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1、概率论与数理统计实验,实验2 随机数的产生 数据的统计描述,实验目的,实验内容,学习随机数的产生方法直观了解统计描述的基本内容。,2、统计的基本概念。,5、实验作业。,4、计算实例。,3、计算统计描述的命令。,1、随机数的产生,在Matlab软件中，可以直接产生满足各种常用分布的随机数，命令如下：,一、随机数的产生,10常用分布随机数的产生,定义：设随机变量XF(x),则称随机变量X的抽样序列Xi为分布F(x)的随机数,调用格式：,1、y=random(name,A1,A2,A3,m,n),其中：name为相应分布的名称，A1,A2,A3为分布参数，m为产生随机数的行数，n为列数。,2、直接调
2、用。如：y=binornd(n,p,1,10)产生参数为n，p的1行10列的二项分布随机数,当只知道一个随机变量取值在（a，b）内，但不知道（也没理由假设）它在何处取值的概率大，在何处取值的概率小，就只好用U（a，b）来模拟它。,调用格式如下：R=unifrnd(a,b)：产生一个均匀分布随机数R=unifrnd(a,b,mm,nn)产生mm行nn列的均匀分布 随机数,（1）产生m*n阶a，b均匀分布U（a，b）的随机数矩阵：unifrnd(a,b,m,n)产生一个a，b均匀分布的随机数:unifrnd(a,b),例1、产生U(2,8)上的一个随机数，10个随机数，2行5列的随机数。,命令：(
3、1)y1=unifrnd(2,8)(2)y2=unifrnd(2,8,1,10)(3)y3=unifrnd(2,8,2,5),排队服务系统中顾客到达率为常数时的到达间隔、故障率为常数时零件的寿命都服从指数分布。,指数分布在排队论、可靠性分析中有广泛应用。,例 顾客到达某商店的间隔时间服从参数为0.1的指数分布,指数分布的均值为1/0.1=10。指两个顾客到达商店的平均间隔时间是10个单位时间.即平均10个单位时间到达1个顾客.顾客到达的间隔时间可用exprnd(10)模拟。,4、二项分布随机数,(1)R=binornd(n,p)：产生一个二项分布随机数(2)R=binornd(n,p,mm,n
4、n)产生mm行nn列的 二项分布随机数,例4、产生B(10,0.8)上的一个随机数，15个随机数，3行6列的随机数。,命令(1)y1=binornd(10,0.8)(2)y2=binornd(10,0.8,1,15)(3)y3=binornd(10,0.8,3,6),20、其他分布随机数的产生方法,定理 设X的分布函数为F(x)，连续且严格单调上升，它的反函数存在，且记为F-1(x)，随机变量 U 服从 0,1 上的均匀分布，则 F(x)U(0,1)F-1(U)的分布函数为F(x)。,（一）直接抽样法（反函数法）,（1）连续分布的直接抽样法,设连续型随机变量X的分布函数为F(x)，,则产生随机
5、数的方法步骤为：,产生均匀随机数R，即RU(0,1)则X=F-1(R),即为所要的随机数,设分布律为P(X=xi)=pi,i=1,2,.，其分布函数为F(x),（2）离散分布的直接抽样法,产生均匀随机数R，即RU(0,1),则XF(x),（二）变换抽样法,（三）值序抽样法,（四）舍选抽样法,（五）复合抽样法（合成法）,（六）近似抽样法,详见：高惠璇 北京大学出版社统计计算,例5、设X分布函数为F(X),如：,生成n=20的1行10000列随机数，并画经验分布函数曲线频率直方图。,命令：U=unifrnd(0,1,1,10000);Y=1-(1-U).(1/20);cdfplot(Y);,例5
6、生成单位圆上均匀分布的1行10000列随机数，并画经验分布函数曲线。,Randnum=unifrnd(0,2*pi,1,10000);xRandnum=cos(Randnum);yRandnum=sin(Randnum);plot(xRandnum,yRandnum);plot(xRandnum,yRandnum,.);,例6 频率的稳定性,1、事件的频率 在一组不变的条件下，重复作n次试验，记m是n次试验中事件A发生的次数。频率 f=m/n,2.频率的稳定性,在重复试验中，事件A的频率总在一个定值附近摆动，而且，随着重复试验次数的增加，频率的摆动幅度越来越小，呈现出一定的稳定性.,掷一枚硬币
