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1、1,第八章 非线性控制系统,第一节 非线性系统的概述 第二节 非线性元件的描述函数 第三节 用描述函数分析非线性控制系统 第四节 相轨迹 第五节 奇点与极限环 第六节 非线性系统的相平面分析,2,第一节 非线性系统的概述,一、典型的非线性特性,（1）饱和特性,系统若有饱和非线性元件，它的开环增益会大幅度地减小，从而导致系统的过滤过程时间增加和稳态误差变大。,（2）回环特性,图8-1,图8-2,图(a)为齿轮传动中间隙，图(b)为齿轮传动的输入、输出特性。,3,它的数学表达式为,1）回环非线性特性是多值的，对于一个给定的输入，究竟取那一个值作为输出，应视该输入的“历史”决定。2）系统中若有回环非
2、线性元件存在，通常会使系统的输出在相位上产生滞后，从而导致系统稳定量的减小、动态性能的恶化，甚至使系统产生自持振荡。,（3）死区特性,图8-3,4,1）使系统的稳态误差增大。2）死区能滤去从输入端引入的小幅值干扰信号，提高系统抗扰动的能力。3）使系统的输出在时间上滞后。,死区非线性特性对系统的主要影响,（4）继电器特性,图8-4,继电器非线性特性一般会使系统产生自持振荡，甚至系统不稳定，并且使稳态误差增大。,5,二、非线性系统的特点,1）非线性系统的输出与输入间不存在着比例关系,且不适用叠加原理。2）非线性系统的稳定性不仅与系统的结构和参数有关,而且也与初始条件和输入信号的大小有关。,下面举例
3、说明初始偏差对系统稳定性影响,设非线性系统的微分方程为,当初始偏差 x00,方程具有负实根,相应的系统是稳定的 当x01时,1-x00,方程具有一个正的实根,系统为不稳定,图8-5,非线性系统常会产生自持振荡,1）描述函数法-用于研究系统的稳定性和自持振荡问题。2）相平面法-只适用于一阶和二阶系统。3）李雅普诺夫第二法。,研究非线性系统的方法:,6,一、描述函数,图8-6 非线性控制系统,图中G(s)为线性环节,N为非线性元件.若在N的输入端施加一幅值为X频率为的正弦信号,即 e=Xsint，则其输出为：,第二节 非线性元件的描述函数,假设:1）非线性元件的特性对坐标原点是奇对称的,即A0=0
4、2）r(t)=03）G(s)具有良好的低通滤波器特性，能把y中各项高次谐波滤掉，只剩一次谐波项。,7,则,其中,经过线性化处理后，非线性元件的输出是一个与其输入信号同频率的正弦函数，仅在幅值和相位上与输入信号有差异。,非线性特性线性化的条件：,1）假设系统的输入r(t)=02）非线性元件的静特性不是时间t的函数3）非线性元件的特性是奇对称的，即有,8,4）系统的线性部分具有良好低通滤波器的性能，经过线性化后，非线性元件的输出与输入的关系为：,N(X):非线性特性的描述函数,图8-7 用描述函数表示非线性特性的系统,二、非线性元件描述函数的举例,（1）饱和非线性,由图8-8可知，输出y(t)是一
5、个周期性的奇函数，因而它的傅氏级数展开式中没有直流项，也没有余弦项。即 A0=0，B1=0，1=0,9,图8-9 饱和非线性的描述函数,图 8-8,10,（2）理想继电器型非线性,图 8-10,由图8-10可知,图8-11 理想继电器型,11,（3）死区非线性,图8-12死区非线性和非线性特性曲线,12,图8-13 死区非线性的描述函数,如果在系统中有两个非线性元件相串联，处理的方法为图8-14(b)所示：,图8-14 二个非线性元件相串联的系统,13,在分析非线性系统稳定性时，常用描述函数的负倒特性曲线，或者称为负倒描述函数。饱和特性的负倒特性为 可见，当X为定值时，为一负实数。在复平面内绘
