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1、第三章 控制系统的稳定性及特性,华南理工大学自动化科学与工程学院,1,可能的干扰：负载变化等）不允许负载变化？难点：干扰不确定。改变ua统一手段克服不同干扰的影响。,该增加/减少多少ua？计算不当，转速还是会波动。难点：模型不确定。,P7-8，特别是P8第一段；作业：1-2为什么反馈可以克服参数波动和干扰输入的影响？为更好地实现这个目标，系统应具有哪些特点？会带来什么新问题？稳定性问题普遍存在于不同领域的反馈系统中。命题1：反馈控制能改善系统的动态品质，包括瞬态响应、稳态误差、灵敏度、抗扰动能力等等命题2：反馈控制保证反馈后形成的闭环系统稳定,3.1引言,3.1引言,一般来讲，根据应用的需求或
2、者对象本身的特性，被控对象既可以是稳定的也可以是不稳定的。反馈控制系统的典型结构和常用传递函数。如何系统稳定性定义？什么样的系统才是稳定的系统？反馈控制系统的特性如何？有什么优势？,4,第三章 控制系统的稳定性及特性,3.1 引言3.2 反馈控制系统的结构及其传递函数 3.4 反馈控制系统的特性 3.3 闭环系统的稳定性 3.5 复杂反馈控制系统的基本结构及其特性 3.6 利用MATLAB分析系统的稳定性及特性3.7 小结,5,3.2 反馈控制系统的结构及其传递函数,典型的反馈控制系统如右图所示。,3.2.1 开环传递函数,6,3.2 反馈控制系统的结构及其传递函数,开环控制系统的控制器与反馈
3、控制系统的控制器都串联在控制系统的前向通道中，其区别在于：1）开环控制基于对被控对象进行补偿的原理来实现控制，以Gc(s)Gp(s)=1为理想要求。2）反馈控制的原理是基于偏差来产生控制作用。反馈控制系统的控制器也称为串联校正装置，其输入为偏差信号。3）若控制器的输入是系统的偏差信号，则为串联校正装置，若直接为参考输入信号，则为开环控制器。,7,3.2 反馈控制系统的结构及其传递函数,3.2.2 闭环传递函数,8,3.2 反馈控制系统的结构及其传递函数,参考输入和干扰输入同时作用下系统的总输出：两种情况的线性叠加结果为,闭环是实现了负反馈还是正反馈由信号B(s)进入相加点的符号和GL(s)的符
4、号共同决定。闭环系统可能是负反馈系统，也可能为正反馈系统。,9,3.2 反馈控制系统的结构及其传递函数,3.2.3 偏差传递函数,1）参考输入R(s)作用下的偏差传递函数,10,2）干扰输入D(s)作用下的偏差传递函数,3）总偏差,3.2 反馈控制系统的结构及其传递函数,11,响应y(t)的特征决定于极点-pi及其重数。Y(s)的分母,3.2 反馈控制系统的结构及其传递函数,3.2 反馈控制系统的结构及其传递函数,闭环传递函数各表达式的公共分母多项式均为：特征多项式方程：,若考虑多项式有理分式形式,NL和DL和均为首一多项式，即最高阶系数为1，而Kg称为开环增益。,13,3.4 反馈控制系统的
5、特性,瞬态响应系统输出的一种时域响应，控制系统设计的主要目的就是使系统的输出满足预期的瞬态响应 控制系统的理想情况使系统的输出完全跟踪或者复制参考输入。对于开环控制系统，要求开环校正（补偿）控制器的传递函数是对象传递函数的倒数。实际物理系统不可实现串联Gc(s)不可能减少而只能将惯性添加到被控对象上。为了减少开环控制系统的惯性，只剩下改变被控对象Gp(s),手段十分有限。,3.4.1 瞬态响应的改进,14,3.4 反馈控制系统的特性,以开环速度控制系统为例：,当负载转动惯量Jm非常大而必须采用很大功率的电机时，若此时的时间常数Tm不能满足瞬态响应的要求，则只能期望选用品种有限的大功率电机来减小
6、Tm。通过改变被控对象Gp(s)来改进系统瞬态响应的余地十分有限。,15,3.4 反馈控制系统的特性,加入反馈的改进,闭环系统的时间常数比开环系统减少，瞬态响应改进。若设计Kc使得KcKuKf=100，则瞬态响应改进程度可达100倍以上。,16,3.4 反馈控制系统的特性,对于开环控制系统，参考输入与系统输出的偏差为：闭环偏差传递函数为：,开环控制系统的直流增益,在单位阶跃输入作用下，利用终值定理可求得稳态误差分别为,闭环系统环路直流增益,3.4.2 稳态误差的减少,17,3.4 反馈控制系统的特性,基于上式的分析，要使的稳态误差小，则：开环：当Gc(0)=1/Gp(0)时，有 eF()=0闭
