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1、第二节 Euler方法,5.2.1.Euler方法,设节点为xk=x0+kh(h=(b-a)/n k=0,1,n),方法一 泰勒展开法(将y(xk+1)在xk泰勒展开得),则可得:,方法二 数值微分法(用向前差商近似导数),方法三 数值积分法,依上述公式逐次计算可得:,也称Euler为单步法,,又称为显格式的单步法。,2 欧拉法的几何意义:,也称欧拉折线法.,从上述几何意义上得知,由Euler法所得的折线明显偏离了积分曲线,可见此方法非常粗糙。,3.欧拉法的局部截断误差:,定义,在假设 yi=y(xi),即第 i 步计算是精确的前提下,考虑的截断误差 Ri=y(xi+1)yi+1 称为局部截断
2、误差,定义,若某算法的局部截断误差为O(hp+1),则称该算法有p 阶精度。,欧拉法的局部截断误差:,欧拉法具有 1 阶精度。,5.2.2 后退的 欧拉公式(隐式欧拉公式),由于未知数 yn+1 同时出现在等式的两边,故称为隐式 欧拉公式,而前者称为显式 欧拉公式。隐式公式不能直接求解,一般需要用Euler显式公式得到初值,然后用Euler隐式公式迭代求解。因此隐式公式较显式公式计算复杂,但稳定性好。,几何意义:,见上图,显然,这种近似也有一定误差,如何估计这种误差y(xn+1)yn+1?方法同上,基于Taylor展开估计局部截断误差。但是注意,隐式公式中右边含有f(xn+1,yn+1),由于
3、yn+1不准确,所以不能直接用y(xn+1)代替f(xn+1,yn+1),设已知曲线上一点 Pn(xn,yn),过该点作弦线,斜率为(xn+1,yn+1)点的方向场f(x,y)方向,若步长h充分小,可用弦线和垂线x=xn+1的交点近似曲线与垂线的交点。,几何意义,隐式欧拉法的局部截断误差:,1 Eulers Method,隐式欧拉法的局部截断误差:,即隐式欧拉公式具有 1 阶精度。,1 Eulers Method,比较欧拉显式公式和隐式公式及其局部截断误差,显式公式,隐式公式,若将这两种方法进行算术平均,即可消除误差的主要部分而获得更高的精度,称为梯形法,5.2.3 梯形公式,在用数值积分的方
4、法推导欧拉公式时,右端的积分用梯形积分公式可得:,梯形法的迭代计算和收敛性,注:的确有局部截断误差,即梯形公式具有2 阶精度,比欧拉方法有了进步。但注意到该公式是隐式公式,计算时不得不用到迭代法,其迭代收敛性与欧拉公式相似。,改进的欧拉格式,欧拉方法容易计算,但精度较低;梯形公式精度高,但是隐式形式,不易求解;若将二者结合,可得到改进的欧拉格式。,上述方法也可以表示为下述两种形式:,5.2.5 欧拉两步公式,假设,则可以导出即中点公式也具有 2 阶精度,且是显式的。,需要2个初值 y0和 y1来启动递推过程,这样的算法称为双步法,预测-校正系统中点法具有二阶精度,且是显式的,与梯形公式精度相匹
5、配,用中点公式作预测,梯形公式作校正,得到如下预测校正系统:,校正误差约为预测误差的1/4,预测误差和校正误差的事后误差估计式,利用上两式可以估计预测值和校正值与准确值的误差,可以期望,利用这两个误差分别作预测值和校正值的补偿,有可能提高精度。设pn,cn分别为第n步的预测值和校正值,即,此时cn+1未知,故用pn-cn代替,预测-校正-改进公式,注:利用该算法计算yn+1时,需要,例:试分别用欧拉格式和改进的欧拉格式求解下列初值问题:,解:欧拉格式的具体算式为:,改进的欧拉格式为:,改进的欧拉格式的具体算式为:,结果列表如下:,1.1,1.095 909 091,1.191 818 182,1.184 096 569,1.277 437 834,1.266 201 361,