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1、探索直线与双曲线的位置关系,福鼎第四中学 数学组,一设计理念,根据现代教学理念，数学学习不是学生对知识的记忆和被动的接受，而是学生在某问题情境下自主探索、合作交流、提出问题、分析问题、解决问题的体验过程，从而促进学生自主全面、可持续的发展。在本节课教学中，我力求通过问题情境，提供学生研究和探讨的时间和空间，让学生充分经历“学数学”的过程，促使学生在自主中求知，在合作中求取，在探究中求发展。,二教材分析,1教材的地位和作用 本节课是在学习了双曲线及其标准方程和几何性质基础上，进一步来研究学习双曲线与直线的关系。在探索两者关系的同时，不仅体现了直线与双曲线的定义，方程及几何性质，也集中体现了函数、
2、不等式的有关性质知识。同时培养了学生合情推理能力、空间想象能力，及数形结合思想。又由于直线与双曲线的位置关系的研究是在学习了直线和圆、椭圆的关系基础上来研究的，所以在推导直线与双曲线相关知识的过程中所涉及到的推理思维与前面推导思维基本一致。这一点充分体现了学习知识的迁移能力。,2教学目标 依据教学大纲及以人为本的教育观着眼，我把教学目标分为如下几点：（1）知识目标:掌握直线的斜率对其与双曲线位置关系的影响。学会用根的判别式判断两者位置关系情况。初步掌握弦长公式和中点弦有关知识。（2）能力目标:培养学生观察、发现、分析、探索知识能力。领悟培养数形结合和化归等思想。（3）情感目标:通过问题情境，培
3、养学生自主参与意识，及合作精神，激发学生探索数学的兴趣，体验数学学习的过程和成功后的喜悦。,3教学的重难点 根据现代教育理念，学生能力的培养必须结合探究过程的有意渗透。结合教材特点，我认为本节课的重难点是：重点：如何创造问题情境，引导学生探究直线与双曲线相关知识。难点：应用数学思维及直线与双曲线位置关系及弦长公式等知识来解决数学问题。,4学情分析对于认知主体学生在能力上：他们已经学习了直线与圆、椭圆位置关系及相关知识的推导及运用过程，但大部分还停留在经验基础上，主动迁移、主动重组、整合能力较弱；在情感上：已初步形成小组自主合作、探究的学习方式。,三教法分析,教学方法：自主合作探究式提倡：自主探
4、索、民主开发、合作交流、师生对话在此同时借助多媒体，充分发挥其形象、生动、快捷的作用，活跃课堂气氛，提高课堂效率。,四教法流程,创设情境引入课题,动态演示深化理解,知识运用引出问题,解决问题探索新知,自主迁移获得知识,实例分析巩固新知,回顾体验知识整合,创设情境引入课题,问题一：给你一个木棒，你在双曲线图形中能摆出几种位置关系？初步结论：,1 相离没有交点,2 相切一个交点,3 相交,一个交点,两个交点,交点在同一支上,交点分别在两支上,设计意图,引起学生，对直线与双曲线位置关系的思考，使学生自主动手参与问题的发现过程，并在这过程中在培养了学生发散性思维的同时，又渗透了数形结合思想。,动态演示
5、深化理解,问题二：观察下列图形的演示过程，思考每种位置关系下，直线的斜率范围，并填写下列表格。设直线方程为ykxm（m0），双曲方程为,设计意图,相离（无交点）相切（只有一个交点）两个交点（交点在同一支上）,利用直观的动态演示，从运动角度，帮助学生，理解各位置关系的形成过程，有助于学生从感性认识上升到理性认识，从而发现问题的本质。,一定有两个交点，且分别在两支上。,有且只有一个交点,知识运用引出问题,例1设直线方程为ykx2，与双曲线x2y26的右支交于不同两点，则k的范围（）,2,解法一：直线过（0，2）且交于右支，k1，观察答案，用排除法选（D）,解法二：由于已知联立方程(1k2)x24k
