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1、实际问题的函数建模,大约在一千五百年前，大数学家孙子在孙子算经中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”,这四句的意思就是：有若干只有几只鸡和兔，共有35个头，94只脚，那么鸡和兔各有多少只？你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗？你有什么更好的方法？,孙子的大胆解法：他假设砍去每只鸡和兔一半的脚，则每只鸡和兔就变成了“独脚鸡”和“双脚兔”.这样，“独脚鸡”和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差，就是兔子数，即：473512；鸡数就是：351223.,现举例说明一次函数和二次函数的应用.例1某列火车从北京西站开往石家庄，全程277公里。火车出发10
2、min开出13 km后，以120 km/h匀速行驶。试写出火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的关系。并求离开北京2h时火车行驶的路程。,解：因为火车匀速运动的时间为(27713)120=(h)，所以 0t。因为火车匀速行驶t h时所行驶的路程为120t，所以火车行驶的总路程s与行驶时间t之间的关系是 s=13+120t(0t).,离开北京2h时火车行驶的路程s=13+120=233(km)。,例2某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满。公司欲提高档次，并提高租金。如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间。若不考虑其他因素，旅游公司将客房租金提高到多少时，每
3、天客房的租金收入最高？,解：方法一，依题意可列表如下：,由上表容易得到，当x=10时，即每天租金为40元时，能租出客房200间，此时每天总租金最高，为8000元。,方法二：设客房租金每提高x个2元，则将由10 x间客房空出，客房租金的总收入为 y=(20+2x)(30010 x)=20 x2+400 x+6000=20(x10)2+8000.由此得到当x=10时，ymax=8000.因此每天租金为40元时，能租出客房200间，此时每天总租金最高，为8000元。,例3某单位计划用围墙围出一块矩形场地，现有材料可筑墙的总长度为l，如果要使围墙围出的场地面积最大，问矩形的长、宽各等于多少？,解：设矩
4、形的长为x(0 x)，则宽为，,从而矩形的面积为=。,由此可得，该函数在x=时取得最大值，且。,这时这个矩形时边长等于 的正方形。,例4建立函数模型的例子，问题:我国19992002年国内生产总值（单位：万亿元）如下表所示：,（1）画出函数图形，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；（2）利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较；（3）利用关系式估计2003年我国的国内生产总值。,解：（1）画出函数图形，从函数图形上可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，可选择线性函数建立数学模型。如图所示，设所求的线性函数为y=kx+b，把直线通过的两点(0，8.2067)，(3，10
5、.2398)代入上式，解方程组得k=0.6777，b=8.2067，因此，所求的函数关系式是y=f(x)=0.6677x+8.2067.,（2）由得到的函数关系式计算出2000和2001年的国内生产总值分别为f(1)=8.8844，f(2)=9.5621.与实际生产总值相比，误差不超过0.1万亿元。,（3）假设我国2002年后国内生产总值还按上面的关系式增长，则2003年(即x=4时)的国内生产总值为 y=f(4)=10.9175.所以2003年国内生产总值约为10.9175万亿元。,根据国家统计局公布的数据，我国2003年国内生产总值为11.6694万亿元，比估计的数字高很多，这说明为解决实
6、际问题所建立的数学模型是否符合实际情况，还要经过实践的验证。如果与实际误差较大，就要修正得到的数学模型。,例5.北京市的一家报刊摊点，从报社买进北京晚报的价格是每份是0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社。在一个月（30天计算）里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？,解：若设每天从报社买进x（250 x400）份，则每月共可销售(20 x+10250)份，每份可获利润0.10元，退回报社10(x250)
7、份，每份亏损0.15元，建立月纯利润函数f(x)，再求f(x)的最大值，可得一个月的最大利润.,设每天从报社买进x份报纸，每月获得的总利润为y元，则依题意，得,函数在250,400上单调递增，所以x=400时，ymax=825（元）即摊主每天从报社买进400份时，每月所获得的利润最大，最大利润为825元。,例6.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线表示。,（1）写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t)；写出图2表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)。（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元百千克，时间单位：天）,解:由图1可得市场售价与时间t的函数关系：,由图2可得种植成本与时间t的函数关系：,因为认定市场售价P与种植成本Q之差为纯收益，所以当100P300且0 t 200时，；由二次函数性质可知当P250时，t50，此时PQ取得最大值100；,当100P300且200t300时，；由二次函数性质可知当P300时，t300，此时PQ取得最大值87.5因为10087.5，所以当t50时，PQ取得最大值100，,即从二月一日起的第50天上市的西红柿收益最大,
