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1、,第四章 不 定 积 分,求原来那个函数的问题.,已知某曲线的切线斜率为2x,研究微分运算的逆运算,已会求已知函数的导数和微分的运算.,解决相反的问题,就是已知函数的导数或微分,例如,某质点作直线运动,已知运动速度函数,求路程函数.,常要,求此曲线的方程.,1.,2.,不定积分.,indefinite integral,积分变量,积分常数,被积函数,定义,被积表达式,不定积分,不定积分.,定义,全部原函数的一般表达式,称为函数f(x)的,总和(summa),记为,积分号,1.被积函数是原函数的导数,被积表达式是,原函数的微分.,2.不定积分表示那些导数等于被积函数的所,或说其微分等于被积表达式
2、的所,有函数.,有函数.,因此绝不能漏写积分常数C.,3.求已知函数的原函数或不定积分的运算称,为积分运算,它是微分运算的逆运算.,基本积分公式,(k是常数),说明：,解,例,练习,练习,解决方法,将积分变量换成,令,?,因为,第一换元积分法,定理,第一类换元公式,（凑微分法）,证,可导,则有换元公式,设,具有原函数,注“凑微分”的主要思想是:将所给出的积分凑成积分表里已有的形式,合理选择 是凑微分的关键.,例 求,法一,法二,解,法三,同一个积分用不同的方法计算,可能得到表面上不一致的结果,但是实际上都表示同一族函数.,练习,对第一换元积分法熟练后,可以不再写出 中间变量.,例,解,解,练习
3、,小结,常见的凑微分类型有,小结,例,解,原式=,例 求,解,例 求,解,法一,例 求,解,例,解,原式=,某些三角函数,第二换元积分法,有根式,解决方法,消去根式,困难,即,则,回代,例 求,解,令,回代,例 求,解,令,回代,练习,解,有理函数的定义,两个多项式的商表示的函数称之.,一、有理函数的积分,假定分子与分母之间没有公因式,真分式;,假分式.,例,多项式的积分容易计算.,真分式的积分.,只讨论:,多项式,真分式,有理函数,多项式+真分式,分解,若干部分分式之和,例 求,解,由多项式除法,有,说明:当被积函数是假分式时,应把它分为一个多项式和一个真分式,分别积分.,假分式,代入特殊值来确定系数,取,取,取,并将 值代入,例 求,解,(1),(1),赋值,于是,练习,解,法一,三角代换,法二,倒代换,例 求,解,先将无理函数的分子或分母有理化.,分析,原式,
