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1、1.3算法案例(二),案例2 秦九韶算法,一、三维目标（a）知识与技能了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。（b）过程与方法模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙.（c）情感态度与价值观通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家对数学的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久。二、教学重难点重点：1.秦九韶算法的特点;难点:2.秦九韶算法的先进性理解.,教学设计,问题1设计求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值的算法,并写出程序.,点评:上述算法一共做了15次乘法运算,5次加法运算.优点是简单,易懂;缺点是在计算x的幂
2、值时重复计算，运算效率不高.,的值，这样计算上述多项式的值,一共需要9次乘法运算,5次加法运算.,问题2有没有更高效的算法?,分析:计算x的幂时,可以利用前面的计算结果,以减少计算量,即先计算x2,然后依次计算,第二种做法与第一种做法相比,乘法的运算次数减少了,因而能提高运算效率.而且对于计算机来说,做一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多,因此第二种做法能更快地得到结果.,问题3能否探索更好的算法,来解决任意多项式的求值问题?请欣赏下面的解法：,f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7=(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7=(2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7=(2
3、x2-5x-4)x+3)x-6)x+7=(2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7,v0=2v1=v0 x-5=25-5=5v2=v1x-4=55-4=21v3=v2x+3=215+3=108v4=v3x-6=1085-6=534v5=v4x+7=5345+7=2677,所以,当x=5时,多项式的值是2677.,这种求多项式值的方法就叫秦九韶算法.,秦九韶（1208年1261年）南 宋官员、数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。主要成就:1247年完成了数学名著数学九章，其中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献。秦九韶算法就是中国古代数学的一枝奇葩。直到今天，
4、这种算法仍是多项式求值比较先进的算法。美国著名科学史家萨顿说过，秦九韶是“他那个民族，他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”。,例1:用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值.,解：首先将原多项式改写成如下形式:f(x)=(2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7,v0=2 v1=v0 x-5=25-5=5v2=v1x-4=55-4=21v3=v2x+3=215+3=108v4=v3x-6=1085-6=534v5=v4x+7=5345+7=2677,所以,当x=5时,多项式的值是2677.,然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即,所
5、以，当x=2时，多项式的值是31.在上述运算中，总共用了6次乘法，6次加法,所以，当x=2时，多项式的值为31.求多项式的值转化为了求六个一次多项式的值。,解：,当x=2时的值时多项式的值。,挑战1：计算,挑战2：用秦九韶算法求多项式f(x)8x75x63x42x1当x2时的值.【解析】f(x)8x75x63x42x1(8x5)x0)x3)x0)x0)x2)x1.当x2时,有v08,v182521,v2212042,v3422387,v48720174,v517420348,v634822698,v7698211397,当x2时,多项式的值为1397.,注意:n次多项式有n+1项,因此缺少哪一
6、项应将其系数补0.,v1=anx+an-1,v2=v1x+an-2,v3=v2x+an-3,vn=vn-1x+a0.,观察上述秦九韶算法中的n个一次式,可见vk的计算要用到vk-1的值.,若令v0=an,得,这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤,因此可用循环结构来实现.,点评:秦九韶算法是求一元多项式的值的一种方法.它的特点是:把求一个n次多项式的值转化为求n个一次多项式的值,通过这种转化,把运算的次数由1+2+3+4+5+.+n次乘法运算和n次加法运算,减少为n次乘法运算和n次加法运算,大大提高了运算效率.,知识探究(二):秦九韶算法的程序设计,思考1:用秦九韶算法求多项式的值，可以用什么逻
7、辑结构来构造算法？其算法步骤如何设计？,第一步，输入多项式的次数n，最高次 项的系数an和x的值.,第二步，令v=an，i=n-1.,第三步，输入i次项的系数ai.,第四步，v=vx+ai，i=i-1.,第五步，判断i0是否成立.若是，则返回第 二步；否则，输出多项式的值v.,思考2:该算法的程序框图如何表示？,思考3:该程序框图对应的程序如何表述？,INPUT“n=”；n,INPUT“an=”；a,INPUT“x=”；x,v=an,i=n-1,WHILE i=0,INPUT“ai=”；b,v=v*x+b,i=i-1,WEND,PRINT y,END,当堂检测：利用秦九韶算法计算,当 x3 时，求多项式 f(x)x5x3x2x1 的,值.,解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：,f(x)x50 x4x3x2x1(x0)x1)x1)x1)x1.,按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当 x3 时的,值：v01，,v11303，v233110，v3103131，v4313194，v59431283.,所以当 x3 时，多项式的值为 283.,小结作业,评价一个算法好坏的一个重要标志是运算的次数，如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是一个理论算法.在多项式求值的各种算法中，秦九韶算法是一个优秀算法.,
