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1、微分方程求解总结,求解流程图,1.折线积分,2.凑全微分,3.定积分,转为z的一阶线性,关于u一阶,二阶变系数,二阶,一阶,二阶常系数,解的结构,P338,P348,一、一阶微分方程求解,1.一阶标准类型方程求解,关键:辨别方程类型,掌握求解步骤,2.一阶非标准类型方程求解,(1)变量代换法 代换自变量,代换因变量,代换某组合式,(2)积分因子法 选积分因子,解全微分方程,四个标准类型:,可分离变量方程,齐次方程,线性方程,全微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.求下列方程的通解,提示:(1),故为分离变量方程:,通解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方程两边同除以 x 即为
2、齐次方程,令 y=u x,化为分,离变量方程.,调换自变量与因变量的地位,用线性方程通解公式求解.,化为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方法 1 这是一个齐次方程.,方法 2 化为微分形式,故这是一个全微分方程.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.求下列方程的通解:,提示:(1),令 u=x y,得,(2)将方程改写为,(贝努里方程),(分离变量方程),原方程化为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令 y=u t,(齐次方程),令 t=x 1,则,可分离变量方程求解,化方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,变方程为,两边乘积分因子,用凑微分法得通解:,机动 目录 上页 下
3、页 返回 结束,例3.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设F(x)f(x)g(x),其中函数 f(x),g(x)在(,+),内满足以下条件:,(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;,(03考研),(2)求出F(x)的表达式.,解:(1),所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2)由一阶线性微分方程解的公式得,于是,练习题:,(题3只考虑方法及步骤),P353 题2 求以,为通解的微分方程.,提示:,消去 C 得,P353 题3 求下列微分方程的通解:,提示:令 u=x y,化成可分离变量方程:,提示:这是一阶线性方程,其中,P353 题1，2，3
4、(1),(2),(3),(4),(5),(9),(10),机动 目录 上页 下页 返回 结束,提示:可化为关于 x 的一阶线性方程,提示:为贝努里方程,令,提示:为全微分方程,通解,提示:可化为贝努里方程,令,微分倒推公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,原方程化为,即,则,故原方程通解,提示:令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、两类二阶微分方程的解法,1.可降阶微分方程的解法 降阶法,令,令,逐次积分求解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.二阶线性微分方程的解法,常系数情形,齐次,非齐次,代数法,欧拉方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二阶常系数齐次线性微分方程求通解
5、的一般步骤:,(1)写出相应的特征方程,(2)求出特征方程的两个根,(3)根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列规则写出微分方程的通解,求解二阶常系数线性方程,非齐,通解,齐次通解,非齐特解,难点：如何求特解？,方法：待定系数法.,(3).上述结论也可推广到高阶方程的情形.,解答提示,P353 题2 求以,为通解的微分方程.,提示:由通解式可知特征方程的根为,故特征方程为,因此微分方程为,P353 题3 求下列微分方程的通解,提示:(6)令,则方程变为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特征根:,齐次方程通解:,令非齐次方程特解为,代入方程可得,思 考,若(7)中非齐次项改为,提示:,原方
6、程通解为,特解设法有何变化?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P354 题4(2)求解,提示:令,则方程变为,积分得,利用,再解,并利用,定常数,思考,若问题改为求解,则求解过程中得,问开方时正负号如何确定?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P354 题8 设函数,在 r 0,内满足拉普拉斯方程,二阶可导,且,试将方程化为以 r 为自变,量的常微分方程,并求 f(r).,提示:,利用对称性,即,(欧拉方程),原方程可化为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解初值问题:,则原方程化为,通解:,利用初始条件得特解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特征根:,例1.求微分方程,提示:,
7、故通解为,满足条件,解满足,处连续且可微的解.,设特解:,代入方程定 A,B,得,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,处的衔接条件可知,解满足,故所求解为,其通解:,定解问题的解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,且满足方程,提示:,则,问题化为解初值问题:,最后求得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考:设,提示:对积分换元,则有,解初值问题:,答案:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的解.,例3.,设函数,内具有连续二阶导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1)试将 xx(y)所满足的微分方程,变换为 yy(x)所满足的微分方程;,(2)求变换后的微分方程满足初
8、始条件,数,且,解:,上式两端对 x 求导,得:,(1)由反函数的导数公式知,(03考研),机动 目录 上页 下页 返回 结束,代入原微分方程得,(2)方程的对应齐次方程的通解为,设的特解为,代入得 A0,从而得的通解:,题 目录 上页 下页 返回 结束,由初始条件,得,故所求初值问题的解为,例4.,解:,欲向宇宙发射一颗人造卫星,为使其摆脱地球,引力,初始速度应不小于第二宇宙速度,试计算此速度.,设人造地球卫星质量为 m,地球质量为 M,卫星,的质心到地心的距离为 h,由牛顿第二定律得:,(G 为引力系数),则有初值问题:,又设卫星的初速度,机动 目录 上页 下页 返回 结束,代入原方程,得
9、,两边积分得,利用初始条件,得,因此,注意到,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为使,因为当h=R(在地面上)时,引力=重力,即,代入即得,这说明第二宇宙速度为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求质点的运动规,例5.,上的力 F 所作的功与经过的时间 t 成正比(比例系数,提示:,两边对 s 求导得:,牛顿第二定律,为 k),开方如何定+?,已知一质量为 m 的质点作直线运动,作用在质点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.一链条挂在一钉子上,启动时一端离钉子 8 m,另一端离钉子 12 m,如不计钉子对链条所产生的摩擦,力,求链条滑下来所需的时间.,解:建立坐标系如图.,设在时刻
10、 t,链条较长一段,下垂 x m,又设链条线密度为常数,此时链条受力,由牛顿第二定律,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由初始条件得,故定解问题的解为,解得,当 x=20 m 时,(s),微分方程通解:,思考:若摩擦力为链条 1 m 长的重量,定解问题的,数学模型是什么?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,摩擦力为链条 1 m 长的重量 时的数学模型为,不考虑摩擦力时的数学模型为,此时链条滑下来所需时间为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习题,从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测,要求,需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度 v 之间的函,数关系.,设仪器在重力作用下从海平面由静止
11、开始下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力作用,设仪器质量为 m,体积为B,海水比重为,仪器所受阻力与下沉速度成正,比,比例系数为 k(k 0),试建立 y 与 v 所满足的微分,方程,并求出函数关系式 y=y(v).(95考研),提示:建立坐标系如图.,质量 m体积 B,由牛顿第二定律,重力,浮力,阻力,注意:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,初始条件为,用分离变量法解上述初值问题得,质量 m体积 B,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,有特,而对应齐次方程有解,微分方程的通解.,解:,故所给二阶非齐次方程为,方程化为,1.设二阶非齐次方程,一阶线性非齐次方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故,再积分得通解,复习:一阶线性微分方程通解公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,(1)验证函数,满足微分方程,(2)利用(1)的结果求幂级数,的和.,解:(1),机动 目录 上页 下页 返回 结束,(02考研),所以,(2)由(1)的结果可知所给级数的和函数满足,其特征方程:,特征根:,齐次方程通解为,设非齐次方程特解为,代入原方程得,故非齐次方程通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,代入初始条件可得,故所求级数的和,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
