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1、3.1 几种创新思维方法3.2 数学建模-问题前期分析 示例1 录像机计数器的用途 示例2 汽车刹车距离,第三章 数学建模方法论,数学模型(定义)：关于部分现实世界为一定目的而做的抽象、简化的数学结构。,重要的科学思维方式之一是创新思维，创新思维是创新能力的核心与灵魂。,几种创新思维方法,现实世界,数学世界,建立数学模型,推理演绎求解,翻译为实际解答,实际解答：如对现实对象的分析、预报、决策、控制等结果。,始于现实世界并终于现实世界,数学模型是现实世界与数学世界的理想桥梁，,*数学建模没有普遍适用的方法与技巧.,*有一些普遍适用的思想方法与思维方式.,整个数学建模过程由若干个有明显差别的阶段性
2、工作组成,怎样构架这座桥梁？,求解数学模型,实际问题分析,建立数学模型,提交论文与报告,模型与模型解的分析及检验,数学建模的各阶段工作,此流程 具有指导意义，应注意,*流程应用是弹性的，切不能生搬硬套.,本章基本上按照此流程来介绍数学建模的方法。,*建模过程往往是一个反复循环的过程.,数学建模过程是一种创新过程，在思考方法和思维方式上与学习其他课程有很大差别。,数学创新思维,.等等.,类比思维,归纳思维,逆向思维,发散思维,猜测思维,掌握几类方法：问题解决法、思想表达法、创造发明法.,方法的共同特点：不轻易否定别人的意见，怀疑一般常识，努力发现别人尚未察觉的事物等,以下介绍几种（个体和集体的）
3、创造性思维方法,对于创造能力的培养不可或缺,一、打开思路的方法,面对新问题，应尽量打开自己的思路：,发散性思维和猜测思维是创造性思维方式的重要组成部分,1.不要轻易沿一条思路深入，不要轻易做出结论.,2.尽量多一些想法，多一些猜测。,思考、思考、再思考.,帮助展开思路的方法：,关键词联想法,提问题法,1.提问题法,面临难题,束手无策时通过提出一系列问题来导出一些想法或一个好的方案.,如：,(l)这个问题和什么问题相类似？,(2)假如变动问题的某些条件将会怎样？,借助于一系列问题来展开思路.,(4)重新组合又会怎样？,(3)将问题分解成若干部分再考虑会怎样？,为进一步打开思路可提以下问题：,(5
4、)我们还可以做什么工作？,(6)有无需要进一步完善的内容？,(7)可否换一种数学工具来解决此问题？,针对问题和初始方案可以先设计出类似的问题清单，然后反复展开。,例1 穿越公路问题,一条公路交通不太拥挤,以致人们养成“冲”过马路的习惯,不愿行走到邻近较远处的“斑马线”.当地交通管理部门不允许任意横穿公路,为方便行人，准备在一些特殊地点增设“斑马线”,让行人可穿越公路,并且还要保证行人的平均等待时间不超过15秒.,增设“斑马线”需考虑哪些方面的问题？,1.考虑问题的立场,司机或行人的哪方面的 利益更为重要？,公路情况:是否有弯道？车道间是否设 有安全隔离带？,3.车流情况：车流的密度大小？,4.
5、行人情况:穿越公路的速度大小？穿越公 路的人群密度？穿越公路者的性质？,问题分析 此问题的特点是机理复杂,受到较多随机因素的影响,类似于渡口模型,可采用统计模拟方法加以解决.,一种新产品刚面世，厂家和商家总是采取各种措施促进销售，比如不惜血本大做广告等等.他们都希望对这种新产品的推销速度做到心中有数,厂家用于组织生产，商家便于安排进货.,例2 电饭煲销售问题,怎样建立一个数学模型描述新产品(电饭煲)推销速度，并由此分析出一些有用的结果以指导生产.,想一想 此问题与我们遇到的哪一个建模问题 相类似？,分析 Logistic人口模型，t 时刻的人口数为,t0,改写为,数学分析,1.若 r0，则S0
6、，随着,则,2.若 r0，讨论Logistic曲线特征,N(t)是单调上升函数.,K是使得人口净增长率 r(K)=0 的人口数，可理解为该地区能容纳的人口上限.,人口不会无限增长，存在一个转折时间点t0，过此点以后增长速度会减缓。,(1)一般每户只需用12只电饭煲就足够,一个地区的需求量是有限的；,电饭煲的销售情况类似于人口增长情况,可利用类比方法建立模型.,Logistic模型特点：初期高速增长，过一个特定时间点后增长速度减缓，且有上界控制.,对原问题的分析：,(2)初期在广告之类推销作用下销售速度较快,商品趋于饱和时销售速度会减缓.,记x(t)为t 时刻已售出的电饭煲总数,市场的饱和量(最
7、大需求量)为M,利用Logistic模型,来描述电饭煲的销售速度变化情况.,实际情况与Logistic销售曲线十分吻合,思考 请考虑现实中哪些变量的变化可用 Logistic模型进行描述？,现代化都市里大楼林立,这些拔地而起的摩天大楼安全性不容忽视,我们经常耳闻目睹大楼内发生意外情况,造成令人震惊的人员伤亡和财产损失.大楼内居住人员的安全保障在于无论发生什么情况,都能使人员有组织,有秩序地进行疏散撤离.,例3“9.11”事件的反思,一座大楼的管委会想进行一次紧急疏散人员的演习.,问题分析 演习之前需要考虑许多方面,如大楼内的设施、人员的分布情况、撤离路线的设计、撤离的步骤等等，这是一个较庞大的
