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1、1,第一章 函数的极限与连续,第一节 函数及其性质,第二节 极限,第三节 函数的连续性,分析基础,函数,极限,连续,研究对象,研究方法,研究桥梁,2,在讨论函数极限时,我们说函数在一点的 函数值与极限值是两个不同的问题.,它们的关系有,函数值不存在，极限存在；,函数值,极限值都存在,但不相等；,函数值等于极限值.,3,增量：,终值与初值的差,自变量在x0处的增量：,函数y在点x0处相应的增量：,一、函数的连续性,（一）函数y=f(x)在点 处的连续性,1.增量,4,x虽然称为增量，但是其值可正可负.,例如，当 x x0 时，x=x-x0 0,当 x x0 时，x=x-x0 0,一般地：x 0,
2、5,定义1.3.1 设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，如果当自变量x在x0处的增量x趋于零时，相应的函数增量y=f(x0+x)-f(x0)也趋于零，即,则称函数 y=f(x)在点x0连续，也称点x0为函数y=f(x)的连续点,6,说明：,2.函数在一点连续实质就是:当自变量变化不大时,函数值变化也不大.,1.函数 y=f(x)在点x0连续的几何意义表示函数图形在x0不断开.,7,定义 设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，如果xx0时，相应的函数值f(x)f(x0)，即,例如：,则称函数 y=f(x)在点x0连续，也称点x0为函数y=f(x)的连续点,故 在x0 连续，,在点1
3、处连续.,8,3.函数y=f(x)在点x0连续必须同时满足以下三个条件：,(1)函数 y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，,函数在一点的的连续性同极限一样，都是函数的局部性质。,(2)极限,(3)函数在 x0 处极限值等于函数值，即,存在；,即 y=f(x0)存在;,9,例1 讨论函数 f(x)=x+1在x=2处的连续性,f(x)在x=2及其近旁有定义且f(2)=3;,f(x)在x=x0及其近旁点是否有定义？若有定义，f(x0)=？,所以，函数f(x)=x+1在x=2处连续.,解,10,例2 讨论函数,f(x)在x=0及其近旁有定义且 f(0)=0;,不存在,因此函数 f(x)在 x=0
4、处不连续.,解,在x=0处的连续性,11,例3 讨论函数,f(x)在x=1及其近旁有定义且f(1)=0,不存在.,因此函数 f(x)在 x=1 处不连续.,解,在 x=1 处的连续性,12,定义1.3.3 设函数y=f(x)在(x0-,x0 有定义，,称y=f(x)在x0处左连续.,2.函数 y=f(x)在x0处的左、右连续,设函数y=f(x)在x0,x0+)有定义，,且,称y=f(x)在x0处右连续.,且,13,定理1.3.1 函数 在点 处连续的充要条件是函数 在点 处既左连续又右连续.,由于,得:,14,例4 讨论函数,f(x)在x=/2 及其近旁有定义且 f(/2)=1.,因此函数f(
5、x)在x=/2处左连续.,因此函数f(x)在x=/2处右连续.,因此函数f(x)在x=/2处连续.,解,在 x=/2 处的连续性,15,定义1.3.4 如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每,（二）函数y=f(x)在区间a,b上的连续性,那么称函数y=f(x)在闭区间a,b上连续,或者说,(4)在右端点b处左连续,即,如果y=f(x)满足(1)在闭区间a,b上有定义;,(3)在左端点a处右连续,即,(2)在开区间(a,b)内连续;,一点都连续,称函数y=f(x)在开区间(a,b)内连续.,y=f(x)是闭区间a,b上连续函数.,16,若函数y=f(x)在它定义域内的每一点都连续,则称 y
6、=f(x)为连续函数.,基本初等函数在其定义域内都连续,连续函数的图象是一条连续不间断的曲线,17,二、初等函数的连续性,定理1.3.2（连续函数的四则运算）,注意：和、差、积的情况可以推广到有限多个函数的情形,f(x)g(x),f(x)g(x),f(x)/g(x),在点 x0 处也连续,若函数 f(x),g(x)在点x0处连续，则函数,18,定理1.3.3（复合函数的连续性）设有复合函数y=f(x)，若(x)在点x0连续，且(x0)=u0而函数f(u)在 u=u0连续，则复合函数 y=f(x)在 x=x0也连续,例如，,内连续,内连续,内连续.,19,推论 若 lim(x)=u0，函数 y=
7、f(u)在,(1)可作变量代换 u=(x)求复合函数的极限,即,令u=(x),点 u0 处连续，则有:,(2)极限运算与函数运算可以交换次序，即,这表明:复合函数 满足推论条件时:,20,解,例如，求,设,时,处连续.,由于,或:,21,定理1.3.4 初等函数在其定义区间内是连续的,注:定义区间是指包含在定义域内的区间!,22,例5 计算,因为arcsin(lnx)是初等函数，且x=e是它的定义区间内的一点，由定理，有:,解,23,例6 计算,解,24,三、函数的间断点,定义 如果函数y=f(x)在点x0的某去心邻域内有定义，在点x0处不连续，则称y=f(x)在点x0处间断,并称点x0为函数
