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1、平面向量的数量积及平面向量的应用,0或180,90,非零,0，180,(2)射影的定义设是a与b的夹角，则_叫作b在a方向上的射影_叫作a在b方向上的射影射影是一个实数，不是线段的长度，也不是向量当_时，它是正值；当_时，它是负值；当_时，它是0.,(90，180,90,|b|cos,|a|cos,0，90),提示：不正确求两个向量的夹角时，两向量起点应相同，向量a与b的夹角为ABC.,思考感悟,|a|b|cos,|a|cos,ab0,ab,cos_对任意两个向量a、b，有|ab|a|b|，当且仅当ab时等号成立(3)向量数量积的运算律给定向量a，b，c和实数，有abba；(交换律)(a)b(
2、ab)_；(数乘结合律)a(bc)_(分配律),a(b),abac,思考感悟2当a0时，由ab0一定有b0吗？提示：不一定ab0有三种情形；a0；b0；ab即a与b的夹角为90.,3平面向量数量积的坐标运算(1)平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_.即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,x1x2y1y2,x2y2,(4)两个向量垂直的充要条件设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20,2(原创题)若a0，ab0，则满足条件的b的个数是()A0 B1 C2 D无数个,答案：C,2(原创题)若a0，ab0，则满足条件的b的
3、个数是()A0 B1C2 D无数个解析：选D.只要ba即可，故b有无数个,答案：C,答案：C,5(2010山东卷)定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的a(m，n)，b(p，q)，令abmqnp.下面说法错误的是()A若a与b共线，则ab0BabbaC对任意的R，有(a)b(ab)D(ab)2(ab)2|a|2|b|2解析：若a与b共线，则有mqnp0，故A正确；因为bapnqm，而abmqnp，所以有abba，故B错误；因为a(m，n)，所以(a)bmqnp.又(ab)(mqnp)(a)b，故C正确；因为(ab)2(ab)2(mqnp)2(mpnq)2(m2n2)(p2q2)|a|2|
4、b|2，故D正确答案：B,答案：3,6答案：C,答案：2,9、（1）已知O是ABC内部一点，=0，且BAC=30，则AOB的面积为（）A.2B.1C.D.解析 由=0得O为ABC的重心.SAOB=SABC.又 cos 30=2，得=4.SABC=sin 30=1.SAOB=.,D,（2）（2009重庆理，4）已知|a|=1,|b|=6,a(b-a)=2，则向量a与b的夹角是（）A.B.C.D.解析 a(b-a)=ab-a2=2,ab=2+a2=3 cosa，b=a与b的夹角为.,C,、(1)(2010年高考北京卷)若a，b是非零向量，且ab，|a|b|，则函数f(x)(xab)(xba)是()
5、A一次函数且是奇函数B一次函数但不是奇函数C二次函数且是偶函数D二次函数但不是偶函数,【思路点拨】利用向量数量积的定义、性质、运算律及模的求法，即可解决,【答案】(1)A(2)D(3)B,题型二 利用平面向量的数量积解决垂直问题【例2】已知向量a=(cos(-),sin(-),b=（1）求证：ab；（2）若存在不等于0的实数k和t，使x=a+(t2+3)b,y=-ka+tb，满足xy，试求此时 的最小值.（1）可通过求ab=0证明ab.（2）由xy得xy=0，即求出关于k,t的一个方程，从而求出 的代数表达式，消去一个量k，得出关于 t的函数，从而求出最小值.,思维启迪,(1)证明 ab=co
6、s(-)cos(-)+sin(-)sin(-)=sin cos-sin cos=0.ab.（2）解 由xy得xy=0,即a+（t2+3）b（-ka+tb）=0，-ka2+（t3+3t）b2+t-k（t 2+3）ab=0，-k|a|2+（t3+3t）|b|2=0.又|a|2=1，|b|2=1，-k+t3+3t=0，k=t3+3t.故当t=时，有最小值.,探究提高（1）两个非零向量互相垂直的充要条件是它们的数量积为零.因此，可以将证两向量的垂直问题，转化为证明两个向量的数量积为零.（2）向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算，由于有关长度、角度和垂直的问题可以利用向量的数量积来解决，因此，我