8、系统工程,应考虑将此问题分解成为若干个子问题，如,*一个房间内人员的撤离；,*一个通道的撤离；,*一层楼人员的撤离；,最后，将各个子问题重新组合起来.,2.关键词联想法,主要步骤如下：,(1)抓住问题或方案的关键词,不受任何约束地进行联想；,(2)把联想到的内容用关键词的方式登记在卡片上,进一步激发产生新的想法,进一步想出新的主意；,(3)再把积攒的卡片相互搭配,形成解决问题的初步思路与步骤.,一种有效的发散思维方式.,在约10,000米高空的某边长160公里的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行.区域内每架飞机的位置和速度均由计算机记录其数据,以便进行飞行管理.当一架欲进入该区域的飞机到
9、达区域边缘,记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞.如果会碰撞,则应,例4 飞行管理问题,请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型,列出计算步骤,对以下数据进行计算(方向角误差不超过0.01度).要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小.记录数据为：试根据实际应用背景对你的模型进行评价与推广.,计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行方向角，以避免碰撞.现假定条件如下：,*对问题仔细阅读,首先抓住题目中的关键词“管理”进行联想.,*抓住诸如“碰撞”、“调整”、“避免碰撞”、“立即”、“判断”等等词语.,*联系解决问题的方案,不加约束继续联想，再将关键词搭配起来.,立即 判断,
10、碰撞,条件,实时,算法,避免 碰撞,调整 方向角,实时,幅度尽量小,相对,距离,优化问题,优化算法,优化调整方案,问题的初步理解和想法:,飞行管理问题是优化问题,在调整方向角的幅度尽量小的同时，还必须注意调整方案及算法的实时性.,思考题：尝试读题与分析,MCM1999A题：强烈的碰撞,美国国家航空和航天局(NASA)从过去某个时间以来一直在考虑一颗大的小行星撞击地球会产生的后果。作为这种努力的组成部分，要求你们队来考虑这种撞击的后果，假如该小行星撞击到了南极洲的话。人们关心的是撞到南极洲比撞到地球的其他地方可能会有很不同的后果。,假如小行星的直径大约为1000米，还假设它正好在南极与南极洲大陆
11、相撞。要求你们队对这样一颗小行星的撞击提供评估。特别是，NASA希望有一个关于这种撞击下可能的人类人员伤亡的数量和所在地区的估计，对南半球海洋的食物生产区域造成的破坏的估计，以及由于南极洲极地冰岩的大量融化造成的可能的沿海岸地区的洪水的估计。,后果,强烈的碰撞读题分析,撞击,爆炸？,冲击波,地震、海啸、飓风,热能释放,冰融,海岸线上升,洪水,放射物,粉尘放射,减少日照、大气层变化,人员伤亡,所在地区,沿海,海啸、地震、洪水、放射物,食物生产区的破坏,冰融,对地球运行轨迹的影响,相关因素：,小行星形状、成分与密度,撞击角度、速度、位置（运行轨迹）,太阳、地球、月亮轨道,能量来源,引力、动能,南极
12、冰盖的成分（深度、密度、温度）,冰融的估算,以及冰盖下的成分,大气环流,粉尘的传送,温室效应,相关理论：,Newton引力模型,轨迹,碰撞的动力学,冰的热力学（冰融、汽化）、热传导,生态系统（磷虾.krill）,水温,后期工作：,预测与预警,二、整体把握问题的方法,有两种把握住问题的全貌的有效方法：,(1)层次结构法,(2)问题分解法,有专著介绍,问题分解法是一种简单而有效的把握问题整体的方法.,将问题分解为“三要素”的三个部分.,问题分解三要素,初态,目标态,过程,觉察到的现在状态(目前“有什么”，如条件、数据等).,觉察到的希望目标(想要什么、希望达到什么等).,能在“初态”和“目标态”之
13、间发生作用的行动(能做什么).,例5 常见数学题目模式,已知,求（证）,解题,初态,目标态,过程,主要教学目标,*解决实际问题时，分析出问题的初态和目标态很困难.,*未清晰地描述出问题的“初态”和“目标态”之前，过早地进入解决问题的阶段，会条件不清、目标不明.,尽量拓展思路的基础上,再进行充分分析得到的问题分解结果：,例6飞行管理问题,初态：现有飞机的飞行状态（数据）与碰撞条件,过程：建立碰撞的判别准则，优化管理方案及相应算法.,目标态：实时调整，避免碰撞。,课后练习题目：“气象观察站调整问题”前期问题分析与问题分解。,气象观察站调整问题,某地区内有12个气象观察站（位置如图),有10年各观察
