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1、第三章 高斯投影及高斯平面直角坐标系,3.1 地图投影概述,3.1.1 地图投影的意义与实现,寻找椭球面上大地经纬度B,L，与平面坐标的关系,若投影面与原面的曲率半径不同，则必然会产生投影变形，不同的控制投影变形的方法，对应于不同的投影。,3.1.2 地图投影变形及其表述,1、投影长度比、等量纬度及其表示式,长度比：投影后长度与椭球面上长度之比。,投影平面上微分长度：,椭球面上微分长度：,3.1.2 地图投影变形及其表述,上式中,q为等量纬度，计算公式为,引入等量纬度后，使相同的dq与dL所对应的椭球面上的弧长相同。,3.1.2 地图投影变形及其表述,引入等量纬度后，投影公式为：,求微分，得：
2、,其中：l=L-L0,3.1.2 地图投影变形及其表述,根据微分几何，其第一基本形式为：,其中：,3.1.2 地图投影变形及其表述,则，长度比公式为：,将 代入上式，得：,3.1.2 地图投影变形及其表述,当A=0或180，得经线方向长度比：,当A=90或270，得纬线方向长度比：,要使长度比与方向无关，只要：F=0,E=G，则长度比可表示为：,3.1.2 地图投影变形及其表述,长度比与1之差，称为长度变形，即：,vm0，投影后长度变大，反之，投影后长度变短。,3.1.2 地图投影变形及其表述,2、主方向和变形椭圆,主方向：两个在椭球面上正交的方向投影到平面上后仍然正交，则这两个方向为主方向。
3、性质：主方向投影后具有最大和最小尺度比。,对照第一基本形式，得：,且：,3.1.2 地图投影变形及其表述,代入长度比公式，得：,即：,解得：,由三角公式得：,3.1.2 地图投影变形及其表述,由此得，极值长度比为：,将三角展开式代入得：,因此，最大长度比a与最小长度比b可表示为：,3.1.2 地图投影变形及其表述,不难得出下列关系：,3.1.2 地图投影变形及其表述,若对应于最大和最小长度比方向在椭球面上为x轴和y轴方向，在投影面上为x1和y1方向，则有：,3.1.2 地图投影变形及其表述,3、方向变形与角度变形,某方向（以主方向起始）投影后为1，则有：,由三角公式，得：,显然，当+1=90或
4、 270 时，方向变形最大,3.1.2 地图投影变形及其表述,若与1表示最大变形方向，则最大变形量可表示为：,顾及：,解得最大变形方向为：,3.1.2 地图投影变形及其表述,两方向、所夹角的变形称为角度变形，用表示。即：,显然，当+1=90、+1=270 或+1=270、+1=90 时，角度变形最大，最大角度变形可表示为：,3.1.2 地图投影变形及其表述,4、面积比与面积变形,椭球面上单位圆面积为，投影后的面积为ab，则面积变形为：,3.1.3 地图投影的分类,1、按投影变形的性质分类(1).等面积投影 a b=1(2).等角投影 a=b(3).等距离投影 某一方向的长度比为1。,3.1.3
5、 地图投影的分类,2、按采用的投影面和投影方式分类,(1).方位投影 投影面与椭球面相切，切点为投影中心，按一定条件将椭球面上的物投影到平面上。,3.1.3 地图投影的分类,(2).正轴或斜、横轴圆柱投影 正轴圆柱投影：切圆柱投影、割圆柱投影 切圆柱投影：投影圆柱面与赤道相切，纬线投影成 一组平行直线，经线投影成与纬线正交 的另一组平行直线。割圆柱投影：投影圆柱面与两条对称纬线相割，纬线 投影成一组平行直线，经线投影成与纬 线正交的另一组平行直线。,3.1.3 地图投影的分类,横轴圆柱投影：投影圆柱面与某经线相切。斜轴圆柱投影：常用于小比例尺投影，将地球视为圆球，投影圆柱体斜切于圆球进行投影。(3).圆锥投影：圆锥面与椭球面相切或相割，将椭球面上 物投影到圆锥面上，展开圆锥面得投影平 面。根据圆锥顶点位置不同，分正圆锥 投影、斜圆锥投影。,3.1.3 地图投影的分类,习 题,1.给出等量纬度的定义，引入等量纬度有何作用。2.投影变形与长度无关时应满足哪些条件？并给出证明。3.变形主方向有什么性质？4.最大方向变形与最大角度变形的方向满足什么条件？5.地图投影按变形性质分哪几类？按投影方式分哪几类？,
