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1、1,第9章 弹性力学平面问题的有限元法,9.1 弹性力学平面问题的基本方程9.2 单元位移函数9.3 单元载荷移置9.4 单元刚度矩阵9.5 单元刚度矩阵的性质与物理意义9.6 整体刚度矩阵的特点与存储方法9.7 约束条件的处理9.8 整体分析9.9 方程组解法,本章包括以下的内容：,2,9.1 弹性力学平面问题的基本方程,弹性力学:是研究弹性体（变形体）在约束和外载荷作用下应力和变形分布规律的一门学科。,方法:在弹性力学中针对微小的单元体（dxdydz）建立基本方程，把复杂形状弹性体的受力和变形分析问题归结为偏微分方程组的边值问题。,弹性力学的基本方程:平衡方程、几何方程、物理方程。,有限元
2、方法所处理的对象:任意变形体,变形体:即物体内任意两点之间可发生相对移动。,3,1）连续，2）均匀，3）各向同性，4）完全弹性，5）小变形。,5)小变形假定:物体变形远小于物体的几何尺寸，在建立方程时，可以略去高阶小量(二阶以上)。,1)物体内的物质连续性假定:物质无空隙，可用连续函数来描述。,2)物体内的物质均匀性假定:物体内各个位置的物质具有相同特性。,3)物体内的物质(力学)特性各向同性假定:物体内同一位置的物质在各个方向上具有相同特性。,4)线性弹性假定:物体的变形与外力作用的关系是线性的，外力去除后，物体可恢复原状。,弹性力学的基本假定如下：,4,基本变量,弹性力学中的基本变量为体力
3、、面力、应力、位移、应变,1）体力：是分布在物体体积内部的力，例如重力和惯性力。,2）面力：是作用在物体表面上的力，例如两物体间接触力、流体压力。,3）应力：物体受到约束和外力作用，其内部将产生内力。物体内某一点的内力就是应力。,应力S在其作用截面上的法向分量称为正应力，用表示；在作用截面上的切向分量称为剪应力，用表示。,外力,5,外力,内力,内力,6,将每个面上的应力分解为一个正应力和两个剪应力，分别与三个坐标轴平行。,研究受外力作用的物体中某点的应力状态,单元体应力分量,问题：1）、下标表示？2）、剪应力互等关系？,7,剪应力互等：作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的剪应力是互等
4、的（大小、方向）。,物体内任意一点的应力状态可以用六个独立的应力分量,来表示。,8,4）位移:包括刚体位移、相对位移。由于物体受力后发生了变形，物体内个点间的相对移动。用位移在x，y，z坐标轴上的投影u、v、w表示。,5）应变:物体的形状改变可以归结为长度和角度的改变。,各线段的单位长度的伸缩，称为正应变，用表示。,两个垂直线段之间的直角的改变，用弧度表示，称为剪应变，用表示。,与应力定义类似，物体内任意一点的变形，可以用,六个应变分量表示。,9,9.1.3 平衡方程（应力体力之间关系）,弹性力学中，在物体中取出一个微小单元体建立平衡方程。平衡方程代表了力的平衡关系，建立了应力分量和体力分量之
5、间的关系。对于平面问题，在物体内的任意一点有，,10,三维应力情况下的平衡微分方程,若：,则平面问题,11,9.1.4 几何方程（应变位移关系）,对于平面问题，总的变形可分解为长度变化和角度变化：,由几何方程可以得到位移和变形之间的关系。,定义x方向的相对伸长量,定义y方向的相对伸长量,12,定义夹角的变化,则定义夹角的总变化为,则平面问题的几何变形方程为:,13,3D问题的几何变形方程为:,14,变形协调方程（变形连续方程、相容方程）,描述六个应变分量之间的关系。,15,9.1.5 物理方程（应力与应变关系，本构方程）,对弹性体，应力-应变线性关系广义虎克定理：,16,虚位移原理,若弹性体在
6、已知的面力和体力的作用下处于平衡状态，那么使弹性体产生虚位移时，所有作用在弹性体上的外力在虚位移上所做的功就等于弹性体所具有的虚应变能。,同样当虚位移发生时，在弹性体单位体积内应力在相应的虚应变上所作的功为,17,平面应力和平面应变问题,弹性体在满足一定条件时，其变形和应力的分布规律可以用在某一平面内的变形和应力的分布规律来代替，这类问题称为平面问题。,平面应变问题,平面问题,平面应力问题,平面应力问题,设有很薄的等厚薄板（某一方向的尺寸较另外两个方向尺寸小很多），只在板边上受到平行于板面并且不沿厚度变化的面力，体力也平行于板面且不沿厚度变化。,即：当结构满足以下两个条件时，则认为是平面应力问