7、，记录掷硬币试验中频率P*的波动情况。,(1)模拟产生n个0-1分布随机数randnum(n),(2)对模拟产生的随机数，xrandnum(i)表示第i次试验的结果，1表示正面向上，0表示反面向上。,(3)统计前i次试验中正面向上的次数，并计算频率,（4）作图(关于频率和试验次数的图像）,p为正面向上的概率，n为试验次数,在Matlab中编辑.m文件输入以下命令：,function binomoni(p,n)pro=zeros(1,n);%频率向量randnum=binornd(1,p,1,n);产生二项分布随机数a=0;for i=1:n a=a+randnum(1,i);%频数 pro(i
8、)=a/i;%频率end pro=pro;num=1:n;plot(num,pro,num,p),在Matlab命令行中输入以下命令：,binomoni(0.5,1000),在Matlab命令行中输入以下命令：,binomoni(0.5,10000),在Matlab命令行中输入以下命令：,binomoni(0.3,1000),例7、Buffon试验,1777年法国数学家蒲丰用随机掷针的实验方法计算,假设平面上有很多条距离为1的等距平行线，现向该平面随机投掷一根长度为l 的针(l1)则我们可计算该针与任一平行线相交的概率。这里，随机投针指的是：针的中心点与最近的平行线间的距离 x 均匀的分布在区
9、间0,0.5上，针与平行线的夹角(不管相交与否）均匀分布在区间0,上。,因此，针与线相交的充要条件是,从而针线相交的概率为,根据上式，若我们做大量的投针试验并记录针与线相交的次数，则由大数定理可以估计出针线相交的概率p 从而得到 的估计值。,步骤：设针的长度为 l,模拟试验次数为n.,(1)模拟产生n个0，0.5上的均匀分布随机数xrandnum，0，上的均匀分布随机数sita,(3)计算针与线相交的频率，作为概率，计算,buffon(.6,1000)piguji=3.1662 buffon(.6,10000)piguji=3.1072 buffon(.6,100000)piguji=3.15
10、22 buffon(.6,1000000)piguji=3.1386 buffon(.6,1000000)piguji=3.1451 buffon(.6,1000000)piguji=3.1418 buffon(.6,1000000)piguji=3.1448 buffon(.6,1000000)piguji=3.1405 buffon(.6,1000000)piguji=3.1394,1、表示位置的统计量平均值和中位数,平均值（或均值，数学期望）：,中位数：将数据由小到大排序后位于中间位置 的那个数值.,二、常用统计量,2、表示变异（离散）程度的统计量 方差、标准差、极差,样本方差：,它是各
11、个数据与均值偏离程度的度量,标准差：是方差的开方,极差：样本中最大值与最小值之差.,3.表示分布形状的统计量偏度和峰度,偏度：,峰度,偏度反映分布的对称性，g1 0称为右偏态，此时数据位于均值，右边的比位于左边的多；g1 0称为左偏态，情况相反；而g1接近0则可认为分布是对称的.,峰度是分布形状的另一种度量，正态分布的峰度为3，若g2比3大很多，表示分布有沉重的尾巴，说明样本中含有较多远离均值的数据，因而峰度可用作衡量偏离正态分布的尺度之一,三、分布函数的近似求法（直方图）,1、经验分布函数（累计频率直方图）Empirical Cumulative Distribution Function,
12、则经验分布函数为：,总体分布函数的近似,2、频率直方图近似概率密度函数,下面介绍频率直方图和经验分布函数的做法,1、整理资料：把样本值x1，x2，xn进行分组，先将它们依大小次序排列，得,2、求出各组的频数和频率：,3、作图：,统计工具箱中的基本统计命令,1.数据的录入、保存和调用,2.基本统计量,3.常见概率分布的函数,4.直方图的描绘,5.综合实例,一、数据的录入、保存和调用,例9 上海市区社会商品零售总额和全民所有制职工工资总额的数据如下,统计工具箱中的基本统计命令,方法1,1、年份数据以1为增量，用产生向量的方法输入。命令格式：x=a:h:b t=78:87,2、分别以x和y代表变量职
13、工工资总额和商品零售总额x=23.8,27.6,31.6,32.4,33.7,34.9,43.2,52.8,63.8,73.4y=41.4,51.8,61.7,67.9,68.7,77.5,95.9,137.4,155.0,175.0,3、将变量t、x、y的数据保存在文件data中。save data t x y,4、进行统计分析时，调用数据文件data中的数据。load data,t=78:87;x=23.8,27.6,31.6,32.4,33.7,34.9,43.2,52.8,63.8,73.4;y=41.4,51.8,61.7,67.9,68.7,77.5,95.9,137.4,155.
