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1、4.2 常系数线性微分方程的解法,基本点,常系数线性微分方程及可化为这一类型的方程的解法-只须解一个代数方程。某些特殊的非齐次微分方程也可通过代数运算和微分运算求得它的通解。掌握：特征方程与特征根，及求常系数线性方程的通解待定系数法与拉普拉斯变换法求非齐次线性方程的特解。,4.2.1 复值函数与复值解,复值函数定义极限与连续 导数与微分,可微函数的性质,1.复值可微函数与实值可微函数一样具有线性性。,复值解：如果定义于区间a,b上的实值变量复值函数x=z(t)称为方程(4.1)的，如果,4.2.2 常系数齐次线性微分方程和欧拉方程,定义：设齐次线性微分方程中所有系数都是常数，即,解法：用欧拉待
2、定系数法求方程(4.19)的基本解组.,(3)根据特征根的不同情况分别进行讨论:,特征根是单根的情形,如果特征根有复根，由于方程(4.19)的系数为实常数，因此复根总是成对出现的。,特征根是有重根的情形,如果特征根有重复根，由于方程(4.19)的系数为实常数，因此复根总是成对出现的。,作业,P164 2()思考 p164 1,特征根是有重根的情形,证明 分两种情况：,可得,直接计算易得,因此,于是(4.19)化为,从而,y=f(x)只要找到y，就能找到x（通过f,且通过等式联系）,于是(4.26)全体n个解构成方程(4.19)的基本解组。,证明（反证法）假若这些函数线性相关，则有,证明（反证法
3、）假若这些函数线性相关，则有,这就产生了矛盾。因此证明了(4.26)全部n个解线性无关，从而构成了方程(4.19)的基本解组。,例1 求方程,例2 求方程,解 特征方程,故方程的通解为,解 特征方程,例3 求方程,例4 求方程,因此方程有四个实值解cost,tcost,sint,tsint.故通解为,解 特征方程,因此方程的通解为,解 特征方程,欧拉方程：,欧拉方程解法：,例5 求方程,例6 求方程,4.2.3 非齐次线性微分方程,求非齐次线性方程的通解的的方法：常数变易法比较系数法拉普拉斯变换法,常系数非齐次线性微分方程：,(1)比较系数法,类型I,比较系数法确定(4.33)中的待定常数：,
4、分两种情形讨论：,下面对此加以证明.,例7 求方程,例8 求方程,例9 求方程,作业,P164 2(7,10),3(1,3),4(1)思考 2(15),(1)比较系数法,类型II,将f(t)表为指数形式,根据非齐次线性微分方程的叠加原理(习题4.1第2题)，方程,与,的解之和必为方程(4.32)的解.,例10 求方程,例11 利用复数法求方程,(2)拉普拉斯变换法,拉普拉斯变换,给定微分方程,拉普拉斯变换,例12 求方程,例13 求解方程,例14求方程,例15 求解方程,作业,P164 2(17,19),3(1,3),4(2)思考 6，7,4.2.4 质点振动,(1)无阻尼自由振动(2)有阻尼自由振动(3)无阻尼强迫振动(4)有阻尼强迫振动,(1)无阻尼自由振动,(4.39)的特征方程,因此方程(4.39)的通解为,(2)有阻尼自由振动,(4.43)的特征方程,(I)小阻尼的情形：,(II)大阻尼的情形：,(III)临界阻尼的情形：,(3)无阻尼强迫振动,(4.48)的特征方程,(4)有阻尼强迫振动,(4.43)的特征方程,(I)小阻尼的情形：,(II)大阻尼的情形：,(III)临界阻尼的情形：,
