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1、微分方程的稳定性理论,1.微分方程模型在 模型分析 中的主要问题之一 稳定性分析,用微分方程方法建立的动态模型问题，模型分析 中的一个重要问题是：,（1）微分方程模型的稳定性及其实际意义,当时间充分长后，动态过程的 变化趋势 是什么？,微分方程模型中,方程(组)+初始条件 解,初始条件的作用在于确定解,它的微小变化会产生不同的 解，换言之，对解的发展性态变化,往往具有影响作用.,问题：这种对解的发展性态的影响作用是 长期存在 的,还是当时间充分大以后,影响作用会“消逝”?,常微分方程：,有时候,初始条件的微小变化会导致解的性态随时间变大后,产生显著的差异,这时称 系统是不稳定的;,有时候,初始
2、条件变化导致解的性态差异会随时间变大后而消失,这时称该 系统是稳定 的.,在实际问题中,初始状态不能精确地而只能近似地确定,所以稳定性问题的研究对于用微分方程方法建立的模型具有十分重要的实际意义。,也就是说，在具有稳定性特征的微分方程模型中,长远来看,最终发展结果与精确的初始状态究竟如何,两者之间没有多大关系,初始状态刻画得精确不精确是无关紧要的。,微分方程稳定性理论 可以使我们在很多情况下不求解方程便可直接得到微分方程模型描绘的系统是 稳定 或 不稳定 的结论。,研究者对于微分方程稳定性理论的研究兴趣往往大于该方程解有无解析表达式的研究兴趣。,在数学建模竞赛中，很多问题中涉及到的微分方程是一
3、类称为 自治系统 的方程。,自治方程 是指方程中不显含自变量 t 的微分方程，例如,自治方程 中的解随时间不断变大如有稳定变化趋势，则这个解的 最终趋势值 只能是该方程的 平衡点。,的 平衡点 是指代数方程,的根（可能不止一个根）；,的 平衡点 是指代数方程组,的解（可能不止一组解）。,如果存在某个邻域，使微分方程的解 x(t)从这个邻域内的某个点 x(0)出发，满足:,则称微分方程 的 平衡点 是 稳定 的；,如果存在某个邻域，使微分方程的解 x(t)，y(t)从这个邻域内的某个点 x(0)，y(0)出发，满足:,则称微分方程 的 平衡点 是 稳定 的。,上述 一阶自治方程 和 二阶自治方程
4、组 解的 稳定性理论 结果可简介如下：,非线性方程(一个方程)情况,形式:x(t)=f(x(t),平衡点:解 f(x)=0,得 x=x0.注意:有时该方程的根不止一个.,稳定意义:当 t 时,若 x x0,则称 x0 是稳定的 平衡点;否则称 x0 是不稳定平衡点.,由此,当 f(x0)0 时,x x0;当 f(x0)0 时,x+.,(c)一阶非线性问题的稳定性结论:根据有关数学理论,一阶非线性问题的稳定性在非临界情况下，与一阶 线性问题结论完全相同.,.,研究方法:(a)作 f(x)的线性替代(利用一元函数的泰勒展开式):f(x)f(x0)(x-x0)+f(x0)=f(x0)(x-x0);,
5、(b)线性问题研究:求解 x=f(x0)(x x0),解得,非线性方程(两个方程)组情况,平衡点:解 f(x,y)=0,得 x=x 0 g(x,y)=0,y=y 0.,y(t)=g(x(t),y(t),形式:x(t)=f(x(t),y(t),稳定意义:当 t+时,如 x x0,y y0,则称(x0,y0)是稳定的平衡点;否则称(x0,y0)是不稳定平衡点.,上面的方程组有时可能不止一组解.,研究方法:作 f(x,y)与 g(x,y)的线性替代（利用二元函数 的泰勒展开式）:,f(x,y)fx(x0,y0)(x-x0)+f y(x0,y0)(y-y0);g(x,y)g x(x0,y0)(x-x0
6、)+g y(x0,y0)(y-y0).,(b)线性问题研究:记 a1=f x(x0,y0),a2=f y(x0,y0),b1=g x(x0,y0),b2=g y(x0,y0),p=-(a1+b2),q=a1 b2-a2 b1,并无妨设 x0=0,y0=0;,求解,其中 1,2 为特征方程 r 2+p r+q=0 的两根.,这里 1+2=-p,1 2=q,或写为,(1)当 p 0,q 0 时,如果 p2 4q 0，由 1+2=-p,1 2=q,推得 1 与 2 均为负数，,故当 t+时，e 1 t 与 e 2 t 均趋于零，系统稳定;,如果 p2 4q 0，由 1+2=-p,k=i 中 为负数（
7、k=1，2），,故当 t+时，ek t=et（sint cost）（k=1，2）也均趋于零，系统仍为稳定的；,(2)当 p 0 时,如果 p2 4q 0，由 1+2=-p,可推出 1 与 2 中至少有一个为正数，,故当 t+时，e1 t 与 e2 t 中至少有一个 趋于+，系统不稳定;,如果 p2 4q 0，仍由 1+2=-p,可推出 k=i（k=1，2）中 为正数，,故当 t+时,ek t=et（sint cost）（k=1，2）趋于+，仍可推出 系统不稳定。,(3)当 q 0 时,此时必定有 p2 4q 0，,此时 系统也必不稳定。,由 1 2=q,可推出 1 与 2 中至少有一个为 正数，,故当 t+时，e1 t 与 e2 t 中至少有一个趋于+，,当 p 0,q 0 时,相应的平衡点是稳定的；,当 p 0 或当 q 0 时,相应的平衡点是不稳定的。,综述之，在线性方程组非临界（p 0)情况中,(C)非线性问题的 稳定性结论:,(i)若相应的线性问题是 稳定 的,则对应非线性问题也 是 稳定 的；,(ii)若相应的线性问题是 不稳定 的,则对应非线性问题 也是 不稳定 的.,在非临界情况下（p 0)，,
