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1、第七章 数学形态学及其应用,基本思想：用具有一定形态的结构元素去量度和提取图像中的对应形状以达到对图像分析和识别的目的。,第一节 概 述,数学基础和所用语言：集合论，因此它具有完备的数学基础，这为形态学用于图像分析和处理、形态滤波器的特性分析和系统设计奠定了坚实的基础。,数学形态学是由一组形态学的代数运算子组成的，它的基本运算有4个：膨胀（或扩张）、腐蚀（或侵蚀）、开启和闭合，它们在二值图像和灰度图像中各有特点。,数学形态学方法：利用一个称作结构元素的“探针”收集图像的信息，当探针在图像中不断移动时，便可考察图像各个部分之间的相互关系，从而了解图像的结构特征。,数学基础：,对于两幅图像A和B，
2、如果对B中的每一个点b（bB）都有bA，那么称B包含于A，记作。如果同时还有A中存在至少一个点a，aA且，那么称B真包含于A，记作。根据定义可知，如果，那么必有。,2.交集、并集和补集 两个图像集合A和B的公共点组成的集合称为两个集合的交集，记为AB，即AB=aaA且aB。两个集合A和B的所有元素组成的集合称为两个集合的并集，记为AB，即AB=aaA或aB。对一幅图像A，在图像A区域以外的所有点构成的集合称为A的补集，记为AC，即AC=aa A。,3.击中（Hit）与击不中（Miss）设有两幅图像A和B，如果AB，那么称B击中A，记为BA，其中是空集合的符号；否则，如果AB=，那么称B击不中A
3、。,4.平移和反射 设A是一幅数字图像，b是一个点，那么定义A被b平移后的结果为Abab|aA，即取出A中的每个点a的坐标值，将其与点b的坐标值相加，得到一个新的点的坐标值a+b，所有这些新点所构成的图像就是A被b平移的结果，记为A+b。A关于图像原点的反射结果为，即将A中的每个点取相反数后所得的新图像。,5.目标和结构元素 被处理的图像称为目标图像，一般用大写英文字母表示。为了确定目标图像的结构，必须逐个考察图像各部分之间的关系，并且进行检验，最后得到一个各部分之间关系的集合。在考察目标图像各部分之间的关系时，需要设计一种收集信息的“探针”，称为“结构元素”。“结构元素”一般用大写英文字母表
4、示，例如用S表示。在图像中不断移动结构元素，就可以考察图像之间各部分的关系。一般，结构元素的尺寸要明显小于目标图像的尺寸。,三种对称结构元素,第二节 二值形态学,设A为图像集合，S为结构元素，数学形态学运算是用S对A进行操作。需要指出，实际上结构元素本身也是一个图像集合。对每个结构元素可以指定一个原点，它是结构元素参与形态学运算的参考点。应注意，原点可以包含在结构元素中，也可以不包含在结构元素中，但运算的结果常不相同。以下用阴影代表值为1的区域，白色代表值为0的区域，运算是对值为1的区域进行的。,腐蚀与膨胀示意图,一、腐蚀 腐蚀是最基本的一种数学形态学运算。对一个给定的目标图像X和一个结构元素
5、S，想象一下将S在图像上移动。在每一个当前位置x，S+x只有三种可能的状态：(1)S+xX；(2)S+xXC；(3)S+xX与S+xXC均不为空。,S+x的三种可能的状态,腐蚀在数学形态学运算中的作用是消除物体边界点。如果结构元素取33的像素块，腐蚀将使物体的边界沿周边减少一个像素。腐蚀可以把小于结构元素的物体(毛刺、小凸起)去除，这样选取不同大小的结构元素，就可以在原图像中去掉不同大小的物体。如果两个物体之间有细小的连通，那么当结构元素足够大时，通过腐蚀运算可以将两个物体分开。,在目标数量检测中利用腐蚀,腐蚀运算示例,例 腐蚀运算图解。图(a)中的阴影部分为集合X，图(b)中的阴影部分为结构
