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1、第四章数字滤波器结构DF（Digital Filter),第一节 引 言,一、什么是数字滤波器,顾名思义：其作用是对输入信号起到滤波的作用；即DF是由差分议程描述的一类特殊的离散时间系统。它的功能：把输入序列通过一定的运算变换成输出序列。不同的运算处理方法决定了滤波器的实现结构的不同。,二、数字滤波器的工作原理,h(n),x(n),y(n),则LTI系统的输出为：,三、数字滤波器表示方法,有两 种表示方法：方框图表示法；流图表示法.数字滤波器中,信号只有延时，乘以常数和相加三种运算。所以DF结构中有三个基本运算单元：加法器，单位延时，乘常数的乘法器。,1、方框图、流图表示法,Z-1,单位延时系
2、数乘相加,Z-1,a,方框图表示法：,信号流图表示法：,a,把上述三个基本单元互联，可构成不同数字网络或运算结构，也有方框图表示法和流图表示法。,2.例子,例：二阶数字滤波器：,其方框图及流图结构如下：,Z-1,Z-1,x(n),y(n),b0,a1,a2,x(n),y(n),b0,a1,a2,Z-1,Z-1,看出：可通过流图或方框图看出系统的运算步骤和运算结构。以后我们用流图来分析数字滤波器结构。DF网络结构或DF运算结构二个术语有微小的差别，但大抵一样，可以混用。,四、数字滤波器的分类,滤波器的种类很多，分类方法也不同。1.从功能上分；低、带、高、带阻。2.从实现方法上分:FIR、IIR3
3、.从设计方法上来分：Chebyshev(切比雪夫）,Butterworth（巴特沃斯）4.从处理信号分：经典滤波器、现代滤波器等等。,1、经典滤波器,假定输入信号x(n)中的有用成分和希望去除的成分，各自占有不同的频带。当x(n）经过一个线性系统（即滤波器）后即可将欲去除的成分有效地去除。但如果信号和噪声的频谱相互重叠，那么经典滤波器将无能为力。,2.现代滤波器,它主要研究内容是从含有噪声的数据记录（又称时间序列）中估计出信号的某些特征或信号本身。一旦信号被估计出，那么估计出的信号将比原信号会有高的信噪比。现代滤波器把信号和噪声都视为随机信号，利用它们的统计特征（如自相关函数、功率谱等）导出一
4、套最佳估值算法，然后用硬件或软件予以实现。现代滤波器理论源于维纳在40年代及其以后的工作，这一类滤波器的代表为：维纳滤波器，此外，还有卡尔曼滤波器、线性预测器、自适应滤波器。本课程主要讲经典滤波器，外带一点自适应滤波器,3.模拟滤波器和数字滤波器,经典滤波器从功能上分又可分为：低通滤波器（LPAF/LPDF):Low pass analog filter带通滤波器(BPAF/BPDF):Bandpass analog filter高通滤波器(HPAF/HPDF):High pass analog filter带阻滤波器(BSAF/BSDF):Bandstop analog filter即它们每
5、一种又可分为：数字(Digital)和模拟(Analog)滤波器。,4.模拟滤波器的理想幅频特性,LPAFHPAFBPAFBSAF,5.数字滤波器的理想幅频特性,LPDFHPDFBPDFBSDF,五、研究DF实现结构意义,1.滤波器的基本特性（如有限长冲激响应FIR与无限长冲激响应IIR）决定了结构上有不同的特点。2.不同结构所需的存储单元及乘法次数不同，前者影响复杂性，后者影响运算速度。3.有限精度（有限字长）实现情况下，不同运算结构的误差及稳定性不同。4.好的滤波器结构应该易于控制滤波器性能，适合于模块化实现，便于时分复用。,六、本章介绍主要的内容,1.分别介绍FIR、IIR滤波器实现的基
