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1、主要内容,二元函数的极限,说明：,（1）定义中 的方式是任意的；,（2）二元函数的极限也叫二重极限,（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,（4）二重极限的几何意义：,0，P0 的去心 邻域,在,内，函数,的图形总在平面,及,之间。,确定极限不存在的方法：,二元函数的连续性,定义,定义,注意：二元函数可能在某些孤立点处间断，也可能 在曲线上的所有点处均间断。,在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”：,闭区域上连续函数的性质,在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次,在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的
2、任何值至少一次,（1）最大值和最小值定理,（2）介值定理,偏导数的定义,只要把 x 之外的其他自变量暂时看成,常量，对 x 求导数即可。,只要把 y 之外的其他自变量暂时看成,常量，对 y 求导数即可。,注意：,有关偏导数的几点说明：,、,、,求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；,混合偏导,高阶偏导数,二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,(注意：混合偏导数相等的条件),全微分的定义,多元函数连续、可导、可微的关系,-全微分形式不变性,uv,复合函数求导法则,以上公式中的导数 称为全导数.,特殊地,其中,隐函数的求导法则,3.,常用方程两边求导法,微分法在几何上的应用,一、空间曲线的切
3、线与法平面,1.设空间曲线的方程,曲线在M0 点的切向量：,过 M0 点处的法平面方程：,过M0 点的切线方程：,法平面方程为：,切线方程：,法平面方程为：,切线方程：,曲线在 M0(x0,y0,z0)点处的切向量,3.空间曲线方程为,(方程两边求导 法求,二、曲面的切平面与法线,1.若曲面方程为,曲面在点M(x0,y0,z0)的切平面方程,法线方程为,曲面在 M(x0,y0,z0)处的法向量,2.若曲面方程为,曲面在M处的切平面方程,曲面在M处的法线方程,曲面在 M(x0,y0,z0)处的法向量,方向导数,定义,记为,梯度,三元函数的梯度,多元函数的极值,驻点,极值点,注意：,条件极值拉格朗
4、日乘数法,求解方程组,第六章,习题课,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、基本概念,二、多元函数微分法,三、多元函数微分法的应用,多元函数微分学,一、基本概念,连续性,偏导数存在,方向导数存在,可微性,1.多元函数的定义、极限、连续,定义域及对应规律,判断极限不存在及求极限的方法,函数的连续性及其性质,2.几个基本概念的关系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.讨论二重极限,解法1,解法2 令,解法3 令,时,下列算法是否正确?,分析:,解法1,解法2 令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况,此法排
5、除了沿曲线趋于原点的情况.,此时极限为 1.,第二步,未考虑分母变化的所有情况,解法3 令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,此法忽略了 的任意性,极限不存在!,由以上分析可见,三种解法都不对,因为都不能保证,自变量在定义域内以任意方式趋于原点.,特别要注意,在某些情况下可以利用极坐标求极限,但要注意在定义域内 r,的变化应该是任意的.,同时还可看到,本题极限实际上不存在.,提示:利用,故f 在(0,0)连续;,知,在点(0,0)处连续且偏导数存在,但不可微.,2.证明:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,而,所以 f 在点(0,0)不可微!,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.已知
6、,求出 的表达式.,解法1 令,即,解法2,以下与解法1 相同.,则,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、多元函数微分法,显示结构,隐式结构,1.分析复合结构,(画变量关系图),自变量个数=变量总个数 方程总个数,自变量与因变量由所求对象判定,2.正确使用求导法则,“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”,注意正确使用求导符号,3.利用一阶微分形式不变性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.设,其中 f 与F分别具,解法1 方程两边对 x 求导,得,有一阶导数或偏导数,求,(99 考研),机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法2,方程两边求微分,得,化简,消去 即可得,机动
7、目录 上页 下页 返回 结束,例3.设,有二阶连续偏导数,且,求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习题,1.设函数 f 二阶连续可微,求下列函数的二阶偏导数,2.同济(下)P73 题12,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解答提示:,第 1 题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,求,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用行列式解出 du,dv：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,代入即得,代入即得,有连续的一阶偏导数,及,分别由下两式确定,求,又函数,答案:,(2001考研）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.设,三、多
8、元函数微学的应用,1.在几何中的应用,求曲线在切线及法平面,(关键:抓住切向量),求曲面的切平面及法线(关键:抓住法向量),2.极值与最值问题,极值的必要条件与充分条件,求条件极值的方法(消元法,拉格朗日乘数法),求解最值问题,3.在微分方程变形等中的应用,最小二乘法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.在第一卦限作椭球面,的切平面,使其在三坐标轴上的截距的平方和最小,并求切点.,解:设,切点为,则切平面的法向量为,即,切平面方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,问题归结为求,在条件,下的条件极值问题.,设拉格朗日函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,切平面在三坐标轴上的截距为,
9、令,由实际意义可知,为所求切点.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,唯一驻点,例5.,求旋转抛物面,与平面,之间的最短距离.,解：,设,为抛物面,上任一点，,则 P,的距离为,问题归结为,约束条件:,目标函数:,作拉氏函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,到平面,令,解此方程组得唯一驻点,由实际意义最小值存在,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,上求一点,使该点处的法线垂直于,练习题：,1.在曲面,并写出该法线方程.,提示:设所求点为,则法线方程为,利用,得,平面,法线垂直于平面,点在曲面上,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.在第一卦限内作椭球面,的切平面,使与三坐标面围成的四面体体积最小,并求此体积.,提示:设切点为,用拉格朗日乘数法可求出,则切平面为,所指四面体围体积,V 最小等价于 f(x,y,z)=x y z 最大,故取拉格朗日函数,例4 目录 上页 下页 返回 结束,(见例4),测 验 题,测验题答案,
