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1、迭代法回顾,二分法:,设f(x)=0的根为 x*,通过迭代计算产生序列:,*,设f(x)=0的根为 x*,通过迭代计算,产生序列:,迭代的思想,迭代法研究包括方面:,迭代初值,迭代格式,判别收敛及收敛速度,*,数值分析3,不动点迭代法不动点迭代的收敛性迭代序列的收敛速度序列收敛加速方法,*,f(x)=0,x=,f(x)的根,的不动点,不动点迭代(Fixed Point Iteration),例如,最简单的可以取:,x*称为不 动点,*,不动点迭代(Fixed Point Iteration),选择适当的初始值x0,按照如下的迭代格式计算:,如果数列xn是有极限,则称迭代,是收敛的。是非线性方程
2、的根,的不动点。,基本思想是将非线性方程求解归结为一系列显式的函数值计算。,化繁为简 化难为易,*,例1 方程 x3+4x2 10=0 在 1,2 上有一个根,构造求根的不动点迭代格式。,(1),(n=0,1,2,),(n=0,1,2,),(2),*,什么样的迭代格式收敛？,*,证 若 或,显然 有不动点,设,则有,记 则有,所以,存在 x*使得即,故 x*是 的不动点。,压缩映像,*,*,如果 有两个不同的不动点 则有,两式相减得,由拉格朗日中值定理知,存在 介于 之间,使,故不动点唯一。,*,*,定理2.3 如果,满足条件:;(2),则对任意的 x0 a,b,迭代格式 产生的序列 xn 收
3、敛到不动点 x*,且满足,证,*,(0L1),所以,故迭代格式收敛,*,*,不动点迭代法的局部收敛定理,收敛速度,数列的 r 阶收敛概念,设,若存在 a0,r0 使得,则称数列xn r 阶收敛。,特别:(1)收敛阶r=1时,称为线性收敛;(2)收敛阶r1时,称为超线性收敛;(3)收敛阶r=2 时,称为平方收敛。,序列的收敛阶数越高,则收敛速度越快。,*,*,定理2.6 设x*是 的不动点,且,而 则 p阶收敛,由Taylor公式,其中,介于xn和x*之间.所以,故迭代法p阶收敛。,*,例2 用不同迭代格式求方程 x2-3=0的根。,a),b),*,n xn,2.00000001.75000001.73437501.7323608 1.73209231.7320563,0.0669 0.1294 0.1333 0.1338 0.1339,012345,n xn,2.00000001.75000001.73214281.7320508 1.73205081.7320508,0.0669 0.0051 2.657e-5-9.07e-8,012345,*,*,Aitken加速方法,加速收敛序列,*,迭代法思想:,*,收敛性,收敛速度,Iterate:To say or doagainoragain and again,