7、题。(1)几何条件：厚度尺寸远远小于截面尺寸，即结构形状呈薄板形。(2)载荷条件：载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布，板平面不受任何外力作用。,18,设板的厚度为t，在板面上：,由于平板很薄，外力不沿厚度变化，因此在整块板上有，,工程中的许多结构都可作为平面应力问题来处理，如链传动中的链片、发动机中的连杆、内燃机的飞轮、轧机的机架和齿宽较小的直齿圆柱齿轮等。,19,20,2）平面应变问题,设有很长的柱形体（长度远大于它的横向尺寸），支承情况不沿长度变化，在柱面上受到平行于横截面（z轴）而且不沿长度变化的面力，体力也如此分布。,凡满足以下两个条件的结构可视为平面应变问题。(1)几何条件:沿厚度
8、方向的截面形状和大小相同且厚度尺寸远远大于截面尺寸，即结构呈等截面的细长形。(2)载荷条件:载荷垂直于厚度方向(平行横截面)且沿厚度均匀分布，两个端面不受力。,21,以柱体的任一横截面为XY平面，任一纵线为Z轴。假定该柱体为无限长，则任一截面都可以看作对称面。由对称性，,工程中滚针轴承的滚针、轧钢机的轧辊、水坝、受内压管道、齿宽较大的直齿轮等都可按平面应变问题来处理。,位移分量都不沿z方向变化。,22,1、平面应力问题中（Z轴垂直于该平面），诸应力分量中为零的是（）。,2、在平面应力问题中，沿板厚方向（）。A 应变为零，但应力不为零 B 应力为零，但应变不为零C 应力、应变都为零 D 应变、应
9、力都不为零,3、从作图的结构体中取出单元体进行应力状态分析，正确的是(),A.x=y=0,xy0B.xy=yz=0,x=y0C.yz=xz=0,z=0D.x=y0,xy=0,A x,y，z B xy,xz,yz C x,y,xy D z,yz,xz,23,弹性力学平面问题的物理方程由广义虎克定律得到。,1）平面应力问题的物理方程,24,令：D=C-1,D称为弹性矩阵。对称矩阵，与材料性能参数E、有关。,由应变求应力的弹性方程。,25,2）平面应变问题的物理方程,26,27,平面问题的基本解法,平面问题的未知变量,平衡方程,几何方程,物理方程,平面应力,平面应变,28,一、应力法：应力作为基本未
10、知量,位移,应变,应力,几何方程,物理方程,应力,应变,位移,物理方程,几何方程,求解,二、位移法：位移分量作为基本未知量,求解,弹性力学问题的基本解法,外力,平衡微分方程,力,平衡微分方程,29,9.2 单元位移函数,9.2.1 平面问题的3节点三角形单元,3结点三角形单元节点i、j、m的坐标分别为,节点位移分别为,逆时针方向编码为正,30,节点位移,单元内位移分量,应变,应力,节点力,几何方程,物理方程,平衡方程,K,?,怎样描述位移的变化规律？,位移模式,31,9.2.1 位移模式 由节点位移求内部任一点位移,弹性体内实际的位移分布可以用单元内的位移分布函数来分块近似地表示。在单元内的位
11、移变化可以假定一个函数来表示，这个函数称为单元位移函数、或单元位移模式。,（单元位移和节点位移之间的关系）,假设单元内任一点P(x,y)的位移u,v为坐标的某种函数u(x,y)、v(x,y),将3个结点上的坐标和位移分量代入公式，就可以将六个待定系数用节点坐标和位移分量表示出来。,32,将水平位移分量和节点坐标公式中的第一式，,（下标i，j，m轮换）,其中:,33,同理:,令,（下标i，j，m轮换）,Ni 称为形态函数,N称为形态矩阵,34,单元内的位移函数用节点位移表示，可以简写成，,单元的结点位移记为,单元内的位移记为,35,选择单元位移函数应满足以下条件：,1）位移模式必须反映单元的刚体
12、位移：常数项2）位移模式必须反映单元的常量应变：线性3）相邻单元在公共边界上的位移连续，单元之间不能重叠，也不能脱离。即位移函数在单元之间连续，称为协调性条件。,满足1）、2）条原则的称为完备性单元。同时满足三条原则的称为完备协调单元。,36,形态函数N(x,y)具有以下性质：,1）形态函数在单元节点上形态函数的值，具有“本点为1，它点为0”。,2）形态函数在单元中任一点，三个形态函数之和为1。,37,3）三角形单元任意一边上的形函数，仅与该边的两端节点坐标有关，而与其他节点坐标无关。,例如：在 ij 边上（即i，j节点），有,38,例题1：如图所示等腰三角形单元，求其形态矩阵N。,39,三角