6、 出饱和特性的负倒特性曲线如图8-15所示，图中箭头表 示X增大时，负倒特性曲线的变化方向。,三、描述函数的负倒特性曲线,14,下面进一步讨论继电特性的几种特殊情况（1）理想继电器特性(m=0)理想继电特性的描述函数：它是一个实函数，其负倒特性为 负倒特性曲线如图8-16所示,15,（2）具有死区的单值继电器特性（m=1）它也是一个实函数，其负倒特性为 负倒特性曲线如图8-17所示,16,（3）具有滞环的继电器特性（m=-1）它是一个复函数，其负倒特性为 可见，负倒特性的虚部是一负常数，实部是随A变化的负实数。负倒特性曲线如图8-18（b）所示,17,第三节 用描述函数分析非线性控制系统,图8
7、-19 非线性控制系统,若把图中N(X)与G(j)间的通路断开，并在G(j)的输入端加一正弦信号y1=Y1sint，则N(X)的输出为：,y,x,18,此时若把N(X)与,系统的振荡也能持续下去.式中：,间的断开点接通,即使撤消外施信号,称负特性。,奈奎斯特稳定判据:如果,轨线没有被,G(j)曲线包围,曲线包围,则非线性系统为不稳定。,如果,如果,轨迹与,G(j)曲线相交,则系统的输出有可能产生,自持振荡,图C)中的B点能产生稳定的自持振荡而交点A处产生不稳定的自持振荡。,图8-20非线性系统的稳定性判别,则非线性系统稳定。,19,假设系统处于自持振荡状态，即系统的输出是近似的正弦波。如果在干
8、扰作用下，自持振荡的幅值和频率保持不变，则称为稳定的自持振荡。如果在干扰作用下，系统的输出发散或收敛，或者自持振荡的幅值和频率改变，则称为不稳定的自持振荡。注意，自持振荡的稳定性与系统的稳定性，是完全不同的概念。自持振荡稳定性可以从振荡幅值增加时，负倒特性轨迹的移动方向判别。当负倒特性轨迹从不稳定区进入稳定区时，交点处的自持振荡是稳定的自持振荡。反之，当负倒特性轨迹从稳定区进入不稳定区时，交点处的自持振荡是不稳定的自持振荡。,自持振荡稳定性判别方法,20,自持振荡振幅和频率的确定 自持振荡可以用正弦振荡近似表示，其幅值和频率分别为交点处负倒特性轨迹上的X值，和 轨迹上对应的值。即:,或:,21
9、,例8-1 非线性系统为图8-21所示,其中放大器线性部分的增益为K.试确定系统临界稳定时的K值,并计算K=3时,系统产生自持振荡的幅值和频率。,图8-21 具有饱和放大器的非线性系统,解:令放大器的增益为1,把K放到系统的线性部分。,22,23,例8-2 图8-22所示控制系统，其非线性元件为理想继电器特性，确定系统自持振荡的振幅和频率。,24,解:,绘出 和 曲线如图(a)所示,与实轴的交点：,由于相交点B处描述函数负倒特性曲线当X增大时是从不稳定区进入稳定区,所以交点B处的自持振荡是稳定的自持振荡。,图(a),25,由:得:,26,第四节 相轨迹,设二阶系统微分方程式的一般形式为,一、相
10、轨迹的基本概念,设弹簧,质量,阻尼器系统的齐次方程为,写成标准化形式,27,1）用解析法求出x1和x2与t的关系(见图8-23a)2）以t为参变量,求出x2=f(x1)的关系，并把它画在x1-x2平面上，(见图8-23b）,图8-23二阶线性系统的时域响应和相轨迹,求解方法：,28,对于非线性微分方程,一般难于得到x1和x2的解析解,而用下述的图解法可以求得系统瞬态响应的相关信息。,相轨迹的性质：,1）相轨迹上每一点都有其确定的斜率,29,2）相轨迹的奇点,3）相轨迹正交于x1轴4）相轨迹运动方向的确定,在相平面的上半平面上，由于x20，表示相轨迹的运动方向是x1的增大方向，即向右运动。在相平
11、面上，由于x2 0，相轨迹的运动方向是x1的减小方向，即向左运动。,30,二、相轨迹的绘制,绘制,绘制相轨迹的方法有解析法和图解法两种。解析法只适用于系统微分方程较简单的场合；图解法适用于非线性系统。,（1）用解析法求相轨迹,例8-3 设二阶系统的微分方程为：,图8-24 例8-3的相轨迹,31,（2）用图解法求相轨迹,1）等倾线法,上式表示相轨迹上斜率为常值的各点连线，此连线中等倾线。,32,解：,例8-4 试用等倾线法绘制二阶系统,33,图8-25 例8-4的相轨迹,34,在绘制相轨迹时，只要从初始点出发，沿着方向场依次连接各等倾线上的短线段，就得到在确定初始条件下系统完整的相轨迹。由图可
