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1、1,表面交线,2,3,4,5.1 截交线,截切：用一个平面与立体相交，截去立体的一部分。,截平面 用以截切物体的平面。,截交线 截平面与物体表面的交线。,截断面 因截平面的截切，在物体上形成的平面。,讨论的问题：截交线的分析和作图。,5,平面立体的截切,一、平面截切的基本形式,截交线与截断面,6,截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其 形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截切位置。,平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每条边是截平面与棱面的交线。,截交线的性质：,共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。,7,二、平面截切体的画图,
2、求截交线的两种方法：,求各棱线与截平面的交点棱线法。,求各棱面与截平面的交线棱面法。,关键是正确地画出截交线的投影。,求截交线的步骤：,截平面与体的相对位置,截平面与投影面的相对位置,确定截交线的投影特性,确定截交线的形状,空间及投影分析,画出截交线的投影,分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。,8,例1已知斜截正六棱柱的正面投影和水平投影，求其侧面投影。,9,（1）画出完整六棱柱的侧面投影,（2）求截交线的侧面投影,10,（1）画出完整六棱柱的侧面投影,（2）求截交线的侧面投影,（3）确定各棱线的侧面投影，并 判别可见性。,11,（1）画出完整六棱柱的侧面投影,（2）求截交线的侧面投影
3、,（3）确定各棱线的侧面投影，并 判别可见性。,（4）检查、加深图线、完成全图,12,例2、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平投影和侧面投影。,(1)求Pv与sa、sb、sc的交点1、2、3为截平面与各棱线的交点、的正面投影。,1,2,3,(2)根据线上取点的方法，求出1、2、3和1”、2”、3”。,1,1”,2”,2,3,(3)连接各点的同面投影即等截交线的三个投影。,(4)补全棱线的投影。,3”,具体步骤如下：,13,1,2,3(4),1”,3”,4”,1,2,4,3,例3 求做立体被截切后的投影,14,例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。,3,2,1,(4),空间分析,
4、交线的形状？,投影分析,求截交线,分析棱线的投影,检查 尤其注意检查截 交线投影的类似性,15,16,5.1.2 回转体的截切,一、回转体截切的基本形式,17,截交线的性质：,截交线是截平面与回转体表面的共有线。,截交线的形状取决于回转体表面的形状及 截平面与回转体轴线的相对位置。,截交线都是封闭的平面图形。,18,二、求平面与回转体的截交线的一般步骤,空间及投影分析,分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线 的相对位置，以便确定截交线的形状。,分析截平面与投影面的相对位置，明确截交 线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出 截交线的已知投影，预见未知投影。,画出截交线的投影,当截交线的投影为非圆
5、曲线时，其作图步骤为：,将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可 见性。,先找特殊点，补充中间点。,19,截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置,垂直,圆,椭圆,平行,两平行直线,倾斜,圆柱体的截切,20,例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个投影。,由于平面与圆柱的轴线斜交，因此截交线为一椭圆。截交线的正面投影重影为一直线，水平投影与圆柱面的投影重影为圆。侧面投影可根据圆柱表面取点的方法求出。,具体步骤如下：,（1）先作出截交线上的特殊点。,（2）再作出适当数量的一般点。,（3）将这些点的投影依次光滑的连接起来。,1,1,5,5,3,7,3,(7),1”,
6、5”,3”,7”,2,2,2”,4,6,8,4,4”,（4）补全侧面投影中的转向轮廓线。,8”,6”,21,比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。,22,椭圆的长、短轴随截平面与圆柱轴线夹角的变而改变。,什么情况下投影为圆呢?,截平面与轴线成45夹角时,23,例2：求左视图,虚实分界点,24,25,在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。,26,分 析：该立体是在圆柱筒的上部开出一个方槽后形成的。构成方槽的平面为垂直于轴线的水平P