7、环：当Gc(0)足够大，有e()足够小。右图的稳态误差开环：设计Kc=1/Ku闭环：设计Kc很大或直接串入积分环节。,18,3.4 反馈控制系统的特性,定义3-4（系统的灵敏度）：系统的灵敏度是其传递函数的变化率与对象传递函数的变化率之比。开环传递函数的灵敏度闭环传递函数的灵敏度,3.4.3 对内部模型的灵敏度,19,3.4 反馈控制系统的特性,闭环控制系统灵敏度的具体表达式,20,3.4 反馈控制系统的特性,可见，闭环系统对象传递函数模型变化的敏感度远低于开环系统。反馈能减小系统的灵敏度。类似地，还可以推导出对系统内任何环节（比如测量环节）的传递函数的灵敏度以及对象传递函数内的任何参数的灵敏
8、度。,21,3.4 反馈控制系统的特性,干扰输入对于控制系统来说则完全是多余的，比如，电子电路中的内部噪声，电动机的负载变化，燃烧系统中燃气的成分变化等干扰都是实际应用中无法回避的客观存在。开环控制系统，进入系统的干扰经过对象或部分对象对输出产生直接的影响。反馈控制系统具有抑制外部干扰的能力。,对外部干扰的抑制,22,3.4 反馈控制系统的特性,1开环控制系统,23,3.4 反馈控制系统的特性,2闭环控制系统,转速稳态值：,若闭环设计Kc使得KcKuKf=100，由于参考输入为零，则闭环控制稳态误差()比开环控制稳态误差F()小100倍以上，同时也实现了瞬态响应比开环控制改进达100倍以上,则
9、有：,24,回顾：反馈控制系统结构及传递函数,25,你能否写出以下传递函数？前向通道反馈通道干扰通道开环闭环R(s)、D(s)分别作用下的偏差传递函数,该公式使用条件:满足sE(s)在s右半平面及虚轴上解析的条件，即 sE(s)的极点均位于s左半平面。当sE(s)在坐标原点有极点 时，虽不满足虚轴上解析的条件，但使用结果与实际结果一致，这时也可用此公式。,计算误差公式,例3.15单位负反馈系统开环传递函数为G(s)=1/Ts,输入分别为,1)r(t)=t，2)r(t)=t2/2，3)r(t)=sint，求稳态误差。,解：误差闭环传递函数,2）,符合终值定理应用条件。,使用终值定理要注意条件。,
10、1）,符合终值定理应用条件,命题1：反馈控制能改善系统的动态品质，包括瞬态响应、稳态误差、灵敏度、抗扰动能力等等命题2：反馈控制保证反馈后形成的闭环系统稳定,3.1 引言,1、能够工作：稳定性(稳)2、反应能力：动态特性(快)3、工作效果：稳态特性(准),系统能否工作及工作状态如何？,3.3.1 稳定性概念及定义,系统受到扰动偏离了平衡状态，扰动消失后，又恢复到平衡状态，称系统是稳定的。线性系统的稳定性由系统的结构和参数决定，与初始条件及外作用无关。,3.3闭环系统的稳定性,图示用曲线表示稳定性的概念和定义,注意：仅适用于线性定常系统,3.3.2 闭环稳定的充要条件,稳定的条件,若,若,非零常
11、数,系统初始条件为零时，受到单位脉冲(t)的作用，输出 为单位脉冲响应，这相当于系统在扰动作用下，输出信号偏离平衡点的问题，当t时，,若,稳定,系统不稳定,临界稳定,在经典控制理论里面，临界稳定属于不稳定,定义3-1（稳定的动态系统定义）在零初始条件下，输入（参考输入或干扰输入）有界，其输出响应也有界。输入：r(t),|r(t)|N(t0)输出：y(t),补充知识：有界输入有界输出,则要求t 时，|g(t)|0，|y(t)|0。,3.3 闭环系统的稳定性,其中，单实极点个数n1，共轭极点对(n-n1)/2,闭环传递函数的一般形式为：,共轭极点对,3.3.2 闭环传递函数的极点与系统的稳定性,3
