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1、1,第六章 复习课,2,1.元素法的步骤:,任取一小区间,则,相应于该区间上的微分元素为,定积分区间,选积分变量,第六节 定积分的几何应用,3,其面积元素为：,则面积为,2.定积分在几何上的应用,曲边梯形的面积:,直角坐标系情形,4,其面积元素为：,则面积为,曲边梯形的面积:,5,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,（相当于定积分的换元）,参数方程情形,6,围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体的体积.,由连续曲线,直线x=a、x=b(ab)及x轴所,(1).,f(x),a,b,x,.,3.求旋转体的体积,7,(2).旋转体是由连续曲线,直线,一周而成的立体的体积.,8,1、,解,依
2、题意得:,9,2、,解,选积分变量为x,则积分区间为0,1,体积元素为,则所求得体积为:,10,A,B,解,11,A,B,依题意有,12,例4：计算由曲线,的体积。,解:体积为,直线x=1,x=2及x轴,所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体,13,例5：设位于曲线,下方，x轴上方的无界区域为G，求G绕x轴旋转,一周所得空间区域的体积。,解:体积为,令,14,6.,则得,15,6.,y,o,1,M,2,x,面积元素为,积分变量取y,则,P,16,6.,y,1,M,2,x,(2)积分变量取x,则,17,解,18,另解,19,求星形线,绕x轴旋转构成的,旋转体的体积.,例8,解,由公式,所求的体
3、积为,20,解,求星形线,绕x轴旋转构成的,旋转体的体积.,例8,旋转体的体积为,21,例9,解,22,例10,解,23,a,b,f(x),y,x,0,求旋转体体积 柱壳法,曲边梯形 y=f(x)，,x,dx,x=a,x=b,y=0 绕 y 轴,生成的旋转的体积.,24,x,a,b,y,x,0,内表面积,.,dx,dV=,2 x f(x)dx,f(x),求旋转体体积 柱壳法,曲边梯形 y=f(x)，,x=a,x=b,y=0 绕 y 轴,生成的旋转的体积.,25,b,y,x,0,a,dV=,2 x f(x)dx,f(x),.,求旋转体体积 柱壳法,曲边梯形 y=f(x)，,x=a,x=b,y=0
4、 绕 y 轴,生成的旋转的体积.,26,b,y,x,0,a,dV=,2 x f(x)dx,f(x),0,.,求旋转体体积 柱壳法,曲边梯形 y=f(x)，,x=a,x=b,y=0 绕 y 轴,生成的旋转的体积.,27,0,y,0,x,b,x,a,dx,dV=,2 x f(x)dx,f(x),0,.,求旋转体体积 柱壳法,曲边梯形 y=f(x)，,x=a,x=b,y=0 绕 y 轴,生成的旋转的体积.,28,f(x),Y,x,0,b,dx,0,y,z,.,a,.,dV=,2 x f(x)dx,29,围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体的体积.,求由连续曲线,直线x=a、x=b(ab)及x轴所,小结.,类似地，,如果旋转体是由连续曲线,直线,及,轴所围成的曲边梯形绕,轴旋转一周,而成的立体的体积.,30,柱壳体积,柱面面积,1.计算摆线,的一拱与 y0,所围成的图形分别y 轴旋转而成的立体体积.,31,解,取积分变量为y,P,体积元素为,求由曲线,及y=0所围成的图形绕直线,x=3旋转构成的旋转体的体积.,2.,32,3.求圆 绕 轴旋转一周所成的旋转体(环体)的体积(图7-15)。,解:将圆的方程改写为,则右半圆的方程为,左半圆的方程为,33,解 环体是这两个半圆在 轴的区间 上所围成的曲边梯形绕轴旋转所得体积之差，于是得体积微元为：从而由公式可得环体体积为：,