7、和两个平行于轴线的侧平面Q。它们与圆柱体和孔的表面都有交线，平面P与圆柱的交线为圆弧，平面Q与圆柱的交线为直线，平面和Q彼此相交于直线段。,例2、补画被挖切后立体的投影。,27,作图步骤如下：,（1）先作出完整基本形体的三面投影图。,（2）然后作出槽口三面投影图。,(3)作出穿孔的三面投影图。,28,(二)圆锥的截切,当截平面与圆锥轴线的相对位置不同时，圆锥表面上便产生五种不同的截交线。,29,根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有五种形状。,30,例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的另外两个投影。,此种截交线为一椭圆。由于圆锥前后对称，故椭圆也前后对称。椭圆的长轴为截平面与圆
8、锥前后对称面的交线正平线，椭圆的短轴是垂直于长轴的正垂线。,31,具体步骤如下：,（1）先作出截交线上的特殊点。,1,2,1,2,1”,2”,34,3,4,56,6,5,（2）再作一般点。,（3）依次光滑连接各点，即得截交线的水平投影和侧面投影。,（4）补全侧面转向轮廓线。,3”,4”,5”,6”,78,7,8,32,33,平面与圆球相交，截交线的形状都是圆，但根据截平面与投影面的相对位置不同，其截交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。,球体的截切,平面与球相交,34,球体的截切,35,例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。,水平面截圆球的截交线的投影，在俯视图上为部分圆弧，在侧视图上积聚
9、为直线。,两个侧平面截圆球的截交线的投影，在侧视图上为部分圆弧，在俯视图上积聚为直线。,36,37,小 结,一、平面体的截交线一般情况下是由直线组成 的封闭的平面多边形，多边形的边是截平 面与棱面的交线。,求截交线的方法：棱线法 棱面法,二、平面截切回转体，截交线的形状取决于截 平面与被截立体轴线的相对位置。,截交线是截平面与回转体表面的共有线。,38,当截交线的投影为非圆曲线时，要先找特殊点，再补充中间点，最后光滑连接各点。注意分析平面体的棱线和回转体轮廓素线的投影。,分析截平面与被截立体对投影面的相对 位置，以确定截交线的投影特性。,求截交线,三、解题方法与步骤,空间及投影分析,分析截平面
10、与被截立体的相对位置，以 确定截交线的形状。,39,当单体被多个截平面截切时，要逐个截 平面进行截交线的分析与作图。当只有 局部被截切时，先按整体被截切求出截 交线，然后再取局部。,求复合回转体的截交线，应首先分析复 合回转体由哪些基本回转体组成以及它 们的连接关系，然后分别求出这些基本 回转体的截交线，并依次将其连接。,40,5.2 相贯线,平面体与回转体相贯,回转体与回转体相贯,多体相贯,1.相贯的形式,两立体相交叫作相贯，其表面产生的交线叫做相贯线。,本节主要讨论常用不同立体相交时其表面相贯线的投影特性及画法。,概 述,41,立体表面相交有三种形式,一种是立体的外表面相交;一种是外表面与
11、内表面相交;一种是内表面与内表面相交.,相贯线,实实相贯,实虚相贯,虚虚相贯,42,2.相贯线的主要性质,其作图实质是找出相贯的两立体表面的若干共有点的投影。,共有性,表面性,相贯线位于两立体的表面上。,相贯线是两立体表面的共有线。,封闭性,相贯线一般是封闭的空间折线（通常由直线和曲线组成）或空间曲线。,43,二、平面体与回转体相贯,1.相贯线的性质,相贯线是由若干段平面曲线(或直线)所组成的空间折线，每一段是平面体的棱面与回转体表面的交线。,2.作图方法,分析各棱面与回转体表面的相对位置，从而确 定交线的形状。,求出各棱面与回转体表面的截交线。,连接各段交线，并判断可见性。,求交线的实质是求
12、各棱面与回转面的截交线。,44,例1：补全主视图,45,46,三、回转体与回转体相贯,1.相贯线的性质,相贯线一般为光滑封闭的空间曲线，它是两回转体表面的共有线。,2.作图方法,表面取点法 利用投影的积聚性直接找点。,用辅助平面法。,一般是根据立体或给出的投影，分析两回转面的形状、大小及其轴线的相对位置，判断相贯线的形状特点和各投影的特点，从而选择适当的方法作图。,47,先找特殊点。,作图过程,补充中间点。,确定交线的弯曲趋势,确定交线的范围,48,49,50,51,52,53,54,55,56,57,如果两回转体相交，其中有一个是轴线垂直于投影面的圆柱，则相贯线在该投影面上的投影积聚在圆柱面
13、上。利用回转体表面取点的方法可以作出相贯线的其余投影。按已知曲面立体表面上点的投影求其它投影的方法，称为表面取点法。,相贯线的求法,利用表面取点法求作相贯线,58,例1.如图所示已知两圆柱的三面投影，求作它们的相贯线。,分析：由投影图可知，直径不同的两圆柱轴线垂直相交，由于大圆柱轴线垂直于W面，小圆柱轴线垂直于H面，所以，相贯线的侧面投影和水平投影为圆，只有正面投影需要求作。相贯线为前后左右对称的空间曲线。,59,（1）求特殊点：,作图步骤：,1,3,1,3,1”3”,2”,4”,24,直接定出相贯线的最左点 和最右点的三面投影。,再求出出相贯线的最前点和最后点的三面投影。,60,（2）求一般
