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1、2.2等差数列,必修5,第二课时,一.复习回顾：,an-an-1=d(d是常数),数列an为等差数列,an-an-1=d,1.等差数列的定义,2.等差数列的单调性,当d=0时，an为常数列；当d0时，an为递增数列；当d0时，an为递减数列；,3.等差数列的通项公式,4.等差数列的函数特性,5.等差数列的图象,6.等差中项,若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项,求出下列等差数列中的未知项,(1):3,a,5;,(2):3,b,c,-9;,数列：1，3，5，7，9，11，13,5是3和7的等差中项，1和9的等差中项；,9是7和11的等差中项，5和13的等差中项.,例3（1）在等差数列
2、an中，是否有,（2）在数列an中，如果对于任意的正整数n（n2），都有那么数列an一定是等差数列吗？,在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它前一项与后一项的等差中项.,推广：an=am+(nm)d,其实a9=a1+8d=a1+2d+(9-3)d,例4.在等差数列an中,已知a3=10,a9=28,求d。,a9=a3+(9-3)d,解析：,由等差数列的通项公式得,等差数列的通项公式一般形式:an=am+(nm)d.,7.等差数列通项公式的推广：,斜率公式,例5：某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km（不含4千米）计费10元。如果某人乘坐该
3、市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？,解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列an来计算车费.令a1=11.2，表示4km处的车费，公差d=1.2。那么当出租车行至14km处时，n=11，此时需要支付车费 a11=11.2(111)1.2=23.2答：需要支付车费23.2元。,例6.已知三个数成等差数列，其和15，其平方和为83，求此三个数.,所求三个数分别为3，5，7或7，5，3.,解得a5，d2.,解：设此三个数分别为a-d，a，a+d，,变：三个数组成递减的等差数列,练
4、习1、等差数列an的前三项和为12，前三项积为48，求an。三个数等差的设法：a-d，a，a+d练习2、成等差数列的四个数之和为26，第二个与第三个数之积为40，求这四个数。四个数等差的设法：a-3d，a-d，a+d，a+3d 公差为2d。,设项技巧：,（1）若有三个数成等差数列，则可设为,（2）若有四个数成等差数列，则可设为,（3）若有五个数成等差数列，则可设为,公差为d,公差为2d,公差为d,例7 如图，三个正方形的边AB，BC，CD的长组成等差数列，且AD21cm，这三个正方形的面积之和是179cm2.（1）求AB，BC，CD的长；（2）以 AB，BC，CD的长为等差数列的前三项，以第9
5、项为边长的正方形的面积是多少？,3，7，11,a9=35,S9=1225,8.等差数列的性质：,已知数列 为等差数列，那么有,性质1：若 成等差数列，则 成等差数列.,证明：根据等差数列的定义，,即 成等差数列.,如 成等差数列，成等差数列.,推广：在等差数列有规律地取出若干项，所得新数列仍然为等差数列。（如奇数项，项数是7的倍数的项）,推广：,已知一个等差数列的首项为a1，公差为da1，a2，a3，an（1）将前m项去掉，其余各项组成的数列是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？,am+1，am+2，an是等差数列首项为am+1，公差为d，项数为n-m,已知一个等差数列的首项为a1，
6、公差为da1，a2，a3，an（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个数列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？,a1，a3，a5，是等差数列首项为a1，公差为2d,取出的是所有偶数项呢？,a2，a4，a6，是等差数列首项为a2，公差为2d,已知一个等差数列的首项为a1，公差为da1，a2，a3，an（3）取出数列中所有项是7的倍数的各项，组成一个数列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？,a7，a14，a21，是等差数列首项为a7，公差为7d,取出的是所有k倍数的项呢？,ak，a2k，a3k，是等差数列首项为ak，公差为kd,已知一个等差数列的首项为a1，公差为da1，
7、a2，a3，an（4）数列a1+a2，a3+a4，a5+a6，是等差数列吗？公差是多少？a1+a2，a3+a4，a5+a6，是等差数列，公差为2d 数列a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5是等差数列吗？公差是多少？a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5是等差数列，公差为3d。,例：,性质2：设 若 则,证明：设首项为,，则,推论：,在等差数列中，与首末两项距离相等的两项和，等于首末两项的和，即,特别地，p=q时，即,注意：逆命题是不一定成立的；,判断：,可推广到三项，四项等注意：等式两边作和的项数必须一样多,练习.在等差数列an中，(1)已知 a6+a9+a12+
8、a15=20，求：a1+a20(2)已知 a3+a11=10，求：a6+a7+a8(3)已知 a2+a14=10，能求出a16吗？,10,15,例3.在等差数列an中，a619,a15=46，求a4+a17的值,不能,(4)在等差数列an中a1-a5+a9-a13+a17=117,则a3+a15=（）,117,若数列an是等差数列，公差为d，设c,k为常数，则an+k _等差数列，公差为_；则can+k_等差数列，公差为_.,若数列an为等差数列，公差为d，则kan_等差数列，公差为_.(k是常数),若数列an与bn都为等差数列，公差分别为d1,d2，则an+bn_等差数列,公差为_;则an-
9、bn_等差数列,公差为_，,也是,kd,性质3.,也是,也是,d,cd,性质4.,性质5.,pan+qbn_等差数列,公差为_.(p,q为常数),也是,也是,也是,d1+d2,d1-d2,pd1+qd2,2.若ap=q，aq=p(pq)，求ap+q,d=-1,ap+q=0,性质6.,例2,(1)已知等差数列an中，a3 a15=30,求a9，a7a11,解：,（1）a9是a3和a15的等差中项,(2)已知等差数列an中，a3 a4a5 a6 a7=150，求a2a8的值,7+11=3+15,（2）3+7=4+6=5+5,a3 a4a5 a6 a7=5 a5=150,即a5=30,故a2a8=2
10、 a5=60,a7a11=a3 a15=30,a3a7=a4 a6=2 a5,(1)等差数列an中，a3 a9a15a21=8，则a12=,(2)已知等差数列an中，a3 和a15是方程x26x1=0的两个根，则a7 a8 a9a10a11=,(3)已知等差数列an中，a3 a5=14,2a2a6=15，则a8=,跟踪训练,2,-19,(4)已知 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.,1.等差数列an的前三项依次为 a-6，2a-5，-3a+2，则 a 等于（)A.-1 B.1 C.-2 D.2,B,2.在数列an中a1=1，an=an+1+4，则a10=,2(2
11、a-5)=(-3a+2)+(a-6),提示1:,提示：,d=an+1an=4,-35,3.在等差数列an中(1)若a59=70，a80=112，求a101；(2)若ap=q，aq=p(pq)，求ap+q,d=2,a101=154,d=-1,ap+q=0,本节练习,练习,已知，求 的值。,解:,五、小结,1.定义：an-an-1=d（n2）或 an+1-an=d(nN*),2.通项公式 an=a1+(n-1)d an=am+(n-m)d,an为等差数列,3.等差数列的性质,an+1-an=d,an+1=an+d,an=a1+(n-1)d,an=kn+b,（k、b为常数）,4.d的计算方法,5.判断等差数列的方法:,课后作业：,1.,2.,3.,在等差数列an中(1)已知 a6+a9+a12+a15=40，求a1+a20,(2)已知 a3+a11=20，求 a6+a7+a8,5.,4.,6.,
