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1、第二节 边缘分布,边缘分布函数离散型随机变量的边缘分布律连续型随机变量的边缘概率密度课堂练习,二维联合分布全面地反映了二维随机变量(X,Y)的取值及其概率规律.而单个随机变量X,Y也具有自己的概率分布.那么要问:二者之间有什么关系呢?,二维随机变量(X,Y)作为一个整体,一、边缘分布函数,分别记为,关系式:,记住：,一般地，对二维离散型随机变量(X,Y)，,(X,Y)关于X 的边缘分布律（即X的分布律）为:,X和Y 的联合分布律为：,二、二维离散型随机变量(X,Y)的边缘分布律,(X,Y)关于 Y 的边缘分布律（即Y的分布律）为:,二维离散型随机变量关于X 和Y 的边缘分布函数分别为:,我们常
2、将边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词.,例1 已知下列分布律求其边缘分布律.,解,注意,联合分布,边缘分布,例2 已知下列分布律求其边缘分布律.,例3 设随机变量,且满足PX1X2=0=1，求（1）(X1,X2)的联合概率分布；（2）PX1 X2；（3）PX1=X2。,二维连续型随机变量(X,Y)的边缘概率密度即X,Y各自的概率密度,分别记为：,三、二维连续型随机变量(X,Y)的边缘概率密度,同理由,可得关于 Y 的边缘概率密度,记住：,解,例3,注 在求连续型 r.v 的边缘密度时，往往要求联合密度在某区域上的积分.当联合密度函数是分片表示的时候，应特别注意所求边
3、缘密度应如何分段以及积分限应如何选取.,解（X，Y）的概率密度为,先计算,注 二维均匀分布的边缘分布也为均匀分布。,例 5 试求二维正态随机变量的边缘概率密度.,解,因为,所以,则有,同理,注 二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,并且不依赖于参数.,由边缘分布一般不能确定联合分布.,也就是说,对于给定的 不同的 对应,不同的二维正态分布,但它们的边缘分布却都是一样的.,此例表明,例 5 试求二维正态随机变量的边缘概率密度.,四、课堂练习,解,暂时固定,当 时,当 时,故,暂时固定,暂时固定,暂时固定,当 时,当 时,故,第三节 条件分布,离散型随机变量的条件分布连续型随机变量的条件分布
4、课堂练习,在第一章中，我们介绍了条件概率的概念.,在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率,推广到随机变量,设有两个随机变量X,Y，在给定Y取某个或某些值的条件下，求X的概率分布.,这种分布就是条件分布.,例如，考虑某大学的全体学生，从其中随机抽取一个学生，分别以X和Y 表示其体重和身高.则X和Y都是随机变量，它们都有一定的概率分布.,体重X,身高Y,体重X的分布,身高Y的分布,现在若限制 1.7Y1.8(米),在这个条件下去求 X的条件分布，这就意味着要从该校的学生中把身高在1.7米和1.8米之间的那些人都挑出来，然后在挑出的学生中求其体重的分布.,容易想象，这个分布与不加这个条件时的分布会
5、不一样.,例如，在条件分布中体重取大值的概率会显著增加.,一、二维离散型随机变量的条件分布,实际上是第一章讲过的条件概率概念在另一种形式下的重复.,定义1 设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的 j，若 PY=yj 0，则称,为在 Y=yj条件下随机变量X的条件分布律.,PX=xi|Y=yj=,，i=1,2,类似地可定义在 X=xi 条件下随机变量Y 的条件分布律.,PY=yj|X=xi=,j=1,2,对于固定的i,当PX=xi 0时，称,为在 X=xi条件下随机变量Y的条件分布律.,条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的一切性质.正如条件概率是一种概率，具有概率的一切性质一样.,例如
6、：,i=1,2,例1,解,由上述分布律的表格可得,二、二维连续型随机变量的条件分布,设(X,Y)是二维连续型随机变量，由于对任意x,y,PX=x=0,PY=y=0，所以不能象离散的一样直接用条件概率公式定义条件分布，要用到极限的方法，下面我们直接给出条件概率密度的计算公式.,设 X 和 Y 的联合概率密度为,关于 的边缘概率密度为,记为,记为,定义2,即,类似地,可以定义在 的条件下Y的条件概率密度以及条件分布函数,例2 设(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，概率密度为,求,解 X的边缘密度为,由于当|x|1时,只有当|x|1时,才有,故只有当x取（-1,1）中的固定值时，才有,即 当|x|1 时,有,X的取值x已知，即x是固定常数,这里是y的取值范围,X已知的条件下Y 的条件密度,注 二维均匀分布的条件分布仍为均匀分布。,注 二维正态分布的条件分布仍为正态分布。,三、课堂练习,1.对于二维正态分布，在已知 X=x 条件下，求Y 的条件分布.,解,设,则其概率,密度为,X的边缘密度为,在 X=x 条件下，Y 的条件概率密度为,例3.设(X,Y)的概率密度是,求.,(X,Y)关于 Y 的边缘概率密度为,解,当 时,综上,当 时,这一节，我们介绍了条件分布的概念和计算，并举例说明对离散型和连续型随机变量如何计算条件分布.请课下通过练习进一步掌握.,四、小结,
