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1、3 高斯公式与斯托克斯公式,高斯公式与斯托克斯公式都是格林公式的推广.格林公式建立了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的第二型曲线积分之间的关系;高斯公式建立了空间区域上的三重积分与其边界曲面上的第二型曲面积分之间的关系;斯托克斯公式建立了空间曲面上的第二型曲面积分与其边界曲线上的第二型曲线积分之间的关系.,返回,一、高斯公式,二、斯托克斯公式,一、高斯公式,续偏导数,则,其中 S 取外侧.(1)式称为高斯公式.,这些结果相加便得到高斯公式(1).,先设V是一个 xy 型区域,即其边界曲面 S 由曲面,证明其余两式:,组成(图22-7),其中,于是按三重积分的计算方,法,有,从而得到,对于不是
2、 xy 型区域的情形,一般可用有限个光滑,积为零,所以,曲面将它分割成若干个 xy 型区域来讨论.,例1 计算,其中 S 是边长为 a 的正立方体表面并取外侧.,解 应用高斯公式,于是得到应用第二型曲面积分计算空间区域 V 的体,积的公式:,例2 计算,上侧.,解 由于曲面不是封闭的,不能直接应用高斯公式.,为了能使用高斯公式以方便计算,可补充一块平面,闭曲面.于是,而,因此,设,二、斯托克斯公式,先对双侧曲面 S 的侧与其边界曲线 L 的方向作如下,规定:设有人站在 S 上指定的一侧,若沿 L 行走,指,定的侧总在人的左方,则人前进的方向为边界线 L,的正向;若沿 L 行走,指定的侧总在人的
3、右方,则人,前进的方向为边界线 L 的负向.这个规定也称为右,手法则,如图 22-9 所示.,定理22.4 设光滑曲面 S 的边界 L 是按段光滑的连,续曲线.若函数 P,Q,R 在 S(连同 L)上连续,且有,一阶连续偏导数,则有斯托克斯公式如下:,其中 S 的侧与 L 的方向按右手法则确定.,证 先证,其中曲面 S 由方程 确定,它的正侧法线方,(3),公式有,所以,所以,因为,将(3),(4),(5)三式相加,即得公式(2).,光滑曲线把 S 分割为若干小块,使每一小块能用这,综合上述结果,便得到所要证明的(3)式.,为了便于记忆,斯托克斯公式也常写成如下形式:,种形式来表示.因而这时(
4、2)式也能成立.,与各坐标面的交线,取图 22-8,所示的方向.,解 应用斯托克斯公式推得:,车胎状的环形区域则是非单连通的.,与平面曲线积分相仿,空间曲线积分与路线的无关,性也有下面相应的定理.,不经过 V 以外的点而连续收缩于属于 V 的一点.例,如:两同心球面所界定的区域仍是单连通的;而形如,区域 V 称为单连通的,如果 V 内任一封闭曲线皆可,注 上述之单连通,又称为“按曲面单连通”.其意,义是:对于 V 内任一封闭曲线 L,均能以 L 为边界,绷起一个位于 V 中的曲面.,与路线无关;,(i)对于 内任一按段光滑的封闭曲线 L 有,(ii)对于 内任一按段光滑的封闭曲线 L,曲线积分,个条件是等价的:,Q,R 在 上连续,且有一阶连续偏导数,则以下四,例5 验证曲线积分,与路线无关,并求被积表达式的原函数,这个定理的证明与定理 21.12 相仿,这里不重复了.,在 内处处成立.,即,所以曲线积分与路线无关.现在求原函数:,解 对于,显然有,再沿平行于,y 轴的直线到,最后沿平行于 z 轴的直线,为原点,则得 若取 为任意点,则 为一任,意常数.,