6、本结构。2.介绍一种特殊的滤波器结构实现形式：格型滤波器结构.,第二节 IIR DF的基本结构,一、IIR DF特点,1.单位冲激响应h(n)是无限长的n2.系统函数H(z)在有限长Z平面（0|Z|)有极点存在。3.结构上存在输出到输入的反馈，也即结构上是递归型的。4.因果稳定的IIR滤波器其全部极点一定在单位园内。,二、IIR DF基本结构,IIR DF类型有：直接型、级联型、并联型。直接型结构：直接I型、直接II型（正准型、典范型）。,1、IIR DF系统函数及差分方程,一个N阶IIR DF有理的系统函数可能表示为：,以下我们讨论M=N情况。则这一系统差分方程为：,2、直接I型（1)直接I
7、型流图,IIRDF的差分方程就代表了一种最直接的计算公式，用流图表现出来的实现结构即为直接I型结构（即由差分方程直接实现。）,x(n),b0,b1,b2,Z-1,Z-1,y(n),a1,a2,Z-1,Z-1,b M+1,bM,Z-1,Z-1,a N-1,aN,Z-1,Z-1,方程看出：y(n)由两部分组成：第一部分 是一个对输入x(n)的M节延时链结构。即每个延时抽头后加权相加，即是一个横向网络。第二部分 是一个N节延时链结构网络。不过它是对y(n)延时，因而是个反馈网络。,(2)结构的特点,此结构的特点为：(1)两个网络级联：第一个横向结构M节延延时网络实现零点，第二个有反馈的N节延时网络实
8、现极点。(2)共需(N+M)级延时单元(3)系数ai,bi不是直接决定单个零极点，因而不能很好地进行滤波器性能控制。(4)极点对系数的变化过于灵敏，从而使系统频率响应对系统变化过于灵敏，也就是对有限精度（有限字长）运算过于灵敏，容易出现不稳定或产生较大误差。,3、直接II型（正准型/典范型）（1)直接II型原理,从上面直接型结构的两部分看成两个独立的网络（即两个子系统）。原理：一个线性时不变系统，若交换其级联子系统的次序，系统函数不变。把此原理应用于直接I型结构。即：（1）交换两个级联网络的次序（2）合并两个具有相同输入的延时支路。得到另一种结构即直接II型。,(2)直接II型的结构流图过程1
9、-对调,x(n),b0,b1,b2,Z-1,Z-1,y(n),a1,a2,Z-1,Z-1,b M+1,bM,Z-1,Z-1,a N-1,aN,Z-1,Z-1,第一部分,第二部分,对调,x(n),y(n),a1,a2,Z-1,Z-1,a N-1,aN,Z-1,Z-1,b0,b1,b2,Z-1,Z-1,b M+1,bM,Z-1,Z-1,对调,(3)直接II型的结构流图过程2-合并,x(n),a1,a2,Z-1,Z-1,a N-1,aN,Z-1,Z-1,b0,b1,b2,Z-1,Z-1,b M+1,bM,Z-1,Z-1,合并,x(n),a1,a2,Z-1,Z-1,a N-1,aN,Z-1,Z-1,b
10、0,b1,b2,b M+1,bM,y(n),y(n),由于对调后前后两路都有一条内容完全相同的延时链，可以合并为一条即可。,这就是直接II型的结构流图。,(4)直接II型特点,直接II型结构特点：(1)两个网络级联。第一个有反馈的N节延时网络实现极点；第二个横向结构M节延时网络实现零点。(2)实现N阶滤波器（一般N=M)只需N级延时单元，所需延时单元最少。故称典范型。(3)同直接I型一样，具有直接型实现的一般缺点。,例子,已知IIR DF系统函数，画出直接I型、直接II型的结构流图。,解：为了得到直接I、II型结构，必须将H(z)代为Z-1的有理式；,x(n),8,-4,11,Z-1,Z-1,