12、3,补充知识：脉冲响应的基本模态,情况1：对T(s)的单实数极点-p，,情况2：对T(s)的k重极点-p，,g(t)的表达式：,补充知识：脉冲响应的基本模态,情况3：对于T(s)的共轭复数极点，,均为实数,补充知识：脉冲响应的基本模态,补充知识：脉冲响应的基本模态,g(t)中的两种响应曲线,响应中的两种类型：,补充知识：脉冲响应的基本模态,闭环系统稳定的充分必要条件：系统的闭环传递函数极点均具有负实部。,干扰消失后，系统最终能够回到原来的平衡状态，则称该系统是稳定的，否则，称该系统是不稳定的。t 时，|g(t)|趋近于0。g(t)T(s)系统稳定与其传递函数之间的关系。,3.3 闭环系统的稳定
13、性（小结）,闭环系统稳定的充分必要条件：系统的闭环传递函数极点均具有负实部。,3.3 闭环系统的稳定性,如何判定系统的稳定性？直接求解出系统的闭环特征根高阶代数方程求根？,3.3.3 劳斯判据及其应用,劳斯判据 由特征方程的系数来分析系统的稳定性。,回顾：反馈控制系统的结构及其传递函数,闭环传递函数各表达式的公共分母多项式均为：特征多项式方程：,若考虑多项式有理分式形式,NL和DL和均为首一多项式，即最高阶系数为1，而Kg称为开环增益。,41,3.3 闭环系统的稳定性,1.稳定性的必要条件,各因子相乘展开所得的多项式的系数就是这些正数的乘积组成的，因此也必定为正数，即方程（3-25）的所有系数
14、均为正，al0。,或,3.3 闭环系统的稳定性,43,设系统特征方程为：,s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0,劳 斯 表,(64)/2=1,1,(10-6)/2=2,2,7,1,0,(6-14)/1=-8,-8,1、劳斯稳定判据（劳斯表介绍）,劳斯表特点,4 每两行个数相等,1 右移一位降两阶,2 行列式第一列不动第二列右移,3 次对角线减主对角线,5 分母总是上一行第一个元素,7 一行可同乘以或同除以某正数,设系统的特征方程为,劳斯阵列,稳定的充要条件是劳思阵列第一列元素不改变符号,第一列符号改变的次数等于特征方程正实部根的个数,例3.12 特征方程为s4+2s3+3s2+4
15、s+5=0;用劳斯稳定判据,判别系统稳定性。,解：劳斯表,符号改变一次,符号改变一次,符号改变两次，s平面右侧有两个根，系统不稳定性。,-,-,-,-,系统稳定的必要条件:,有正有负一定不稳定!,缺项一定不稳定!,系统稳定的充分条件:,劳斯表第一列元素不变号!,若变号系统不稳定!,变号的次数为特征根在s右半平面的个数!,全0或全0,劳斯(routh)判据小结,(s)=s4+3s3+s2+3s+1=0,特殊情况1：第一列某行出现0,某行的第一列项为0，其余各项不为0或不全为0。（）用（s+a）因子乘原特征方程（a为任意正数），（）或用很小的正数代替零元素。,劳斯表,第一列为零,方法：(s+3)乘
16、原式，得(s)=s5+6s4+10s3+6s2+10s+3=0,代替了,(3-3)/,方法,劳斯表出现零行,设系统特征方程为：,s4+5s3+7s2+5s+6=0,劳 斯 表,5,1,7,5,6,6,6,0,1 劳斯表何时会出现零行?,2 出现零行怎么办?,3 如何求对称的根?,s2+1=0,对其求导得零行系数:2s1,继续计算劳斯表,1,第一列全大于零,所以系统稳定,错啦!,这是零行,由综合除法或比较系数法可得另两个根s3,4=-2,-3,注意：纯虚根为重根时，系统不再等幅振荡，而是振荡发散。,特殊情况2：,劳斯阵列出现全零行:系统在s平面有对称分布的根,劳斯判据的应用,例3.13已知特征方
17、程：s4+30s3+200s2+ks+kz=0,求产生纯虚根为j1的z值和k值。,解：,30,1,200,k,kz,6000-k,30kz,（6000-k)s2+30kz=0,有纯虚根，劳斯表一定有零行,6000k-k2-900kz,6000k-k2-900kz=0,辅助方程:,零行的上两行一定成比例,30s2+k,=0,k=30,代入左式得:,=6.63,z=,30s2+k=0,辅助方程可变为:,6、相对稳定性定义3-3（相对稳定性）:若存在一个正数a0，使得系统所有特征根-pl 均满足Re(-pl)-a0，则称该系统具有a稳定裕度。判断方法：虚轴左移，以s=w-a代入原特征方程。,3.3
