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1、1.5平面直角坐标系中的距离公式,1.两点间的距离公式若两点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则有,做一做1点A(2,3)到点B(3,5)的距离是到点C(4,7)的距离的(),答案:B,2.点到直线的距离公式,点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=,答案:C,3.解析法根据图形特点,建立适当的直角坐标系,利用坐标解决有关问题,这种方法叫坐标的方法,也称为解析法.,答案:(1)(2)(3)(4),探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,探究一两点间的距离公式及应用,【例1】已知ABC三个顶点的坐标分别是A(1,-1),B(-1,3),C(3,0).(1)求证A
2、BC是直角三角形;(2)求ABC的面积.,分析:先利用两点间的距离公式求出三角形三条边的长度,根据边长之间的关系判断其形状,再用面积公式求ABC的面积.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,变式训练1已知点A(-1,2),B(2,|PA|=|PB|,并求|PA|的,值.,点P在X轴上，求P点的坐标,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,探究二点到直线的距离公式及其应用,【例2】(1)求点P(-1,2)到直线3x=2的距离;,(2)求点P(3,-2)到直线,的距离.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错
3、辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,变式训练2若点(1,a)到直线4x-3y-4=0的距离不大于3,则a的取值范围是(),A.0,5B.0,15C.-5,5,答案:C,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,探究三两条平行直线间的距离公式及应用,【例3】求与直线3x-4y-20=0平行且距离为3的直线的方程.分析:利用平行直线系方程设出直线方程再套用公式求解.,解:设所求直线方程为3x-4y+C=0(C-20),依题意有,即|C+20|=15,解得C=-5或C=-35,故所求直线的方程为3x-4y-5=0或3x-4y-35=0.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,探究一,
4、探究二,探究三,探究四,易错辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,变式训练3求直线l1:24x-10y+5=0与l2:12x-5y-4=0之间的距离.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,探究四解析法的应用,【例4】若D为ABC的边BC上的一点,且BD=2DC.求证:|AB|2+2|AC|2=3|AD|2+6|CD|2.,分析:以D为原点建立直角坐标系,设出有关点的坐标,利用两点间的距离公式求出各线段的长度,寻求关系进行证明.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,证明:以D为原点,以BC边所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.设|BC|=3a(a0),则|BD|=2
5、a,|DC|=a.于是B(-2a,0),D(0,0),C(a,0),设A(x,y).则|AB|2+2|AC|2=(x+2a)2+y2+2(x-a)2+y2=3x2+3y2+6a2;3|AD|2+6|CD|2=3(x2+y2)+6a2,因此|AB|2+2|AC|2=3|AD|2+6|CD|2.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,变式训练4ABD和BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形,用坐标法证明|AE|=|CD|.,证明:以AC所在的直线为x轴,过点B且垂直于AC的直线为y轴,建立如图所示的坐标系.设ABD和BCE的边长分别为a,c,探究一,探
6、究二,探究三,探究四,易错辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,未考虑直线斜率不存在的情形而致误,典例求经过点A(1,2)且原点到直线的距离等于1的直线方程.错解:所求直线过点A(1,2),可设直线方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0.原点到此直线的距离为1,所求直线的方程为y-2=,(x-1),即3x-4y+5=0.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,正解:当直线过点A(1,2)且垂直于x轴时,直线方程为x=1,原点(0,0)到直线的距离等于1,满足题意.当直线过点A(1,2)且与x轴不垂直时,由题意可设直线方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0.
7、原点到此直线的距离等于1,即3x-4y+5=0.综上所述,所求直线的方程为x=1或3x-4y+5=0.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,1 2 3 4 5,1.若点A(1,3)与点B(m,7)之间的距离等于5,那么实数m的值为()A.4B.-2C.-4或2D.4或-2,答案:D,1 2 3 4 5,2.已知点A(-3,-4)和点B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值等于(),答案:C,1 2 3 4 5,1 2 3 4 5,4.已知ABC的三个顶点的坐标为,B(0,1),C(0,3),则BC边上,的高线AD的长为.,解析:高线AD的长即为点A到直线BC的距离,由已知得BC的方程为x=0,因此点A到BC的距离为,1 2 3 4 5,5已知AO是ABC中BC边上的中线,证明:|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2).,证明:以O为原点,BC所在的直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系.,设A(b,c),B(-a,0),C(a,0).由两点间的距离公式,得|AB|2+|AC|2=(b+a)2+c2+(b-a)2+c2=2(a2+b2+c2),|AO|2+|OC|2=b2+c2+a2,所以|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2).,