13、形积为,形态函数为,形态矩阵为,40,例2、证明：对平面三角形单元形函数存在下列关系,41,节点位移,单元内位移分量,应变,应力,节点力,几何方程,物理方程,平衡方程,K,位移模式,N,42,9.3 单元刚度矩阵,用节点位移表示单元内部各点位移：,1 由节点位移求应变,43,记为,，B矩阵称为几何矩阵。,B矩阵可以表示为分块矩阵的形式,由几何方程可以得到单元的应变表达式,44,关于几何矩阵,1)几何矩阵中每一元素 bi 的物理意义：单元某一节点有单位位移且其它节点位移皆为0时，所引起单元内部的应变分布。,2)几何矩阵中各元素为常数（单元位移确定后，节点坐标值为定值），因而应变分量为常量，平面三
14、角形单元为常应变单元。（这是由于采用线性位移函数的结果）。,1、推导杆单元的形态函数、形态矩阵、几何矩阵。,练习：,x,45,46,2、已知三角形单元的形态矩阵为,根据形态矩阵求三角形单元的几何矩阵,47,2 由应变求应力,由物理方程，可以得到单元的应力表达式,D称为弹性矩阵，对于平面应力问题,对于平面应变问题,48,3 由节点位移求应力,定义,为应力矩阵。,将应力矩阵分块表示为,关于应力矩阵,1)应力矩阵中每一元素的物理意义：单元某一节点有单位位移且其它节点位移皆为0时，所引起单元内部的应力分布。,2)应力矩阵中各元素为常数，因而应力分量为常量，平面三角形单元为常应力单元。,49,4 由应力
15、求节点力根据虚位移原理,50,5 由节点位移求节点力,单元刚度矩阵,51,例题2：如图所示等腰三角形单元，求其刚度矩阵K，设=0。,解：1）求B,52,2）求D,3）求S,53,4）求K,54,9.4 单元刚度矩阵的性质与物理意义,（一）单元刚度矩阵的物理意义,假设单元的节点位移如下：,由,，得到节点力如下：,Kix,ix表示i节点在水平方向产生单位位移时，在节点i的水平方向上需要施加的节点力。,Kiy,ix表示i节点在水平方向产生单位位移时，在节点i的垂直方向上需要施加的节点力。,因此单元刚度矩阵中每个元素都可以理解为刚度系数，即在结点产生单位位移时需要施加的力。,55,（二）单元刚度矩阵的
16、性质,1)对称性,2)奇异性,3)分块性,56,9.5 整体刚度矩阵的形成,基本方法是刚度集成法，由单元刚度矩阵中的元素累加得到整体刚度矩阵中的元素，即整体刚度矩阵是单元刚度矩阵的集成。,如何得到整体刚度矩阵？,刚度集成法即结构中的节点力是相关单元节点力的叠加，整体刚度矩阵的元素是相关单元的单元刚度矩阵元素的集成。节点3在整体刚度矩阵的对应系数，应该是单元（1）、（3）、（4）中对应系数的集成。,57,单元(1):i，j，m,单元的局部码与整体的总码的对应关系：,1，2，3,单元(2):i，j，m,2，4，5,单元(3):i，j，m,2，5，3,单元(4):i，j，m,3，5，6,58,1,2
17、,3,1,2,3,2,3,2,4,5,2,4,5,5,3,2,5,3,5,6,3,5,6,59,1 2 3 4 5 6,123456,整体刚度矩阵如下所示：,总码,60,刚度矩阵集成的规则,确定整体结构节点数n，整体刚度矩阵为2nx2n阶矩阵，整体刚度矩阵分块矩阵为nxn阶矩阵。,确定局部码与总码的对应关系，i、j、m 总码位置。,将各单元刚度矩阵中的每个子矩阵Kije放到整体刚度矩阵的对应位置。,出现在同一位置上的分块矩阵，迭加成整体刚度矩阵中的一个子矩阵。,61,9.6 整体刚度矩阵的特点与存储方法,1、整体刚度矩阵的特点：,对称性,稀疏性,非零系数带形分布,对称性：,利用对称性，只保存整
18、体矩阵上三角部分的系数即可。,62,稀疏性:,在整体刚度矩阵中，存在大量的零元素，非零元素的个数只占较小的部分。这是由结构体存在大量互不相关的节点造成的。,63,整体刚度矩阵的非零元素分布在以对角线为中心的带形区域内，这种矩阵称为带形矩阵。,在包括对角线元素的半个带形区域内，每行具有的元素个数叫做半带宽。,64,2D连续体问题总体刚度矩阵的半带宽:,65,9.7 约束条件的处理,位移边界条件在大多数情形下有两类:,第一类:零位移边界,第二类:给定具体数值的 位移边界,66,第一类:零位移边界,方法:对角元素置“1”法,不变,不变,不变,不变,67,第二类:给定具体数值的位移边界,方法:对角元素
