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1.6 无穷小的比较,本节我们对一些尚未解决的极限问题做一点初步的讨论.,因为无穷大的倒数为无穷小,我们用“0”和“”分别表示无穷小和无穷大,则下列形式的极限都不能用极限运算法则求解:,所以,和,都可以看做 的变形.,由,也是 的变形.,原因是这些形式的极限值可能是任意的实数,也可能不存在.,我们称上述四种形式的极限为未定式的极限,例如,不存在.,另外,对幂指函数(且不恒等于1),由,及指数函数与对数函数的连续性,有,如果 为未定式的极限,为 型未定式,即,则 也是未定式,且有以下三种形式：,而且这三种形式经过函数的恒等变形都可以化为,的形式.,综上所述,两个无穷小之商的极限,在极限的讨论中具有特别的地位.,实际上,这样的极限是对两个无穷小趋于零的速度进行比较,简称无穷小的比较.,不可比.,观察各极限,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.,不存在,定义1.11(无穷小量阶的比较),记作,记作,注：在不太关心无穷小具体表示时,也把无穷小,记作,等价,同阶,高阶,例 证明当,特别地,如果当 时,是无穷小,习惯将 同幂函数进行比较.,例 当,常用等价无穷小:,一个无穷小,性质:,例如,当,定理1.22(无穷小的等价代换),注意:无穷小替换定理适用于乘、除情形,无穷小代数和的情形需慎用.,例 求,解,解,错,例 求,例 求,练习,解,故,求,