14、点：在已知相贯线的侧面投影图上任取一重影点5、6，找出水平投影5、6，然后作出正面投影5、6。,5”,6”,5,6,56,(3)光滑连相贯线：相贯线的正面投影左右、前后对称，后面的相贯线与前面的相贯线重影，只需按顺序光滑连接前面可见部分的各点的投影，即完成作图。,61,圆柱面相贯有外表面与外表面相贯、外表面与内表面相贯和两内表面相贯，如图所示。这三种情况的相贯线的形状和作图方法是一样。,62,两圆柱相交时，相贯线的形状和位置取决于它们直径的相对大小和轴线的相对位置，表中表示两圆柱面的直径相对大小变化时对相贯线的影响。这里特别指出的是，当相贯线(也可不垂直)的两圆柱面直径相等，即公切一个球时，相
15、贯线是相互垂直的两椭圆，且椭圆所在的平面垂直于两条轴线所确定的平面。,63,当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势。,交线向大圆柱一侧弯,交线为两条平面曲线（椭圆）,64,65,66,67,68,69,70,用辅助平面法求相贯线投影的基本原理是：作一辅助平面P，使它与回转体都相交，求出P平面与两回转体的截交线，作出两回转体表面截交线的交点，即为两回转体表面的共有点，亦即相贯线上的点。,为了简化作图，选择什么位置的平面作为辅助平面是很重要的。选择辅助平面时应遵守下述原则:所选择的辅助平面与两相交立体表面所产生的截交线的投影，应该是简单易画的圆或直线。,辅助平面法求相贯线,71,辅助平面法：,根据三面
16、共点的原理，利用辅助平面求出两回转体表面上的若干共有点，从而画出相贯线的投影。,作图方法：,假想用辅助平面截切两回转体，分别得出两回转体表面的截交线。由于截交线的交点既在辅助平面内，又在两回转体表面上，因而是相贯线上的点。,辅助平面的选择原则：,使辅助平面与两回转体表面的截交线的投影简单易画，例如直线或圆。,一般选择投影面平行面,72,例1、求圆柱与半球相贯线的投影,相贯线的侧面投影积聚在圆柱的表面上。水平圆柱与半球的公共对称面平行于V面，故相贯线是一条前后对称的空间曲线。,求圆柱与半球的相贯线,73,作图步骤：,1）求特殊点：,2）求一般点：,3）判断可见性，依次光滑连接各点：,4）补画水平
17、转向轮廓线。,74,例2、求圆柱与圆锥相贯线的投影，如图所示。,分析：由投影图可知，圆柱与圆锥的轴线垂直交叉，相贯线是一条左右对称封闭的空间曲线。由于圆柱轴线垂直与侧面，所以相贯线的侧面投影已知，可以用表面取点的方法求相贯线的投影。,求圆柱与圆锥的相贯线,75,作图步骤：,1）求特殊点：,76,2）求一般点：,3）判断可见性，依次光滑连接各点：,4）补全正面转向轮廓线。,77,相贯线的特殊情况,两曲面立体相交，一般情况下相贯线为空间曲线，但特殊情况下可能是平面曲线或直线。,78,三个或三个以上的立体相交在一起，称为组合相贯。这时相贯线由若干条相贯线组合而成，结合处的点称为结合点。处理组合相贯线
18、，关键在于分析，找出有几个两两曲面立体相交在一起，从而确定其有几段相贯线结合在一起。,组合相贯线,79,80,81,82,83,84,1,2,3,例9：补全主视图,这是一个多体相贯的例子，首先分析它是由哪些基本体组成的，这些基本体是如何相贯的，然后分别进行相贯线的分析与作图。,由哪些立体组成呢？,哪两个立体相贯？,与,与,2与3,85,作图时要抓住一个关键点，相贯线汇交于这一点。,86,例10：求俯视图,87,小 结,一、本节的基本内容,立体表面相贯线的概念,求相贯线的基本方法,相贯线的性质：表面性 共有性 封闭性,二、解题过程,交线分析,空间分析：,投影分析：,是否有积聚性投影？找出相贯线的
19、已知投影，预见未知投影，从而选择解题方法。,面上找点法 辅助平面法,分析相交两立体的表面形状，形体大小及相对位置，预见交线的形状。,88,特殊点包括：最上点、最下点、最左点、最右点、最前点、最后点、轮廓线上的点等。,作图,找点,连线,检查、加深,尤其注意检查回转体轮廓素线的投影。,当相贯线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：,先找特殊点,补充若干中间点,89,三、平面体与圆柱体相贯,相贯线的产生：,求相贯线的方法：,相贯线的形状及投影：,外表面与外表面相交，外表面与内表面相交，内表面与内表面相交。,求平面体的棱面与圆柱面的截交线，依次连接起来。,相贯线为封闭的空间折线。相贯线在非积聚性投影上总是向被穿的圆柱体里面弯折，而且在两体相交区域内不应有圆柱体轮廓线的投影。,90,四、两圆柱体相贯,相贯线的产生：,求相贯线的方法：,相贯线的形状及投影：,外表面与外表面相交，外表面与内表面相交，内表面与内表面相交。,常用的方法是利用积聚性表面取点，也可用辅助平面法。,相贯线为光滑封闭的空间曲线。当两圆柱正交，小圆柱穿大圆柱时，相贯线在非积聚性投影上总是向大圆柱里弯曲，当两圆柱直径相等时，相贯线在空间为两个椭圆，其投影变为直线。在两体相交区域内不应有圆柱体轮廓线的投影。,91,五、多体相贯,每个局部都是两体相贯，首先分析它是由哪些基本体组成的，然后两两进行相贯线的分析与作图。,