19、乘大数法,68,9.8 单元等效节点载荷列阵,1、体积分布力,69,2、分布面力,70,71,72,3、集中力,73,节点载荷列阵的集成,单元(1),1,2,3,4,5,6,单元(2),1,2,3,4,5,6,单元(3),1,2,3,4,5,6,单元(4),1,2,3,4,5,6,74,结构的平衡方程,75,9.9 应用,1、如图所示结构为一平面应力问题离散化后的结构图，用有限元法计算节点位移、单元应变、单元应力。（=0,t=1）,解：,载荷P作用在节点1上，边界条件：,u1=u2=u4=v4=v5=v6=0,1)单元分析：,76,由于=0,77,2)整体分析：,对称,78,对称,79,3)单
20、元应变计算：,80,4)单元应力计算：,81,5)单元节点力计算：,82,2、等腰直角三角形单元ABC，AC=BC=10mm，厚度为5mm，已知材料弹性模量E2x105N/mm2，=0。如A点沿x方向位移为uA=2x10-5mm，B点沿y方向位移为vB=10-5mm，而C点的位移为0。试计算此单元3个节点的节点力。,83,3、如图所示一厚度为t的等厚度矩形薄板。该矩形薄板一端固定，一端承受均匀拉力q(吨/米)，长为2米，宽为1米，材料弹性常数为E和(=1/3)。在不计自重的情况下，试用有限元法求其应力分量。,84,85,86,4、如图所示二杆平面桁架，杆长为L，弹性模量为E，杆截面积为A，试求
21、（1）整体刚度矩阵；（2）在1、2节点处引入支承条件，写出总体平衡方程。,87,5、三角形单元的面积为1，厚度为1，已知三角形单元的形态矩阵为,利用单元的形态矩阵求三角形单元的刚度矩阵。,88,1、在一平面桁架中，已知节点3处铅直方向位移为零。若用划行划列法引入支承条件，则应划去总体刚度矩阵中的（）第3行和第3列 第6行和第6列 第3行和第6列 第6行和第3列 2、对于每个节点具有三个位移分量的杆单元，两节点局部码为1，2，总码为4和1。其单元刚度矩阵中的元素k32应放入总体刚度矩阵K的（）第3行第2列上 第4行第1列上第9行第6列上 第12行第11列上 3、在一平面刚架中共有9个杆单元，12
22、个节点，则其总体刚度矩阵K是（）9阶方阵 12阶方阵 36阶方阵 912阶矩阵,4、若把平面应力问题的弹性矩阵改为平面应变问题的弹性矩阵只需将（）E换成E/(1-2),换成/(1-2)E换成E/(1-2),换成/(1-)E换成E/(1-),换成/(1-2)E换成E/(1-),换成/(1-),89,5、刚架杆单元与平面三角形单元（）单元刚度矩阵阶数不同 局部坐标系的维数不同 无任何不同 节点载荷和位移分量数不同,6、图示平面结构的总体刚度矩阵和竖带矩阵K*的元素总数分别是（）。,400和200 400和160 484和200 484和160,7、材料性质均匀的三节点三角形单元，其内部各点（）应力
23、和应变均不随位置变化 应力和应变均随位置变化 应力不随位置变化，应变随位置变化 应力随位置变化，应变不随位置变化,90,8、描述位移与应变关系的方程称（）弹性方程 几何方程 平衡方程 虚功方程9、在以平面刚架中，支承节点4的水平方向位移为已知，若用置大数法引入支承条件，则应将总体刚度矩阵中的（）第4行和第4列上的元素换为大数A 第4行和第4列上的所有元素换为大数A 第10行、第10列上的元素换为大数A 第10行、第10列上的所有元素换为大数A10、图示的四根杆组成的平面刚架结构，用杆单元进行有限元分析，单元和节点的划分如图示，则总体刚度矩阵的大小为（）8x8阶矩阵 10 x10阶矩阵 12x12阶矩阵 16x16阶矩阵,91,11、在弹性力学平面刚架问题中，已知相邻节点总码的最大差值为5，则半宽值为()10 18 15 1212、图示平面应力问题的结构中,单元刚度矩阵（）KI=KIII,KII=KIV,但KIKII KI=KII,KIII=KIV,但KIKIII KIKIIKIIIKIV KI=KII=KIII=KIV,