14、0,175.0;save data t x y,1、输入矩阵：data=78,79,80,81,82,83,84,85,86,87,88;23.8,27.6,31.6,32.4,33.7,34.9,43.2,52.8,63.8,73.4;41.4,51.8,61.7,67.9,68.7,77.5,95.9,137.4,155.0,175.0,2、将矩阵data的数据保存在文件data1中：save data1 data,方法2,3、数据的调用：命令：load data1 用以下命令分别将矩阵data的第一、二、三行的数据赋给变量t、x、y：t=data(1,:)x=data(2,:)y=dat
15、a(3,:)若要调用矩阵data的第j列的数据，可用命令：data(:,j),data=78 79 80 81 82 83 84 85 86 87;23.8,27.6,31.6,32.4,33.7,34.9,43.2,52.8,63.8,73.4;41.4,51.8,61.7,67.9,68.7,77.5,95.9,137.4,155.0,175.0;save data1 data;,load data1,t=data(1,:)；x=data(2,:)；y=data(3,:)；,若要调用矩阵data的第j列的数据，可用命令：data(:,j),二、基本统计量,对样本x，计算其基本统计量的命令如
16、下：均值：mean(x)中位数：median(x)标准差：std(x)方差：var(x)极差：range(x)偏度：skewness(x)峰度：kurtosis(x),例10 对例1中的职工工资总额x，可计算上述基本统计量。,clear;load data1x=data(2,:)mean1=mean(x)median1=median(x)std1=std(x)var1=var(x)rang1=range(x)skewness1=skewness(x)kurtosis1=kurtosis(x),mean1=41.7200median1=34.3000std1=16.4544var1=270.74
17、62range1=49.6000skewness1=0.8590kurtosis1=2.4037,三、常见概率分布的函数,常见的几种分布的命令字符为:,Matlab工具箱对每一种分布都提供五类函数，其命令字符为：概率密度：pdf 概率分布：cdf逆概率分布：inv 均值与方差：stat随机数生成：rnd,（当需要一种分布的某一类函数时，将以上所列的分布命令字符与函数命令字符接起来，并输入自变量（可以是标量、数组或矩阵）和参数即可.）,1、描绘数组data的频数直方图的命令为：hist(data,k),四、频数直方图的描绘,2、描绘附加带有正态密度曲线的直方图命令为：histfit(data,k
18、),五、经验分布函数（累计频率直方图）作图,描绘数组data的经验分布函数的命令为：cdfplot(data),例11 一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等会出现故障.故障是完全随机的，并假定生产任一零件时出现故障机会均相同.工作人员是通过检查零件来确定工序是否出现故障的.现积累有100次故障纪录，故障出现时该刀具完成的零件数如下：作频数直方图及经验分布函数图,459 362 624 542 509 584 433 748 815 505612 452 434 982 640 742 565 706 593 680926 653 164 487 734 608 428 1153
19、 593 844527 552 513 781 474 388 824 538 862 659775 859 755 49 697 515 628 954 771 609402 960 885 610 292 837 473 677 358 638699 634 555 570 84 416 606 1062 484 120447 654 564 339 280 246 687 539 790 581621 724 531 512 577 496 468 499 544 645764 558 378 765 666 763 217 715 310 851,解 1、数据输入,x1=459 362
20、 624 542 509 584 433 748 815 505;x2=612 452 434 982 640 742 565 706 593 680;x3=926 653 164 487 734 608 428 1153 593 844;x4=527 552 513 781 474 388 824 538 862 659;x5=775 859 755 49 697 515 628 954 771 609;x6=402 960 885 610 292 837 473 677 358 638;x7=699 634 555 570 84 416 606 1062 484 120;x8=447 65
21、4 564 339 280 246 687 539 790 581;x9=621 724 531 512 577 496 468 499 544 645;x10=764 558 378 765 666 763 217 715 310 851;x=x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10;save dj x,解 2、作频数直方图,load djhist(x,10)histfit(x,10),（看起来刀具寿命服从正态分布）,解 3、作经验分布函数图,load djcdfplot(x),例3、作以下数据的直方图，并估计其分布类型,8.21 1.91 5.97 3.07 9.46
22、1.8 4.86 0.750.79 2.61 3.50 0.53 0.98 2.19 1.00 2.085.37 6.19 5.38 3.14 1.59 5.87 0.88 2.834.97 1.76 3.02 4.05 1.82 2.38 1.15 0.223.24 0.64 8.77 0.10 6.52 6.89 0.66 1.529.96 22.21 0.56 8.07 6.04 2.07 6.29 3.7813.68 0.06,1、数据输入,x=8.21 1.91 5.97 3.07 9.46 1.8 4.86 0.750.79 2.61 3.50 0.53 0.98 2.19 1.00 2.085.37 6.19 5.38 3.14 1.59 5.87 0.88 2.834.97 1.76 3.02 4.05 1.82 2.38 1.15 0.223.24 0.64 8.77 0.10 6.52 6.89 0.66 1.529.96 22.21 0.56 8.07 6.04 2.07 6.29 3.7813.68 0.06Save data1 X;,2、作频率直方图,并观察其分布形式,load data1;hist(x,9),解 3、作经验分布函数图,load datacdfplot(x),