6、元素S，而图(c)中黑色部分给出了XS 的结果。由图可见，腐蚀将图像（区域）收缩小了。,如果S包含了原点，即OS，那么XS将是X的一个收缩，即XSX（当OS时）；如果S不包含原点，那么XSX未必成立。如果结构元素S关于原点O是对称的，那么S=SV，因此 X S=XSV,但是，如果S关于原点O不是对称的，那么X被S腐蚀的结果与X被SV腐蚀的结果是不同的。,二、膨胀 腐蚀可以看作是将图像X中每一与结构元素S全等的子集S+x收缩为点x。反之，也可以将X中的每一个点x扩大为S+x，这就是膨胀运算，记为XS。若用集合语言，它的定义为XS=x|S+xx 与上式等价的膨胀运算定义形式还有：（1）XS=X+s
7、|sS（2）XS=S+x|xX,三、开运算和闭运算 1.基本概念 如果结构元素为一个圆盘，那么，膨胀可填充图像中的小孔(比结构元素小的孔洞)及图像边缘处的小凹陷部分，而腐蚀可以消除图像边缘小的成分，并将图像缩小，从而使其补集扩大。但是，膨胀和腐蚀并不互为逆运算，因此它们可以级连结合使用。在腐蚀和膨胀两个基本运算的基础上，可以构造出形态学运算族，它由膨胀和腐蚀两个运算的复合与集合操作（并、交、补等）组合成的所有运算构成。例如，可先对图像进行腐蚀然后膨胀其结果，或先对图像进行膨胀然后腐蚀其结果（这里使用同一个结构元素）。前一种运算称为开运算（或开启），后一种运算称为闭运算（闭合）。,对图像X及结构
8、元素S，用符号XS表示S对图像X作开运算，用符号XS表示S对图像X作闭运算，它们的定义为,XS=(XS)S,XS=(XS)S,由上两式可知，XS可视为对腐蚀图像XS用膨胀来进行恢复，而XS可看作是对膨胀图像XS用腐蚀来进行恢复。不过这一恢复不是信息无损的，即它们通常不等于原始图像X。由开运算的定义式，可以推得,因而XS是所有X的与结构元素S全等的子集的并组成的。或者说，对XS中的每一个点x，均可找到某个包含在X中的结构元S的平移S+y，使得xS+y，即x在X的近旁具有不小于S的几何结构。而对于X中不能被XS恢复的点，其近旁的几何结构总比S要小。这一几何描述说明，XS是一个基于几何结构的滤波器。
9、当使用圆盘结构元素时，开运算对边界进行了平滑，去掉了凸角；当使用线段结构元素时，沿线段方向宽度较大的部分才能够被保留下来，而较小的凸部将被剔除。而XXS给出的是图像的凸出特征。可见，不同的结构元素的选择导致了不同的分割，即提取出不同的特征。,开运算去掉了凸角(a)结构元素S1和S2；(b)XS1；(c)XS2,开运算操作示例,开启和闭合不受原点是否在结构元素之中的影响。由腐蚀和膨胀的对偶性，可知(XCS)C=XS；(XCS)C=XS,开、闭变换也是一对对偶变换，因此，闭运算的几何意义可以由补集的开运算的几何意义导出。闭运算通过填充图像的凹角来平滑图像，而XSX给出的是图像的凹入特征。,闭运算填
10、充了凹角(a)结构元素S1和S2；(b)XS1；(c)XS2,闭运算操作示例,开、闭运算示例(a)原图像；(b)结构元素S；(c)结构元素S腐蚀图像X；(d)结构元素S腐蚀X的结果；(e)对腐蚀的结构再膨胀；(f)再膨胀（开运算）的结果XS；(g)结构元素S膨胀X；(h)结构元素S膨胀X的结果XS；(i)对膨胀的结果再腐蚀；(j)再腐蚀的结果（闭运算）XS,2.开闭运算的代数性质 由于开、闭运算是在腐蚀和膨胀运算的基础上定义的，根据腐蚀和膨胀运算的代数性质，我们不难得到下面的性质。1）对偶性(XCS)C=XS，(XCS)C=XS2）扩展性（收缩性）XSXXS即开运算恒使原图像缩小，而闭运算恒使
11、原图像扩大。,3）单调性 如果XY，则XSYS，XSYS 如果YZ且ZY=Z，那么XYX Z 根椐这一性质可以知道，结构元素的扩大只有在保证扩大后的结构元素对原结构元素开运算不变的条件下方能保持单调性。,4）平移不变性(X+h)S=(XS)+h，(X+h)S=(XS)+hX(S+h)=XS，X(S+h)=XS 5）等幂性(XS)S=XS，(XS)S=XS 开、闭运算的等幂性意味着一次滤波就能把所有特定结构元素的噪声滤除干净，作重复的运算不会再有效果。这是一个与经典方法(例如中值滤波、线性卷积)不同的性质。,6）开、闭运算与集合的关系,在操作对象为多个图像的情况下，可借助集合的性质来进行开、闭运