11、y(n),5/4,-3/4,Z-1,Z-1,Z-1,1/8,Z-1,2,5/4,Z-1,Z-1,Z-1,-3/4,1/8,-4,11,2,8,y(n),x(n),注意反馈部分系数符号,4、级联型结构(1)系统函数因式分解,一个N阶系统函数可用它的零、极点来表示即系统函数的分子、分母进行因式分解：,(2)系统函数系数分析,(3)基本二阶节的级联结构,(4)滤波器的基本二阶节,所以，滤波器就可以用若干个二阶网络级联起来构成。这每一个二阶网络也称滤波器的基本二阶节（即滤波器的二阶节）。一个基本二阶节的系统函数的形式为：,一般用直接II型（正准型、典范型表示）,x(n),1i,a2i,Z-1,Z-1,
12、a1i,2i,y(n),(5)用二阶节级联表示的滤波器系统,整个滤波器则是多个二阶节级联,x(n),11,a21,Z-1,Z-1,a11,21,12,a22,Z-1,Z-1,a12,22,1M,a2M,Z-1,Z-1,a1M,2M,y(n),.,例子,设IIR数字滤波器系统函数为：,1,Z-1,1,1,1,Z-1,Z-1,1,1,y(n),x(n),(6)级联结构的特点,从级联结构中看出：它的每一个基本节只关系到滤波器的某一对极点和一对零点。调整1i,2i,只单独调整滤波器第I对零点，而不影响其它零点。同样，调整a1i,a2i,只单独调整滤波器第I对极点，而不影响其它极点。级联结构特点：(a)
13、每个二阶节系数单独控制一对零点或一对极点，有利于控制频率响应。(b)分子分母中二阶因子配合成基本二阶节的方式，以及各二阶节的排列次序不同。,5、并联型(1)系统函数的部分分式展开,将系统函数展成部分分式的形式：用并联的方式实现DF。,“相加”在电路中实现用并联。如果遇到某一系数为复数，那么一定有另一个为共轭复数，将它们合并为二阶实数的部分分式。,(2)基本二阶节的并联结构,AN1,Z-1,a1,x(n),aN1,a11,Z-1,Z-1,A1,11,y(n),A0,.,01,a21,a1N2,a2N2,0N2,1N2,其实现结构为：,(3)并联型基本二阶节结构,并联型的基本二阶节的形式：,其中：
14、要求分子比分母小一阶,x(n),0,a2,Z-1,Z-1,a1,1,y(n),(4)并联型特点,(1)可以单独调整极点位置，但不能象级联那样直接控制零点(因为只为各二阶节网络的零点，并非整个系统函数的零点)。(2)其误差最小。因为并联型各基本节的误差互不影响，所以比级联误差还少。若某一支路a1误差为1，但总系统的误差仍可达到少1。(因为分成a1,a2.支路).注意：(1)为什么二阶节是最基本的？因为二阶节是实系数，而一阶节一般为复系数。(2)统一用二阶节表示，保持结构上的一致性，有利于时分多路复用。(3)级联结构与并联结构的基本二阶节是不同的。,（5）例子,其并联结构为：,x(n),Z-1,Z
15、-1,1,4,y(n),1,6,1,-6,-1,Z-1,第三节FIR DF的结构（有限长冲激响应滤波器）,一、FIR DF的特点,(1)系统的单位冲激响应h(n)在有限个n值处不为零。即h(n)是个有限长序列。(2)系统函数|H(z)|在|z|0处收敛，极点全部在z=0处(即FIR一定为稳定系统)(3)结构上主要是非递归结构，没有输出到输入反馈。但有些结构中（例如频率抽样结构）也包含有反馈的递归部分。,二、FIR的系统函数及差分方程,长度为N的单位冲激响应h(n)的系统函数为：,三、FIR滤波器实现基本结构,（1）FIR的横截型结构（直接型）（2）FIR的级联型结构（3）FIR的线性型 结构（