8、 y=f(x)的不连续点或间断点,（一）间断点的概念,25,进一步说明,设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义，则下列情形之一函数f(x)在点x0不连续.,(1)在x0处没有定义；,(3)虽在x0处有定义，且 存在，但,(2)虽在x0有定义，但 不存在;,这样的点 x0称为函数f(x)的间断点.,26,无穷间断点：在第二类间断点中，左、右极限,第一类间断点：,可去间断点：,跳跃间断点：,函数f(x)在间断点x0处的左、右,函数f(x)在间断点x0处的,第二类间断点：,（二）间断点的分类,左、右极限都存在.,极限至少有一个不存在.,至少有一个为无穷大的点.,27,例7 函数,函数在x=1处是
9、否有定义？,有定义，且 f(1)=-1.,是否存在？,存在，且,是否成立？,显然,所以x=1是f(x)的第一类间断点,且是可去间断点,考察x=1处.,28,说 明：,所谓可去间断点是指：可以通过改变或补充 f(x0)的定义使得 从而使函数 f(x)在 x0 处连续.,例如：上例中改变定义,令 f(1)=2,则,则 f(x)在x=1处就连续了.,29,例7 函数,函数在x=0 处是否有定义？,有定义，且 f(0)=1.,是否存在？,所以 不存在,考察x=0处.,所以x=0 是 f(x)的第一类间断点,且是 跳跃间断点,30,例9 函数 考察 x=0处.,函数在x=0处是否有定义？,无定义,是否存
10、在？,所以x=0 是 f(x)的第二类间断点,且是 无穷间断点,31,例10 函数,称x=0是f(x)的震荡间断点,所以 x=0是为 f(x)的第二类间断点,都不存在.,解,考察x=0处.,时,f(x)的值在-1,到1之间反复震荡,这时亦,32,例11 讨论函数,f(x)是初等函数，它在其定义区间内连续，,显然,f(x)在点x=-1,x=0 处没有定义,故 f(x)在区间(-,-1),(-1,0),(0,+)内连续,在点 x=-1，x=0 处间断,解,因此我们只要找出 f(x)没有定义的那些点,如果有间断点，指出间断点类型,的连续性，,33,在点x=-1处：,x=-1是为f(x)的第一类可去间
11、断点,在点 x=0 处：,x=0 是为f(x)的第二类间断点,34,例12 讨论函数,因为x=1是连续区间0,2内的一点，且1-x,在点x=0处，因为,所以,是初等函数，,解,间断点，且是第一类间断点,在x=0与x=处的连续性,不存在，,因此 x=1是f(x)的连续点；,因此 x=0 是f(x)的,35,讨论函数f(x)的连续性时，(1)若f(x)是初等函数，则由“初等函数在其定义区间内连续”的基本结论，只要找出f(x)没有定义的点以及定义域内的孤立点，这些点就是f(x)的间断点,连续性及间断点内容小结:,(2)若f(x)是分段函数，则在分界点处往往要从左、右极限入手讨论极限、函数值等，根据函
12、数的点连续性定义去判断；在非分界点处，根据该点所在子区间上函数的表达式，按初等函数进行讨论,36,第一类：,可去：,跳跃：,第二类：,常见的有无穷间断、震荡间断，,间断点分类:,存在；,37,看图判断间断点的类型：,38,四、闭区间上连续函数的性质,定理(有界性与最大值与最小值定理)若函数 f(x)在闭区间a,b上连续，则函数f(x)在闭区间a,b上有界且一定能取得它的最大值和最小值,即在a,b上至少存在点 1 和 2，使得对于a,b上的一切 x 值，有f(1)f(x)f(2)，这样的函数值 f(2)和 f(1)分别叫做函数 f(x)在区间a,b上的最大值和最小值.,（一）有界性与最大值最小值
13、定理,39,如图:,40,y=tanx在区间(-/2,/2);,注意条件:(1)闭区间；(2)连续函数.,如果两个条件不全满足,结论未必成立.,考察以下两例:,41,定理1.3.6(介值定理)若函数 f(x)在闭区间a,b连续,且 f(a)f(b),则对介于f(a)与f(b)之间的任意实数c，在(a,b)内至少存在一点，使 f()=c（a b）成立,（二）介值定理与根的存在定理,42,f(x)从f(a)连续地变到f(b)时，它不可能不经过c值,如图:,43,定理1.3.7(根的存在定理)如果函数f(x)在闭区间 a,b上连续，且 f(a)f(b)0，则方程f(x)=0 在(a,b)内至少存在一
14、个实根，即在区间(a,b)内至少有一点，使 f()=0,说明：连续曲线y=f(x)的端点在x轴的两侧时，曲线与x轴至少相交一次。,44,如图:,45,例13 证明方程 x4-4x+2=0 在区间(1,2)内至少有一个实根,设 则,由根的存在定理可知，至少存在一点(1,2)，使得f()=0 这表明所给方程在(1,2)内至少有一个实根,f(x)在闭区间1,2上连续;,f(1)=-1 0.,解,46,.函数在某点处的连续性是用极限来定义的,.函数在某点处连续与函数在某点处的极限是有区别的,极限存在是连续的必要条件.,.闭区间上连续函数的性质(有界、最值、介值).,连续性是函数的重要属性之一所谓连续,从几何直观上来看,函数的图形是一条连续不断的曲线从数学定义上看,函数的连续与函数的极限是紧密相关的,四、本节内容小结,47,课后作业,