12、算，上述开、闭运算与集合的关系可用语言描述如下：(1)开运算与并集：并集的开运算包含了开运算的并集；(2)开运算与交集：交集的开运算包含在开运算的交集中；(3)闭运算与并集：并集的闭运算包含了闭运算的并集；(4)闭运算与交集：交集的闭运算包含在闭运算的交集中。,第三节 灰值形态学,一、灰值腐蚀 用结构元素b对输入图像f(x,y)进行灰值腐蚀记为fb，其定义为（fb）(s,t)=minf(s+x,t+y)-b(x,y)s+x,t+yDf,x+yDb 式中，Df和Db分别是f和b的定义域。这里限制(s+x)和(t+y)在f的定义域之内，类似于二值腐蚀定义中要求结构元素完全包括在被腐蚀集合中。,灰值
13、腐蚀示意图(a)图像f；(b)结构元素b；(c)用结构元素b对f腐蚀；(d)用结构元素b对f腐蚀的结果,灰值腐蚀与膨胀前后的图像(a)原始图像;(b)灰值腐蚀后的图像;(c)灰度膨胀后的图像,二、灰值膨胀 用结构元素b对输入图像f(x,y)进行灰值膨胀记为fb，其定义为(fb)(s,t)=maxf(s-x,t-y)+b(x,y)|s-x,t-y Df,x+yDb 式中，Df和Db分别是f和b的定义域。这里限制(s-x)和(t-y)在f的定义域之内，类似于在二值膨胀定义中要求两个运算集合至少有一个（非零）元素相交。,膨胀的计算是在由结构元素确定的邻域中选取fb的最大值，因此对灰值图像的膨胀操作有
14、两类效果：如果结构元素的值都为正的，则输出图像会比输入图像亮；根据输入图像中暗细节的灰度值以及它们的形状相对于结构元素的关系，它们在膨胀中或被消减或被除掉。,灰值膨胀示意图(a)灰度膨胀过程；(b)灰度膨胀结果,下面简单介绍膨胀和腐蚀的对偶性。膨胀和腐蚀相对于函数的补(补函数)和反射也是对偶的，对偶关系为,这里函数的补定义为fC(x,y)=-f(x,y)，而函数的反射定义为bV(x,y)=b(-x,-y)。,三、灰值开、闭运算 数学形态学中关于灰值开和闭运算的定义与它们在二值数学形态学中的对应运算是一致的。用结构元素b(灰值图像)对灰值图像f做开运算记为f b，其定义为 fb=（fb）b 用结
15、构元素b(灰值图像)对灰值图像f做闭运算记为fb，其定义为 fb=（fb）b,开、闭运算相对于函数的补和反射也是对偶的，对偶关系可写为(fb)C=(fCbV）(fb)C=(fCbV)因为f(x，y)=-f(x，y)，所以可写为-(fb)=(-fCbV)-(fb)=(-fbV),在图(a)中，给出了一幅图像f(x,y)在y为常数时的一个剖面f(x)，其形状为一连串的山峰山谷。假设结构元素b是球状的，投影到x和f(x)平面上是个圆。下面分别讨论开、闭运算的情况。用b对f 做开运算，即fb，可看作将b贴着f 的下沿从一端滚到另一端。图(b)给出了b在开运算中的几个位置，图(c)给出了开运算操作的结果
16、。从图(c)可看出，对所有比b的直径小的山峰其高度和尖锐度都减弱了。换句话说，当b贴着f 的下沿滚动时，f 中没有与b接触的部位都削减到与b接触。实际中常用开运算操作消除与结构元素相比尺寸较小的亮细节，而保持图像整体灰度值和大的亮区域基本不受影响。具体地说就是，第一步的腐蚀去除了小的亮细节并同时减弱了图像亮度，第二步的膨胀增加了图像亮度，但又不重新引入前面去除的细节。,灰值开、闭运算示意图,用b对f做闭运算，即fb，可看作将b贴着f 的上沿从一端滚到另一端。图(d)给出了b在闭运算操作中的几个位置，图(e)给出了闭运算操作的结果。从图(e)可看出，山峰基本没有变化，而所有比b的直径小的山谷得到
