，(c)1,（2）M=Z，MZ，,：(n)|n|1,（是满射
6、，但不是单射）,：(A)|A|，,（是满射，但不是单射）,（双射）,6.1 集合 映射,：(a)aE，,（是单射，但不是满射）,：(a)a0，,（既不单射，也不是满射）,（6）MMPx，P为数域,：(f(x)f(x)，,（是满射，但不是单射）,（5）M、M为任意非空集合，为固定元素,6.1 集合 映射,（7）M是一个集合，定义I：,I(a)a，,（8）M=Z，M2Z，,：(n)2n,（双射）,（双射）,6.1 集合 映射,4、可逆映射,使得,则称为可逆映射（invertible mapping），为的,的逆映射是由唯一确定的,记作1,逆映射，,6.1 集合 映射,1.若为可逆映射，则1也为可逆
7、映射，且（1）1,注意,则有,3.为可逆映射的充要条件是 为1-1对应,6.1 集合 映射,即,为可逆映射,则是一个M到M的映射,且对,6.1 集合 映射,即,所以为满射.,即为单射.,所以为1-1对应,反之，设 为可逆映射，则,6.1 集合 映射,（1）如果 h 是单射，那么 f 也是单射；,这与h是单射矛盾，f 是单射,证：若 f 不是单射，则存在,于是有,6.1 集合 映射,（2）如果 h 是满射，那么 g 也是满射；,证：,6.1 集合 映射,（3）如果 f、g 都是双射，那么 h 也是双射，并且,证：,因为 g 是满射，存在,使,又因为 f 是满射，存在，使,h是满射,6.1 集合 映射,又因为 g 是单射，有,即,因而 h 是双射,h 是单射.,6.1 集合 映射,