7、们可以利用向量的坐标研究有关长度、角度和垂直问题.,知能迁移2 已知平面向量a=（-,）,b=(-,-1).(1)证明：ab;(2)若存在不同时为零的实数k、t,使x=a+(t2-2)b,y=-ka+t2b,且xy，试把k表示为t的函数.(1)证明 ab=(,-1)ab.,(2)解 xy,xy=0,即a+(t2-2)b（-ka+t2b）=0.展开得-ka2+t2-k(t2-2)ab+t2(t2-2)b2=0,ab=0,a2=|a|2=1,b2=|b|2=4,-k+4t2（t2-2）=0,k=f(t)=4t2(t2-2).,题型三 向量的夹角及向量模的问题【例3】（12分）已知|a|=1，ab=
8、，（a-b）（a+b）=，求：（1）a与b的夹角；（2）a-b与a+b的夹角的余弦值.解（1）（a-b）（a+b）=，|a|2-|b|2=，又|a|=1，|b|=3分 设a与b的夹角为，则cos=0 180,=45.6分,5分,（2）（a-b）2=a2-2ab+b2|a-b|=8分（a+b）2=a2+2ab+b2=1+2|a+b|=,设a-b与a+b的夹角为，10分则cos=12分,探究提高（1）求向量的夹角利用公式cosa，b=.需分别求向量的数量积和向量的模.（2）利用数量积求向量的模，可考虑以下方法.|a|2=a2=aa;|ab|2=a22ab+b2;若a=(x,y)，则|a|=.,【典
9、例4】已知a，b是两个非零向量，同时满足|a|b|ab|，求a与ab的夹角,(2009年高考江苏卷)设向量a(4cos，sin)，b(sin，4cos)，c(cos，4sin)(1)若a与b2c垂直，求tan()的值；(2)求|bc|的最大值；(3)若tantan16，求证：ab.,【思路点拨】利用两向量垂直时数量积为0的坐标运算公式可以解第一问，第二问中模的最值可以转化为三角函数的有界性求解，第三问中利用两向量平行的充要条件进行转化即可得证,【名师点评】求解|bc|时注意到向量b与向量c的模都不是定值，因而利用坐标法先求和再求模，此方法较|bc|2b2c22bc要快捷得多证明两向量平行时，可
10、以利用两向量平行的充要条件公式,向量与其它知识结合，题目新颖而精巧，既符合考查知识的“交汇处”的命题要求，又加强了对双基覆盖面的考查，特别是通过向量坐标表示的运算，利用解决平行、垂直、成角和距离等问题的同时，把问题转化为新的函数、三角或几何问题,【思路点拨】(1)根据向量加、减法的几何意义求解；(2)根据向量数量积的坐标运算，列方程求解,【名师点评】利用向量解平面几何、解析几何问题要注意向量线性运算的几何意义及数量积的坐标表示的应用,方法技巧1要熟练类似(ab)(satb)sa2(ts)abtb2的运算律(、s、tR)(如例1(1)2解决向量模的问题的关键是利用|a|2a2，将模的问题转化为数
11、量积的问题，通过数的精确计算来解决问题(如例2),方法感悟,3平面向量的数量积的运算法则把平面向量与实数紧密地联系在一起，使它们之间的相互转化得以实施因此，一方面我们要善于把向量的有关问题通过数量积转化为实数问题，利用实数的有关知识来解决问题；另一方面，也要善于把实数问题转化为向量问题，利用向量作工具来解决相关问题(如例3),1零向量：(1)0与实数0的区别，不可写错；0a00，a(a)00，a000；(2)0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系2ab0不能推出a0或b0，因为ab0ab.,失误防范,规范解答,【解】(1)法一：bc(cos1，sin)
12、，则|bc|2(cos1)2sin22(1cos).3分1cos1，0|bc|24，即0|bc|2.当cos1时，有|bc|2，向量bc的长度的最大值为2.6分法二：|b|1，|c|1，|bc|b|c|2.3分当cos1时，有bc(2,0)，即|bc|2，所以向量bc的长度的最大值为2.6分,【名师点评】(1)本题易失误的是：对向量的加法、数量积的坐标运算公式掌握不清，不会运算，导致无从下手；知道相关知识，知道解决思路，但运算出现错误，结果不准确；书写过程不详细，逻辑性不强，语句不流畅，卷面不整洁，对而不全；出现|bc|b|c|这种错误,(2)本题主要考查平面向量、三角函数的概念、三角变换和向
13、量运算等基本知识，考查基本运算能力此题将平面向量、三角函数、三角变换三部分知识进行有机的融合，综合性强学科内知识融合的问题是近年来高考考查的热点，因为这类题能很全面地考查考生综合运用知识，分析问题、解决问题的能力,(3)一般来说向量与三角融合时，都会给出向量的坐标，都会进行向量的坐标运算，因此向量的坐标运算公式是必须要记住且要会使用涉及向量平行或垂直，两个坐标关系式也要会熟练地应用此题第(1)问，就是要先通过向量的加法运算求向量bc的坐标，第(2)问涉及a(bc)，要利用两个向量垂直的坐标关系式，再结合三角知识就可以使问题得到很好的解决,(4)向量的数量积的坐标运算经常会与其他数学问题联系起来，特别是与三角函数问题相联系，解答这类问题的关键是要熟练地运用向量的数量积的坐标运算公式，通过公式，将向量问题转化为一般的三角函数问题求解,名师预测,