17、了“填充”。换句话说，当b贴着f 的上沿滚动时，f 中没有与b接触的部位都得到“填充”，使其与b接触。实际中常用闭运算操作消除与结构元素相比尺寸较小的暗细节，而保持图像整体灰度值和大的暗区域基本不受影响。具体说来，第一步的膨胀去除了小的暗细节并同时增强了图像亮度，第二步的腐蚀减弱了图像亮度但又不重新引入前面去除的细节。,灰值开闭运算实例(a)开运算的结果；(b)闭运算的结果,第四节 形态学的应用,一、形态学滤波 由于开、闭运算所处理的信息分别与图像的凸、凹处相关，因此，它们本身都是单边算子，可以利用开、闭运算去除图像的噪声、恢复图像，也可交替使用开、闭运算以达到双边滤波目的。一般，可以将开、闭
18、运算结合起来构成形态学噪声滤波器，例如(XS)S或(XS)S等。,图(a)包括一个长方形的目标X，由于噪声的影响在目标内部有一些噪声孔而在目标周围有一些噪声块。现在用图(b)所示的结构元素S通过形态学操作来滤除噪声，这里的结构元素应当比所有的噪声孔和块都要大。先用S对X进行腐蚀得到图(c)，再用S对腐蚀结果进行膨胀得到图(d)，这两个操作的串行结合就是开运算，它将目标周围的噪声块消除掉了。再用S对图(d)进行一次膨胀得到图(e)，然后用S对膨胀结果进行腐蚀得到图(f)，这两个操作的串行结合就是闭运算，它将目标内部的噪声孔消除掉了。整个过程是先做开运算再做闭运算，可以写为,形态学滤波示意图,(a
19、)(b)(c)(d)(e)(f),比较图(a)和(f)，可看出目标区域内外的噪声都消除掉了，而目标本身除原来的4个直角变为圆角外没有太大的变化。在利用开、闭运算滤除图像的噪声时，选择圆形结构元素会得到较好的结果。为了能使从噪声污染的图像X中恢复原始图像X0的结果达到最优，在确定结构元素的半径时，可以采用优化方法。为了达到这一目的，可将图像和噪声视为随机过程，通过统计优化分析得到优化结果。,二、骨架抽取 把一个平面区域简化成图（Graph）是一种重要的结构形状表示法。利用细化技术得到区域的细化结构是常用的方法。因此，寻找二值图像的细化结构是图像处理的一个基本问题。在图像识别或数据压缩时，经常要用
20、到这样的细化结构，例如，在识别字符之前，往往要先对字符作细化处理，求出字符的细化结构。骨架便是这样的一种细化结构，它是目标的重要拓扑描述，具有非常广泛的应用。,下面首先对数字图像细化概念做简要介绍。许多数学形态学算法都依赖于击中/击不中变换。其中数字图像细化，便是一种最常见的使用击中/击不中变换的形态学算法。对于结构对B=(B1，B2)，利用B细化X定义为,即XB为X与XB的差集。更一般地，利用结构对序列B1，B2，BN迭代地产生输出序列,或者,i=1,2,N,随着迭代的进行，得到的集合也不断细化。假设输入集合是有限的（即N为有限），最终将得到一个细化的图像。结构对的选择仅受结构元素不相交的限
21、制。事实上，每一个Bi(i=1,2,N)都可以是相同的结构对，即在不断重复的迭代细化过程使用同一个结构对。在实际应用中，通常选择一组结构元素对，迭代过程不断在这些结构对中循环，当一个完整的循环结束时，如果所得结果不再变化，则终止迭代过程。,骨架还可以用中轴表示。设想在时刻，将目标边界各处同时点燃，火的前沿以匀速向目标内部蔓延，当前沿相交时火焰熄灭，火焰熄灭点的集合就构成了中轴。图(a)是这个过程的图示。另外一种定义骨架的方法使用了最大圆盘概念：目标X的骨架由X内所有最大内切圆盘的圆心组成，如图(b)、(c)所示。最大圆盘不是其他任何完全属于X的圆盘的子集，并且至少有两点与目标边界轮廓相切。骨架
