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1、第四节,一、隐函数的导数,二、由参数方程确定的函数的导数,三、相关变化率,机动 目录 上页 下页 返回 结束,隐函数和参数方程求导,相关变化率,第二章,一、隐函数的导数,若由方程,可确定 y 是 x 的函数,由,表示的函数,称为显函数.,例如,可确定显函数,可确定 y 是 x 的函数,但此隐函数不能显化.,函数为隐函数.,则称此,隐函数求导方法:,两边对 x 求导,(含导数 的方程),机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解：,方程两边分别对 x 求导数，,所以,例2.求由方程,在 x=0 处的导数,解:方程两边对 x 求导,得,因 x=0 时 y=0,故,确
2、定的隐函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3,求由方程,所确定的隐函数,的导数,并求出,写出通过曲线,上,点,的切线方程.,解：,方程两边对 x 求导,得,解得,所以,即,例4.求椭圆,在点,处的切线方程.,解:椭圆方程两边对 x 求导,故切线方程为,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.求由方程,二阶导数。,确定的隐函数的,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解：,方程两边分别对 x 求导数，,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对数求导法：,对幂指函数和某些复杂的根式或分式用此法,求导简便些.,1
3、)对幂指函数,都可导.,两边取对数(化成了隐函数),然后按隐函数求导法,求出 的导数.,即,例6.求,的导数.,解:两边取对数,化为隐式,两边对 x 求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2)有些显函数用对数求导法求导很方便.,例如,两边取对数,两边对 x 求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.设,对 x 求导,两边取对数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求导数。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习,设,求,解：,两边取对数得,方程两边分别对 x 求导数，,二、由参数方程确定的函数的导数,若参数方程,可确定一个 y 与 x 之间的函数,可导,且,则,时,有,时,有,(此
4、时看成 x 是 y 的函数),关系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若上述参数方程中,二阶可导,且,则由它确定的函数,可求二阶导数.,利用新的参数方程,可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8,已知椭圆的直角坐标方程为,求,及,写出椭圆的参数方程；,解：,椭圆的参数方程为：,为求,列出参数方程：,例9.已知椭圆的参数方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求椭圆在,相应的点处的切线方程。,解:,椭圆上的对应点为,此点切线斜率为：,切线方程为：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10,设曲线 方程为,当,时所对应的点,与法线方程；,解：,求曲
5、线,处的切线方程,看成为,是,如果把曲线,的函数，,求,点的坐标为：,点切线斜率为：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,处的,即,切线方程为:,即,法线方程为:,例11.抛射体运动轨迹的参数方程为,求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向.,解:先求速度大小:,速度的水平分量为,垂直分量为,故抛射体速度大小,再求速度方向,(即轨迹的切线方向):,设 为切线倾角,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,抛射体轨迹的参数方程,速度的水平分量,垂直分量,在刚射出(即 t=0)时,倾角为,达到最高点的时刻,高度,落地时刻,抛射最远距离,速度的方向,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上
6、页 下页 返回 结束,例12 求由摆线,所确定的函数,的二阶导数。,解:,例13.设,且,求,解:,练习:P112 题8(1),解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例14 设由方程,确定函数,求,解:方程组两边对 t 求导,得,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、相关变化率,为两可导函数,之间有联系,之间也有联系,称为相关变化率,相关变化率问题解法:,找出相关变量的关系式,对 t 求导,得相关变化率之间的关系式,求出未知的相关变化率,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例15.一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,其速率为,当气球高度为 500 m 时,观察员,视线的仰
7、角增加率是多少?,解:设气球上升 t 分后其高度为h,仰角为,则,两边对 t 求导,已知,h=500m 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考题:当气球升至500 m 时停住,有一观测者以,100 mmin 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m,时,仰角的增加率是多少?,提示:,对 t 求导,已知,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作 业：P111112 1(3);2；3(4)；4（2）;7(1);8(2),求其反函数的导数.,解:,方法1,方法2,等式两边同时对 求导,备用题,1.设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求,解：,2.设,方程组两边同时对 t 求导,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
