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1、,教学目的：不定积分换元法教学重点：凑微分法教学难点：第二类换元法,第二讲 换元法,主视图,问题,？,解决方法,利用复合函数，设置中间变量.,过程,令,换元,换元以后再还原,求导数验证结果,凑微分法,第一类换元公式（凑微分法）,说明,使用此公式的关键在于将,定理1,难,易,凑微分法,证明,公式（）说明：当积分,不便计算时，可考虑将,g(x)化为,的形式，那么,例1 求,解（一）,解（二）,解（三）,例题,例2 求,解,一般地,例题,例3 求,解,例题,例4 求,解,例题,例5 求,解,例题,例6 求,解,例题,例7 求,解,例题,例8 求,解,例题,例9：求,解：原式,例题,例10：求,解：原
2、式,解：原式=,例11:,例题,例12 求,解,例题,例13 求,解,说明,当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.,例题,例14 求,解,例题,例15:求,解（一）,例题,解（二）,类似地可推出,例题,思考：以下几种形式的积分，如何用凑微分法求积,思考,解,例16 设 求.,令,例题,例17 求,解,换元积分法技巧性强，需要多作练习，不断归纳，积累经验，才能灵活运用,例题,通过以上例题，可以归纳出如下一般凑微分形式：,凑微分公式,；,；,；,凑微分公式,回主视图,问题,解决方法,改变中间变量的设置方法.,过程,令,再用“凑微分”,难,易,第二类换元法,证：只要证右端的导数等于左端的被
3、积函数,定理2,由复合函数与反函数的导数，有,第二类换元法,第二类积分换元公式,注：1）保证代换x=(t)的单调连续（有反函数）；,代换 x=(t)，一起换。,利用第二类换元法求不定积分的关键 在于选择适当的变量代换第二类换元法常用于求无理函数的积分.,注意,被积函数含有根式,解:,注:一般地说，当被积函数含有形如:,的根号时，可作代换,有理根式积分,，于是,该例可利用凑微分法求解，而且更简洁：,例题,被积函数含有,或,例18:求,解:被积函数含有,为此可令,化去根式 此时,于是,二次根式,由于,，故,故,也可用图解法(右图)直接得到:,例题,例19 求,解,令,例题,例20:求,解,令,例题
4、,例18 求,解,令,例题,说明(3):,以上几例所使用的均为三角代换.,三角代换的目的是化掉根式.,一般规律如下：当被积函数中含有,可令,可令,可令,说明,积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.,说明(2),（三角代换很繁琐）,令,解,例题,例20 求,解,令,例题,说明(3),当分母的阶较高时,可采用倒代换,令,解,例题,例22 求,解,令,（分母的阶较高）,例题,倒代换:,例题,本节得到的一些积分结果常作公式使用,扩充积分公式,习题 42,1 填空：,习题,3 设,，求,4 求下列不定积分：,(1),(2),(3),(4),(8),(7),(6),(5),(9),(10),习题,5 写出计算下列积分时所需之变换：,(1),(2),(4),(3),6 求下列不定积分：,(4),(3),(2),(1),习题,回主视图,