22、的每个点都对应一个相应的最大圆盘和半径r。最大圆盘定义的骨架与火种方式定义的骨架除在某些特殊情况下端点处存在差异外，绝大多数情况下都是一致的。,骨架的定义,按照最大圆盘定义骨架的方式，在欧氏二值图像的内部任意给定一点，如果以该点为圆心存在一个最大圆盘，其整个盘体都在图像的内部，且至少有两点与目标边界相切，则该点便是骨架上的点。所有最大圆盘的圆心构成了图像的骨架（中轴）。对于图像X，一般用S(X)表示其骨架。注意，不同的图像可能有相同的骨架。骨架对噪声非常敏感，而且连通的集合可能具有不连通的骨架（例如两个相切圆盘的骨架）。,数字骨架可以从形态学的角度进行定义。对于k0，1，2，定义骨架子集Sk（
23、X）为图像X内所有最大圆盘kB的圆心x构成的集合。从骨架的定义可知，骨架是所有骨架子集的并，即 S(X)=Sk（X）|k0，1，2，可以证明骨架子集为Sk（X）=(XkB)-(X k)式中，B为结构元素，(X kB)代表连续k次用B对X腐蚀，即(X kB)=（(X)）。,S(X)=(XkB)-(XkB)|k0，1，2，,这就是骨架的形态学表示，它也是用数学形态学方法提取图像骨架技术的依据。对于给定的图像X以及结构元素，(Xk)可以将X腐蚀为空集，如果用N表示(Xk)运算将X腐蚀成空集前的最后一次迭代次数，即 N=maxk|(XkB)，则,相反，图像X也可以用Sk（X）重构，即,式中，B为结构元
24、素，(Sk(X)kB)代表连续k次用B对Sk(X)膨胀，即,利用上式以及图像腐蚀、膨胀的算法可以编写程序实现形态学骨架抽取变换。图(a)为一幅二值图像，图(b)为用33的结构元素S（原点在中心）得到的骨架，图(c)为用55的结构元素得到的骨架，图(d)为用77的结构元素得到的骨架。注意图(c)和(d)中由于模板较大叶柄没有保留下来。,骨架抽取示例(a)一幅二值图像；（b）用33的结构元素S得到的骨架；(c）用55的结构元素得到的骨架；（d）用77的结构元素得到的骨架,第五节 应用实例细化,利用前面所介绍的形态学知识，下面给出一种实用的对二值区域进行形态学细化的一种算法。如前所述，一个图像的“骨
25、架”，是指图像中央的骨骼部分，是描述图像几何及拓扑性质的重要特征之一。求一幅图像骨架的过程就是对图像进行“细化”的过程。在文字识别、地质构造识别、工业零件形状识别或图像理解中，先对被处理的图像进行细化有助于突出形状特点和减少冗余信息量。,在细化一幅图像X时应满足两个条件：第一，在细化的过程中，X应该有规律地缩小；第二，在X逐步缩小的过程中，应当使X的连通性质保持不变。下面介绍一个具体的细化算法。设已知目标点标记为1，背景点标记为0。边界点是指本身标记为1而其8连通邻域中至少有一个标记为0的点。算法对一幅图像的所有边界点即一个33区域都进行如下检验和操作：,（1）考虑以边界点为中心的8邻域，设p
26、1为中心点，对其邻域的8个点逆时针绕中心点分别标记为p2，p3，p9，其中p2位于p1的上方。如果p1=1(即黑点)时，下面4个条件同时满足，则删除p1(p1=0)：2N(p1)6，其中N(p1)是p1的非零邻点的个数；S(p1)=1，其中S(p1)是以p2，p3，p4，p9为序时这些点的值从0到1变化的次数；p2p4p6=0或者S(p1)1；p4p6p8=0或者S(p1)1。,（2）同第（1）步，仅将中的条件改为p2p4p8=0，中的条件改为p2p6p8=0。同样当对所有边界点都检验完毕后，将所有满足条件的点删除。以上两步操作构成一次迭代。算法反复迭代，直至没有点再满足标记删除的条件，这时剩下的点就组成区域的骨架。图(b)、(c)、(d)是p1不可删除的三种情况。在图(b)中删除p1会分割区域，图(c)中删除p1会分割缩短边缘，图(d)中满足条件2N(p1)6但p1不可删除。,细化算法示意图(a)标记p1和邻点；(b)p1不可删除情况一；(c)p1不可删除情况二；(d)p1不可删除情况三；(e)细化前图像；(f)细化后的结果,