16、4）FIR的频率抽样型结构（5）FIR的轨迹卷积型结构,1.FIR直接型结构（卷积型、横截型）(1)流图,h(0),h(1),h(2),h(N-1),h(N),Z-1,Z-1,Z-1,Z-1,x(n),y(n),倒下,h(0),h(1),h(N-1),h(N),Z-1,Z-1,Z-1,Z-1,y(n),x(n),（2）框图,Z-1,Z-1,Z-1,Z-1,.,x(n),h(0),h(1),h(2),h(N-1),y(n),2.级联型结构（1）流图,当需要控制滤波器的传输零点时，可将H(z)系统函数分解成二阶实系数因子的形成：,即可以由多个二阶节级联实现，每个二阶节用横截型结构实现。,x(n),
17、11,Z-1,Z-1,21,12,Z-1,Z-1,22,1N/2,Z-1,Z-1,2N/2,y(n),.,01,02,0N/21,（2）级联型结构特点,由于这种结构所需的系数比直接型多，所需乘法运算也比直接型多，很少用。由于这种结构的每一节控制一对零点，因而只能在需要控制传输零点时用。,3.线性相位FIR型结构（1）定义,所谓线性相位：是指滤波器产生的相移与输入信号频率成线性关系。,（2）线性相位FIR DF具有特性,h(n)是因果的，为实数，且满足对称性。即满足约束条件：h(n)=h(N-1-n)其中:h(n)为偶对称时，h(n)=h(N-1-n);h(n)为奇对称时，h(n)=-h(N-1
18、-n);下面我们针对h(n)奇、偶进行讨论。,（3）h(n)为偶数，N=偶数时(a)FIR的线性相位的特性,令n=N-1-n代入,用n=n,再用n=n,并应用线性FIR特性：h(n)=h(N-1-n),(b)h(n)为偶数，N=偶数时,线性相位FIR的结构流图,Z-1,Z-1,Z-1,Z-1,Z-1,Z-1,x(n),y(n),x(n-N/2+1),h(0),h(1),h(2),h(3),h(N/2-2),h(N/2-1),.,h(N-1),其中h(0)=h(N-1),h(2)=h(N-2),（4）h(n)为偶数，N=奇数时(a)FIR的线性相位的特性,当N=奇数时，有一中间项h(N-1)/2
19、)无法合并，需提出：,(b)h(n)为偶数，N=奇数时,线性相位FIR的结构流图,Z-1,Z-1,Z-1,Z-1,Z-1,Z-1,x(n),y(n),h(0),h(1),h(2),h(3),.,h(N-1),其中h(0)=h(N-1),h(2)=h(N-2),h(N-3)/2)=h(N-1)/2,共有（N-3）/2项,（5）总结：h(n)为偶数，N=奇、偶数时FIR的线性相位的特性,同理，当h(n)=偶对称时，即h(n)=h(N-1-n),可求出:,N=奇数时，,（6）h(n)为奇数，N=奇、偶数时FIR的线性相位的特性,同理，当h(n)=奇对称时，即h(n)=-h(N-1-n),可求出:,N
20、=奇数时，,4.快速卷积结构（1）原理,设FIR DF的单位冲激响应h(n)的非零值长度为M，输入x(n)的非零值长度为N。则输出y(n)=x(n)*h(n),且长度L=N+M-1若将x(n)补零加长至L，补L-N个零点，将h(n)补零加长至L，补L-M个零点。这样进行L点圆周卷积，可代替x(n)*h(n)线卷积。其中：而由圆卷积可用DFT和IDFT来计算，即可得到FIR的快速卷积结构。,（2）快速 卷积结构框图,L点DFT,L点DFT,L点DFT,X(k),H(k),Y(k),x(n),h(n),当N，M中够大时，比直接计算线性卷积快多了。,5、频率抽样型结构(1)频率抽样型结构的导入,若F
21、IR DF 的冲激响应为有限长（N点）序列h(n),则有：,h(n),H(z),H(k),H(ejw),DFT,取主值序列,N等分抽样,单位园上频响,Z变换,内插,所以，对h(n)可以利用DFT得到H(k)，再利用内插公式：,来表示系统函数。,（2）频率抽样型滤波器结构,由：,得到FIR滤波器提供另一种结构：频率抽样型结构。它是由两部分级联而成。,其中：级联中的第一部分为梳状滤波器：第二部分由N个谐振器组成的谐振柜。,(3)梳状滤波器(a)零、极点特性,它是一个由N节延时单元所组成的梳状滤波器。它在单位园上有N个等分的零点、无极点。,由,看出：,(b)幅频特性及流图,频率响应为：,w,|H(e