12、见，由任何初始条件下出发的相轨迹是一卷向坐标原点的螺旋线，这表明系统是稳定的。,35,2）法,设系统的微分方程为：,36,图8-26 用法作相轨迹,37,例8-5 已知非线性系统的微分方程为:,解:将微分方程改写为:,图8-27 用法绘制相轨迹,38,三、用相轨迹求系统的瞬态响应,图8-29 x(t)与t的关系曲线,图8-28 x-x平面上的相轨迹,39,第五节 奇点与极限环,为了研究系统在奇点附近的行为，或者说了解系统在奇点附近的相轨迹特征，需要先把系统的微分方程在奇点处作线性化处理。,一、方程式的线性化和坐标系的变换,设系统的微分方程式,40,41,二、奇点的分类,图8-30,1)节点,4
13、2,如果系统的两个特征根为相异的负实数，对应的奇点称稳定节点。此时,43,图8-31 不稳定节点,如果系统的两个特征根为相等的正实数，则对应的奇点称不稳定节点。其相轨迹见图8-31。,44,2)鞍点,图8-31,45,对应的相轨迹方程为:,46,47,3)焦点,如果系统的特征根是一对位于S左半平面的共轭复根，对应的奇点称稳定焦点；反之，为不稳定焦点。,48,图8-32,49,50,4)中心点,如果系统的特征根为一对共轭虚根，即1,2=j对应的奇点称为中心点。,51,图8-33,52,三、极限环,非线性系统的运动除了具有线性系统的发散和收敛两种模式外，还有一种运动模式自持振荡，自持振荡在相平面上
14、表观为一个孤立的封闭轨迹线极限环。,下面以范德波尔（van der pol）方程为例说明极限环的稳定性。已知方程,图8-34,53,54,第六节 非线性系统的相平面分析,1)当系统的非线性方程可解析的，可根据其线性化方程式根的性质去确定奇点的类型，然后用图解法或解析法画出奇点附近的相轨迹。,例8-6 求下列方程所描述系统的相轨迹图，并分析系统奇点的稳定性。,2)当系统的非线性方程非解析的，则通过将非线性元件的特征作分段线性化处理，即把相平面分成若干个区域，每一个区域有一个相应的微分方程和奇点。只要把各个区域内的相轨迹依次连接起来，就可得到系统完整的相轨迹图。,解:奇点为（0，0）和（-2，0）
15、,55,在原点附近，线性化后的方程为,在奇点（-2，0）附近，对方程作如下改写,图8-35 例8-6的相轨迹,56,如果状态的初始点位于图中的阴影区域内，则相轨迹均收敛于坐标原点，相应的系统是稳定的。反之，初始状态若位于阴影区域外，相轨迹均趋向于无穷远，系统不稳定。,非线性系统的稳定性与初始状态有关。,57,例8-7 一非线性系统如图8-36所示，试求在阶跃输入r(t)=R01(t)和斜坡输入r(t)=vt(v0)时的相轨迹。,图8-36,解：由图得,图8-37 相平面的区域划分,58,59,阶跃输入,60,图8-38,61,斜坡输入,62,图8-39,63,结论：,64,例8-8 已知输入为
16、阶跃信号，试求该系统的相轨迹。,图8-40 非线性控制系统,解由图得:,65,66,结论：,系统稳定。线段OG表示系统的稳态误差，它的大小与初始条件有关。减少非线性的死区或时间常数T，不能改善系统的瞬态响应而且也有利于ess的减小。,图8-41 图8-40所示系统的相轨迹,67,描述函数法是在满足一定条件下的一种线性化分析法，它主要用于判别非线性系统的稳定性和是否有自持振荡产生。相平面法是分析二阶非线性系统动态性能的一种有效方法。绘制相轨迹的方法有二种：一种是解析法；另一种是图解法；图解法有等倾线和法两种。用相平面分析下述两类非线性系统：一类是非线性方程可解析处理的，另一类是不可解析处理的。,小结:,
