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1、排列、组合及其应用,按照一定的顺序排成一列,合成一组,所有不同排列的个数,所有不同组合的个数,n！,1,如何区分某一问题是排列问题还是组合问题？【提示】区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键是看所选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则是组合问题.,1从1,2,3,4,5,6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有()A9个 B24个C36个 D54个,【答案】D,2某外商计划在5个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有()A60种 B70种C80种 D120
2、种,【答案】D,3把3盆不同的兰花和4盆不同的一玫瑰花摆放在右图图案中的1,2,3,4,5,6,7所示的位置上，其中三盆兰花不能放在一条直线上，则不同的摆放方法为()A2 680种B4 320种C4 920种 D5 140种,【答案】B,4如图，湖中有四个小岛，要在这四个小岛间建三座小桥，使游人可以到达每个小岛，则不同的建法有_种,【答案】16,5从1,2,3,4,5这五个数字中，任取三个组成无重复数字的三位数，若三个数字中有2和3，则2排在3的前面，这样的三位数共有_个【解析】间接法，组成的三位数减去2排在3后面的情况，即A 35 951.【答案】51,【思路点拨】利用排列数和组合数的公式及
3、意义求解，(2)中注意n的取值范围,(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻；(6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人,【思路点拨】无限制条件的排列问题，直接利用排列数公式即可但要看清是全排列还是选排列；有限制条件的排列问题，常见类型是“在与不在”、“邻与不邻”问题，可分别用相应方法,求排列应用题的主要方法有：(1)直接法：把符合条件的排列数直接列式计算(2)特殊元素(或位置)优先安排的方法即先排特殊元素或特殊位置(3)排列、组合混合问题先选后排的方法,(4)相邻问题捆绑处理的方法即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列(5)不
4、相邻问题插空处理的方法即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中,(6)分排问题直排处理的方法(7)“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法(8)定序问题除法处理的方法即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列(9)正难则反，等价转化的方法,1由四个不同数字，1,2,4，x组成无重复数字的三位数(1)若x5，其中能被5整除的共有多少个？(2)若x9，其中能被3整除的共有多少个？(3)若x0，其中的偶数共有多少个？(4)若所有这些三位数的各位数字之总和是252，求x.,(5)选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生
5、担任，班长必须由女生担任【思路点拨】(1)(2)属于组合问题，可用直接法；(3)(4)属于组合问题可用间接法；(5)属于先选后排问题应分步完成,组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取,(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理,2某旅游团要从8个风景点中选出两个风景点作为当天的游览地，满足下面条件的选法各有多少
6、种？(1)甲、乙两个风景点至少选一个；(2)甲、乙两个风景点至多选一个；(3)甲、乙两个风景点必须选一个且只能选一个,(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本,【思路点拨】这是一个分配问题，解题的关键是搞清事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏,均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数；还要充分考虑到是否与顺序有关，有
7、序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数,1(2009年全国)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有()A6种 B12种C30种 D36种,【答案】C,2将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为()A18 B24C30 D36,【答案】C,3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是()A360 B288C216 D96,【答案】B,从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有
8、，则不同的组队方案共有()A70种 B80种C100种 D140种,【答案】A,3甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是_(用数字作答),【答案】336,例1 将4个不同的小球放入4个不同的盒子里，求在下列条件下各有多少种不同的放法.（1）恰有一个盒子里放2个球；（2）恰有两个盒子是空盒.,典例讲评,例2 某4个男生和3个女生站成一排照相，其中有且只有两个女生相邻的站法共有多少种？,典例讲评,例3 从6名短跑运动员中选4人参加4100m接力赛，如果甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，求共有多少种不同的参赛方案？,典例讲评,例4 编号为1，2，3，4，5的5个人分别坐在编号为1，2，3，4，5的5个座位上，求至多有两个人的编号与座位号一致的坐法种数.,典例讲评,例5 由0到9这10个数字组成六位数，要求其中恰有三个数位上的数字是5，其它无重复数字，求这样的六位数共有多少个？,典例讲评,例6 将6本不同的书全部分发给3人，每人至少1本，求共有多少种不同的分法？,典例讲评,
