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1、二、无界函数的反常积分,第四节,常义积分,积分限有限,被积函数有界,推广,一、无穷限的反常积分,反常积分,(广义积分),反常积分,一、无穷限的反常积分,引例.曲线,和直线,及 x 轴所围成的开口曲,边梯形的面积,可记作,其含义可理解为,定义1.设,若,存在,则称此极限为 f(x)的无穷限反常积分,记作,这时称反常积分,收敛;,如果上述极限不存在,就称反常积分,发散.,类似地,若,则定义,则定义,(c 为任意取定的常数),只要有一个极限不存在,就称,发散.,无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.,引入记号,则有类似牛 莱公式的计算表达式:,解.,3.例题,例1 计算广义积分.,图57,例2.计算
2、反常积分,解:,思考:,分析:,原积分发散!,注意:对反常积分,只有在收敛的条件下才能使用,“偶倍奇零”的性质,否则会出现错误.,解,极限不存在,是发散的,例3 计算广义积分.,例4.证明第一类 p 积分,证:当 p=1 时有,当 p 1 时有,当 p 1 时收敛;p1,时发散.,因此,当 p 1 时,反常积分收敛,其值为,当 p1 时,反常积分发散.,例5.计算反常积分,解:,二、无界函数的反常积分,引例:曲线,所围成的,与 x 轴,y 轴和直线,开口曲边梯形的面积,可记作,其含义可理解为,定义2.设,而在点 a 的右邻域内无界,存在,这时称反常积分,收敛;,如果上述极限不存在,就称反常积分
3、,发散.,类似地,若,而在 b 的左邻域内无界,若极限,数 f(x)在 a,b 上的反常积分,记作,则定义,则称此极限为函,若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类,说明:,而在点 c 的,无界函数的积分又称作第二类反常积分,无界点常称,邻域内无界,为瑕点(奇点).,例如,间断点,而不是反常积分.,则本质上是常义积分,则定义,注意:若瑕点,的计算表达式:,则也有类似牛 莱公式的,若 b 为瑕点,则,若 a 为瑕点,则,若 a,b 都为瑕点,则,则,可相消吗?,下述解法是否正确:,积分收敛,例1.计算反常积分,解:显然瑕点为 a,所以,原式,例2.讨论反常积分,的收敛性.,解:,所以反常积分,发
4、散.,例3 计算广义积分.,解 因为，所以 是瑕点，,而，,所以 发散.,.,注：若按定积分计算（不考虑 是瑕点),就会导致以下的错误.,证,例5 计算广义积分,解,故原广义积分发散.,例6 计算广义积分,解,瑕点,例7 考察广义积分 的敛散性.,解 是瑕点，积分区间是无穷区间，,当 时收敛，当 时发散；,当 时收敛，当 时发散.,则广义积分 发散.,内容小结,1.反常积分,积分区间无限,被积函数无界,常义积分的极限,2.两个重要的反常积分,说明:(1)有时通过换元,反常积分和常义积分可以互,相转化.,例如,(2)当一题同时含两类反常积分时,应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分.,备用题 试证,并求其值.,解:,令,