18、闭环系统的稳定性,设系统的特征方程如下，试判断系统是否稳定？如果稳定，有多大的稳定裕量？,解：系统的劳斯表为：,系统稳定，采用试凑法，将s=w-2 带入特征方程，,说明多项式方程在w平面的虚轴上存在对称于原点的特征根。根据定义，该闭环系统的稳定裕量为：a=2。事实上，多项式方程的根为：w1,2=j和w3=-1。这说明原特征方程在s平面上的根为：s1,2=-2j和s3=-3。,例3.14 负反馈系统的开环传递函数,（1）求系统稳定K1的取值范围；（2）要求闭环极点全部位于s=-1垂线之左，求K1的取值范围。,解：（1）系统闭环传递函数为,K1取值范围是 K1,（2）将s=z-1代入原式，新特征方
19、程 D(z)=z3+27z2+6443z+(6500K1-6471)=0 劳斯表,K1取值范围是,3.5 复杂反馈控制系统的基本结构及其特性,3.5.1 内环反馈校正,通过设计Gh(s)，可改进系统的动态品质，达到削弱对象模型Gp(s)不确定影响的目的。,3.5.2 串级控制,串级控制的另外一个特性：阶跃输入激励下主参数的稳态误差,57,3.5 复杂反馈控制系统的基本结构及其特性,58,3.5 复杂反馈控制系统的基本结构及其特性,内环等效为串级控制系统,3.5 复杂反馈控制系统的基本结构及其特性,3.5.3 前馈-反馈控制,按参考输入R(s)补偿,按扰动D(s)输入补偿,3.5 复杂反馈控制系
20、统的基本结构及其特性,按参考输入R(s)补偿,3.5 复杂反馈控制系统的基本结构及其特性,按扰动D(s)输入补偿,3.5 复杂反馈控制系统的基本结构及其特性,前馈-串级反馈控制系统,3.6 利用MATLAB分析系统的稳定性及特性,delta=1,1,6,5,9,4,4;%输入多项式r=roots(delta);%求D(s)=0的根运结果检验：rr=-0.0000+2.0000i-0.0000-2.0000i-0.5000+0.8660i-0.5000-0.8660i-0.0000+1.0000i-0.0000-1.0000i,3.6.1 判定系统的稳定性1、解特征方程法：求出特征方程的根。求多
21、项式方程的根可调用的函数roots()；例3-8：,可知，系统处于临界响应，故是不稳定的。,3.6 利用MATLAB分析系统的稳定性及特性,pzmap(num,den)来绘制系统特征方程的零极点图；通过零极点位置判断系统的稳定性。例3-9,输入以下MATLAB命令 num=0 3 2 5 4 6;den=1 3 4 2 7 2;pzmap(num,den);title(系统的零极点图),计算结果可知，特征根中有两个根的实部为正，所以闭环系统是不稳定的。,3.6.2 绘制零极点图判定系统的稳定性,3.6 利用MATLAB分析系统的稳定性及特性,MATLAB没有直接求解灵敏度的调用函数，所以需要根
22、据灵敏度公式来写程序来计算。例3-10,先建立一个M文件：sensifcn1.m，然后输入以下MATLAB命令：G=tf(3,18,1,12,35,24,0);Gc=tf(5,4,6,2);H=tf(0.01,6,2,4);S=feedback(1,Gc*G*H);zpk(S),3.6.3 求解灵敏度函数,3.7 小结,（1）反馈控制系统的典型结构讨论贯穿于全书的反馈控制系统的典型结构，推导其开环传递函数、闭环传递函数以及偏差传递函数，正负反馈的识别；开环控制系统和反馈控制系统的区别：参考输入信号产生控制作用和偏差信号产生控制作用。（2）闭环系统的稳定性和劳斯判据建立系统的有界输入-有界输出稳定性定义。劳斯判据，稳定充要条件：特征方程的跟位于s平面的左半平面；,3.7 小结,（3）反馈控制系统的特性：改进系统的瞬态响应；减小系统的稳态误差；减小内部模型参数变化的灵敏度提高对外部扰动的抑制能力。（4）复杂反馈控制系统的结构与特性多回路或者多通道的控制系统；两种构成方式：形成局部反馈内回路、添加前馈补偿通道。内环反馈校正、串级控制和前馈-反馈控制三种基本结构。,本章结束！,
