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1、第七章 电磁场中粒子的运动,教学内容,第1页,1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量2 正常Zeeman效应3 Landau 能级,1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量,考虑质量为,荷电q的粒子在电磁场中的运动。在经典力学中,其Hamilton量为:,第2页,A为矢势，为标势,P为正则动量。理由如下：,正则方程,Newton 方程,Lorentz 力,证明：,第3页,在有磁场的情况下，带电粒子的正则动量并不等于机械动量。,第4页,按照量子力学中的正则量子化程序，在坐标表象中，把正则动量换成算符，,第5页,则电磁场中荷电q的粒子的Hamilton算符为,Schrdinger 方程为,第6页,一般说
2、来，P和A不对易,但若利用库仑规范，,讨论,1.定域的概率守恒与流密度 取复共轭（A,为实，坐标表象中）,第7页,（1）,（2）,*（1）-（2）,第8页,速度算符,流密度算符,2.规范不变性,电磁场具有规范不变性，,第9页,E,B 均不变，其中 是时间和空间的任意函数。经典牛顿方程中，只出现E,B 因此是规范不变的。,可以证明Schrdinger方程在规范变换式下，只需波函数也同时经受如下定域相位变换,则Schrdinger方程形式上不变。,Schrdinger方程具有规范不变性。容易证明，j,在规范变化下都不变。,第10页,经典力学中，矢势和标势进行规范变换后，场强不变。如果物理现象仅仅决
3、定于场强而不决定于势，则这个规范不变性在量子理论中也必须成立。,现在如果我们简单的将A,代入薛定谔方程，当然会得到一些破坏薛定鄂方程规范不变性的附加项。,为了消去这些项，只有让波函数也参与规范变换，但是由于*有确定的物理意义，因此它和场强一样不会由于变换而改变，唯一的可能是设,第11页,是 r,t 的任意适当的函数。,带入Schrdinger方程,第12页,整理后可得,第13页,令,薛定鄂方程具有规范不变性,2 正常Zeeman效应,原子中的电子，可近似看成在一个中心平均场中运动，能级一般有简并。实验发现，如把原子置于强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条，此即正常Zeeman效应，光谱线
4、的分裂反映原子的简并能级发生分裂，即能级简并被解除或部分解除。,第14页,在原子大小范围中，实验室里常用的磁场都可视为均匀磁场，记为B，不依赖于电子的坐标，于是，相应的矢势A可写为:,不难验证,取磁场方向为z轴方向，则,第15页,为计算简单起见，考虑碱金属原子。每个原子中只有一个价电子，在原子核及内层满壳电子所产生的屏蔽Coulomb场 V(r)中运动.价电子的Hamilton量可以表示为:,在原子中，x2+y2a2(10-8cm)2,通常实验室中磁场强度B105Gs,则有,第16页,外加均匀磁场中，原子系统球对称性被破坏，l不再为守恒量。但l2及lz仍为守恒量。能量本征函数仍然可以选为（H,
5、l2,lz,）的共同本征函数，即,最后一项可视为电子轨道磁矩 与外磁场相互作用。,相应的能量本征值为,第17页,Larmor 频率,为屏蔽Coulomb场V(r)中粒子的能量本征值。,屏蔽Coulomb场与纯Coulomb场有所不同，其能级与径向量子数和角动量l有关，简并度为2l+1(球对称性).,加上外磁场后，球对称性被破坏，能级简并度被全部解除，能量本征值和 均有关，原来的能级 分为2l+1条，分裂后的相邻能级间距为,光谱在外磁场中分裂的现象称为塞曼效应。钠原子光谱黄线在强磁场中分裂为三条。外磁场B愈强，则Zeeman分裂愈大。,第18页,3 Landau 能级,电子（质量为M,电荷-e）
6、，均匀磁场B中运动。矢势取为A=1/2 Br，取磁场方向为z轴方向，,第19页,Hamilton量,讨论电子在xy平面中的运动，z方向，自由运动，平面波解。,B的线性项表示电子的轨道磁矩与外磁场的相互作用，而B2项则为反磁项。在Zeeman效应中，由于电子局限在原子内部运动，在通常实验室所用磁场强度下，反磁项很小，常忽略不计。对自由粒子，或在极端环境下，如白矮星，中子星上，B2项就必须考虑。,第20页,Larmor频率,H0的形式与二维各项同性谐振子形式上相同。电子能量本征态可取为对易守恒量完全集（H,lz）的共同本征态，即（采用极坐标）,第21页,代入能量本征方程，可求出径向方程:,可解出能
7、量本征值E（Laudau 能级）:,F为合流超几何函数,n表示径向波函数的节点数.,第22页,相应的径向能量本征函数为,对于二维各向同性谐振子,能级,简并度,对于均匀磁场中的电子，Hamilton量中出现了Llz项，此时尽管能量本征函数的形式未变，但能量本征值为,所有m0的态所对应的能量都相同，因而能级简并度为,对于较低的几条能级的简并度的分析如下:,第23页,能量可以看成是电子在外磁场中感应而产生的磁矩z与与外磁场的相互作用-z B,第24页,负号表示自由电子在受到外磁场作用时具有反磁性。,上述关于Laudau能级的讨论不因规范选择而异，例如，对于Landau选用过的规范,相差一个规范变换：,电子在xy平面内运动的Hamilton量为,第25页,此时,的本征态可取为守恒量完全集（H,Px）的共同本征态，即,令,回旋频率,上式描述的是一个一维谐振子，平衡点y0，能量本征值为,第26页,相应的能量本征函数为,依赖于n,y0,而y0依赖于Px,可以取（-，+）中的一切实数值。,但能级En不依赖于y0,因而能级为无穷度简并。这里我们注意到一个有趣的现象,即在均匀磁场中运动的电子,可以出现在无穷远处(y0)，即为非束缚态(x方向为平面波,也是非束缚态),但电子的能级却是离散的,而通常一个二维非束缚态粒子的能量则是连续变化的。,第27页,