6、x100直线与双曲线交右支于两点且不妨设交点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)解得故选（D）,设计意图,让学生体会上述知识的运用和数形结合思想在解题中的优势。并通过本题引入下列所要研究的知识起承上启下作用。,解决问题探索新知,问题三：能否利用根的判别式，判断直线与双曲线的交点情况。初步结论：引起思考：难道0时直线与双曲线有两种位置关系吗？问题四：设直线方程为，把直线方程判别式情况带入双曲线方程，判断判别式情况。学生自主发现：通过联立方程，消元后，得到的是一元一次方程。根的判别式根本不存在。探讨得出结论：判别式依然可以判断直线与双曲线的位置关系。,设计意图,让学生学会用根的判别式法判断直线与双
7、曲线的位置关系这一基本数学方法。培养学生知识迁移能力，体验问题的产生和解决的成就感，培养学生学习兴趣。,自主迁移获得知识,问题一：设直线ykxm（m0）与双曲线 交于A（x1、y1），B（x2、y2）两点，P点是（x0、y0）是弦AB的中点。求弦长AB用x0、y0表示直线AB斜率。解：,再次引起学生知识迁移，复习熟悉弦长公式及过中点弦的斜率与中点坐标公式推导，体会设而不求的主要解题技巧。,设计意图,实例分析巩固新知,（组内合作）例2：试探索过点A（3，1）有几条直线与双曲线 只有一个交点。过B（2，2）点有几条直线与双曲线只有一个交点。（分析）教师：指导学生分组讨论解决并要求学生阐述解题思路学
8、生：法一：确定AB点在图形中的位置，利用图形解题法二：设直线方程，并把直线方程与双曲线方程联立，从方程角度来解题。（注意）引导学生在用方法二解题时要注意判断直线斜率是否存在，及直线与渐近线平行情况的讨论。,设计意图,由于存在性问题的不确定性，有助于引起学生的学习兴趣和探究精神，活跃课堂气氛。通过本道题目让学生体验数形结合思想在解题中的优越性。,例3（变式题），经过点A（3，1）能否作一条直线使它被双曲线 所截的线段恰好被A点平分，若这样的直线存在，求它的方程，若不存在，请说明理由。法1:（1）当斜率不存在时显然不符合题意。（2）当斜率存在时设其与双曲线交于点A（x1,y1），B(x1,y1）则
9、有 由-得,设计意图,进一步培养学生用方程思想解几何问题，并体会在方法一中设k求k和方法二中设点做差，设而不求的解题技巧。,法2:当k不存在时，显然不符合题意。当k存在时，设直线方程为y=k(x-2)-1,由,由已知1-4k20,且设交点A(x1,y1),B(x2,y2),回顾体验知识整合,（1）通过本节课你学习到了哪些知识。（2）在获得知识和应用知识过程中，你体验到了哪些数学思想方法。（3）对你而言本节课你重点要掌握什么。（4）通过本堂课，你帮助你组员解决了哪些问题，同时组员帮助你解决了哪些问题。,设计意图,教师和学生共同反思，把知识纳入系统，促进学生理解和提高自己的认识水平，从而促进教学观
10、点的形成和发展，更好地进行构建活动，使学生综合能力得到升华。,作业布置,（1）独立探究：设双曲线 与直线l：xy1相交于不同两点A，求双曲线C的离心率e的取值范围。已知双曲线C的方程为 若直线 与双曲线C恒有两个不同交点A、B，且OAOB2（0为坐标原点），求k的取值范围。（2）合作探究：经过点C（1，3）或B（2，2）能否做一条直线，使它被双曲线 所截的线段恰好被所给点平分，这样直线如果存在，求它方程，若不存在，请说明理由。,通过独立探究题加强学生知识方法的运用，提高能力，合作探究题让合作交流这一学习方式延伸到课外，进一步培养学生合作学习兴趣。,设计意图,六、设计说明,1以学生发展为理念。2以问题情境驱动学生探究。3以自主学习，小组合作方式解决问题。4以师生、生生对话交流体验创设一个积极、主动、宽松、活跃的教学环境。,谢谢大家再 见！,过程演示：,相交（两个交点在同一支上）,相离,相切,过程演示：,相交（交点落在两支上）,过程演示：,相交（一个交点）,