22、jw)|,0,.,.,幅频曲线：,1,x(n),y(n),-Z-N,梳状滤波器信号流图：,（4）谐振器,谐振器：是一个阶网络。,Z-1,W-k,H(k),Hk(z),谐振器的零极点：此为一阶网络，有一极点：,(5)谐振柜,谐振柜：它是由N个谐振器并联而成的。,这个谐振柜的极点正好与梳状滤波器的一个零点（i=k)相抵消，从而使这个频率（w=2k/N)上的频率响应等于H(k).将两部分级联起来，得到频率抽样结构。,（6）频率抽样型结构流图,Z-1,W-k,H(0),Z-1,W-k,H(1),Z-1,W-k,H(2),Z-1,W-k,H(N-1),-Z-N,x(n),y(n),(7)频率抽样型结构特
23、点,(1)它的系数H(k)直接就是滤波器在 处的频率响应。因此，控制滤波器的频率响应是很直接的。(2)结构有两个主要缺点：(a)所有的相乘系数及H(k)都是复数，应将它们先化成二阶的实数，这样乘起来较复杂，增加乘法次数，存储量。(b)所有谐振器的极点都是在单位园上,由 决定考虑到系数量化的影响，当系数量化时，极点会移动，有些极点就不能被梳状滤波器的零点所抵消。（零点由延时单元决定，不受量化的影响）系统就不稳定了。,6、修正的频率抽结构（1）产生的原因,为了克服系数量化后可能不稳定的缺点，将频率抽样结构做一点修正。即将所有零极点都移到单位园内某一靠近单位园、半径为r(r1)的园上，同时梳状滤波器
24、的零点也移到r园上。（即将频率采样由单位园移到修正半径r的园上）,(2)修正的频率抽样结构的系统函数,为了使系数是实数，可将共 轭根合并，这些共轭根在半径为r的圆周上以实轴成对称分布。,(3)修正的频率抽样结构的系统 极点分布,0,0,|z|=r,N=8,N=7,(4)修正频率结构的复根部分：第k和第N-k个谐振器合并为一个实系数的二阶网络,因为h(n)是实数，它的DFT也是圆周共轭对称的。,因此，可以将第k和第N-k个谐振器合并为一个二阶网络。,(5)有限Q的谐振器,第k和第N-k个谐振器合并为一个二阶网络的极点在单位园内，而不是在单位园上，因而从频率响应的几何解释可知，它相当于一个有限Q的
25、谐振器。其谐振频率为：,(6)修正频率抽样结构的谐振器的实根部分,除了共轭复根外，还有实根。当N=偶数时，有一对实根，它们分别为 两点。,当N=奇数时，只有一个实根z=r(k=0），即只有H0(z).,r,-r,(7)修正频率抽样结构流图（N=偶数）,r,-r,x(n),y(n),.,(8)修正频率抽样结构流图（N=奇数）,r,x(n),y(n),.,(9)修正频率抽样结构的特点,（1）结构有递归型部分谐振柜又有非递归部分-梳状滤波器。（2）它的零、极点数目只取决于单位抽样响应的长度，因而单位冲激响应长度相同，利用同一梳状滤波器、同一结构而只有加权系数0k,1k,H(0),H(N/2)不同的谐振器，就能得到各种不同的滤波器（3）其结构可以高度模块化，适用于时分复用。,(10)频率抽样结构的应用范围,(1)如果多数频率特性的采样值H(k)为零，例：窄带低通情况下，这时谐振器中剩下少数几个所需要的谐振器，因而可以比直接型少用乘法器，但存储器还是比直接型多用一些。（2）可以共同使用多个并列的滤波器。例：信号频谱分析中，要求同时将信号的各种频率分量分别滤出来，这时可采用频率采样结构的滤波器，大家共用一个梳状滤波器及谐振柜，只是将各谐振器的输出适当加权组合就能组成各所需的滤波器。这样结构具有很大的经济性。（3）常用于窄带滤波，不适于宽带滤波。,
