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1、数值分析,数 值 分 析Numerical Analysis机械与汽车工程学院主讲人：孔胜利2012-09-01,数值分析,第7章 非线性方程求根,求根的基本问题及分析方法 迭代法Newton法弦截法与抛物线法,数值分析,7.1 求根的基本问题及分析方法,方程的求根大致包括3个基本问题：根的存在性 方程有没有根？有的话，有几个？根的隔离 求出几个互不相交的区间，使每个区间中只有一个根。根的精确化 在求出精度不高的近似根的基础上，逐步将根精确化，直到满足预先要求的精度为止。基本方法：分析法搜索法二分法,数值分析,求根的基本问题及分析方法,1、分析法利用连续函数的性质，函数的增减性、极值等性质判定
2、根的范围。特别是当 f(x)连续，且，则a,b间至少有一个实根。这点在判定根的范围中很重要。对于n次多项式方程至多有n个实根。有时可以辅以图像来更直观地观察分析问题。,数值分析,求根的基本问题及分析方法,例 对 之根进行隔离。解 显然，由得驻点。因 故 分别为 极大值和极小值。从而 内各有一个实根。由 y=f(x)的草图可以直观地看到这点。又显然有因而，三个根的更好的隔离区间为,y=f(x)的草图,数值分析,求根的基本问题及分析方法,2、搜索法如果我们判定方程 f(x)=0 的某一个根的大致范围，则可用搜索法加以缩小，使根进一步精确化。设，且，则可判定。不妨设，且。我们从左端开始，按预先选定的
3、步长h，一步一步地向右边走，每走一步检查一下终点的函数值是否取正号。如果，则表明根。如果精度不够，可将 看成 a,b再次进行搜索，并从左端点开始向右搜索，直到满足精度为止。在具体实施中，步长的选择是个关键，步长较小时精度高，但搜索次数增加。,数值分析,求根的基本问题及分析方法,例题 试求方程 的唯一正根，要求误差不超过0.1。解 从 x=0 开始，取步长 h=1,则有故根。再去 h=0.2，因，故根从而取近似根为2.1，即 即可满足精度要求。注意：搜索法的实施是很灵活的，哪怕没有给出根的存在范围，也可进行搜索。,数值分析,求根的基本问题及分析方法,3、二分法把搜索的步长取为含有根区间 a,b
4、的1/2，便得到二分法。例题 用二分法将 在（2,3）内的根精确到小数点后第二位。解,数值分析,求解方程 的问题，可将方程变形写成 的形式。显然，前者的根 必满足后者，即。反之亦然。这表明：求方程 的根，可转化为求方程 的根。为此，可选定某个初值，按迭代格式进行迭代运算。（*）称为求方程之根的迭代格式。在 中，称 为函数 的一个不动点。从而，求方程之根，即求函数 的零点，又等价于求迭代函数 的不动点。,7.2 迭代法,数值分析,例题1求方程 在0.4附近的有五位有效数字的近似根。解将方程变形为则迭代格式为取初始值为0.4，可算得各次近似根为,数值分析,收敛迭代格式的建立例题 求方程 在1.5附
5、近的近似值。解 将方程变为，建立迭代格式前者是收敛的，后者是发散的。后者与前者的最大不同点在于后者的导数，而前者的。这表明：迭代格式的收敛性，与迭代函数的导数 的大小有关。,数值分析,定理设迭代函数，且满足（1）任给，总有（2）存在正数q 1，使则对于任意初值，当 时，迭代格式所得的数列 收敛于a,b内唯一的实根，并有估计式注意：定理中在函数的整个定义区间上满足 的条件是相当苛刻的，实际应用中局部收敛即可。,数值分析,例题 求方程 的一个正根，精度为10-3。迭代格式的收敛速度迭代加速公式,数值分析,7.3 Newton法,Newton迭代法的基本思想将曲线的问题转化为直线来解决，即将非线性方
6、程转化为线性方程来求解。Newton迭代格式由于它是基于切线方程而得到的，因而也叫切线法。,数值分析,例题 用Newton法求方程 在0.5附近的根。解因为，故迭代格式为取初值，经迭代演算，得到前四次的近似根为,数值分析,Newton法的应用对于给定的正数C，应用Newton法解二次方程因为 故得求 的近似值的迭代格式例题 计算解 凡是迭代算法，初值的选取都会影响到收敛速度。取，利用上面的迭代格式计算4次的结果为,数值分析,习题 应用牛顿法于方程，导出求立方根 的迭代公式。,数值分析,简化Newton法迭代公式为Newton下山法迭代公式为,数值分析,7.4 弦割法与抛物线法,Newton法具
7、有收敛快的优点，但也有要计算导数 的缺点，这对求导比较麻烦的函数，牛顿迭代格式用起来是不方便的。为避开计算导数，取2个初值点，过作割线，则得到割线的斜率为一般地，用割线的斜率代替牛顿法中切线的斜率，即用 则得新的迭代格式用（*）式求近似根称为双点弦割法。,数值分析,在用双点弦割法中计算 次近似值 时，要用到前面两点 的信息，公式启动时要提供两个初值。单步迭代法和多步迭代法凡是计算 次近似只用到前面一点 的信息的迭代法称为单步迭代法，而要用到前面两点或两点以上的信息的迭代法则称为多步迭代法。有时为了简化双步迭代法，可用固定的点 代替得迭代格式 如下所示，称为单点弦割法,数值分析,习题 用双点弦割
8、法计算 在 附近的根。根的精确值 要求计算结果有四位有效数字。计算时取。,数值分析,抛物线法设已知方程 的三个近似根，我们以这三点为节点构造二次插值多项式，并适当选取 的一个零点 作为新的近似根，这样确定的迭代过程称为抛物线法。基本思想是用抛物线 与x轴的交点 作为所求根的近似值。,数值分析,插值多项式有两个零点：式中注意：根式前正负号的取舍是根式前的符号与 的符号相同即可。,数值分析,习题,数值分析,习题,数值分析,习题,数值分析,习题,数值分析,习题,数值分析,习题,数值分析,习题,数值分析,习题,数值分析,习题,数值分析,习题,数值分析,习题,数值分析,习题,数值分析,习题,数值分析,习题,数值分析,习题,