14、站的年降水量数据.为了节省开支，想要适当减少气象站.,问题：减少哪些观察站可以使得到的降水量的信息量仍然足够大？,如何利用熵的概念解决此问题，给出解决问题的思路。,x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10,问题：怎样比较信息的大小？信息的多少能不能度量？,降水量的信息量仍然足够大？,总结评讲,1.问题分析,首先找出问题中的关键词，进行联想.,减少 站数,删除原则,各站关系,降水数据,保持 信息量,足够大,衡量指标,衡量指标,熵,降水数据,2.问题的分解,初态：12个气象站的年降水数据。,（无日或月的降水数据，也无地理、气候等其它条件.）,目标态：减少气象站数，并保持降水量足
15、够大的信息量.,过程：（将做的事情）,(1)信息量的衡量（用熵）；,(2)给出删除气象站的条件及原则；,(3)建立保持足够信息量的判别条件；,解决问题的惟一出发点,(1)确定各气象站的年降水量：,的概率分布，并计算各个气象站降水量的熵值.,(2)分析判断各站年降水量(两两之间或多个变量间)是否存在相关关系(线性的或非线性的)，并据此保留其中熵值较大的气象站.,随机变量,另一种方法：用聚类分析法进行聚类.,3.解决问题的思路,（可由降水数据分析各个气象站的相似性，如同为干旱、湿润地区等.）,统计检验,1)设定一个阈值，保留所有熵值大于阈值的气象站；,2)使保留气象站的信息量总和占原信息量总和的一
16、定比例.,可考虑各种判别条件，如：,(3)建立保持足够信息量的判别条件,注：阈值或比例值均需背景知识和经验来确定。,仍保留降水量的信息量较大的站。,数学模型(定义)：关于部分现实世界为一定目的而做的抽象、简化的数学结构。,数学模型是对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律,做出必要的简化假设，运用适当的数学工具建立的一个数学结构.,数学建模-问题前期分析,问题的前期分析 包括：明确问题、分析条件、分析数据等。,为什么问题前期分析至关重要？,数学建模问题往往含混不清,可能的原因有:,*提出问题的人未能清楚地表述问题.,*不同领域的人交流出现故障.,*各领域的应用者提出问题
17、时,未给出恰当的条件.,对问题进行充分的前期分析以前,过早着手决问题,往往会陷入一些意想不到的陷阱,或者偏离解决问题的方向.,一.明确问题,例 一家大商业印刷公司的经理就关于应 该雇多少推销员的问题征询你的意见.,“究竟需要做什么？”,遇到一个新问题时,首先应问自己,*未能准确理解问题.,着眼点是对各类推销队伍的工作效果进行分析。,原问题“推销员人数问题”明确为：,(1)不同规模的销售队伍会有什么影响；,(2)怎样从他们的销售工作中获取最大的收益.,明确了工作的目标,即设置好问题的目标态.,为明确问题,可向有关人员询问如下问题：,1.公司的规模有多大？,2.该公司的推销员的工作方式？,推销员人
18、数,获取较大的投入产出比。,顾客,地域,分析确定出各有关因素,画出问题的层次结构图,顾客容量,市场份额,现有,定货量,潜在,转移 概率,转变 概率,现有,潜在,二.条件及数据分析,设置好问题的目标态,着手工作还需要做以下工作：,1.收集必要的资料和数据。,2.分析现有的数据和条件,使问题进一步 明确化.,我国淡水资源有限.节约用水人人有责,洗衣机在家庭用水中占有相当大的份额,目前洗衣,例3.3.2 节水洗衣机问题,机已非常普及,节约洗衣机用水十分重要.假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为：加水漂洗脱水加水漂洗脱水加水漂洗脱水(称“加水漂洗脱水”为运行一轮).请为洗衣机设计一种程序（包括运
19、行多少轮、每轮加水量等),使得在满足一定洗涤效果的条件下，总用水量最少.选用合理的数据进行运算，对照目前常用的洗衣机的运行情况，对你的模型和结果出评价.,*衣服的洗净效果指标(包括污物和残留洗涤剂)；,*不同质地衣物的脱水率或衣物的含水量C；,*洗衣机的最高水位H、最低水位L；,*各类污物(泥土、油腻等)和洗涤剂在水中的溶解特性。,怎样收集数据和资料？,分析：题目中没有一个数据,但问题却需要比 较多的数据及条件,如,可在各类图书馆、网上查阅、向专家询问、通过试验来得到。,收集数据应列入工作计划，并注意：,1.向有关人员调查情况应事先设计好问题；,2.事先确定所需资料清单、资料来源、收集方式。,
20、有条理的收集计划可以为后期的工作创造良好的条件,对收集到的或者现有的资料和数据要做仔细分析，使问题进一步明确.,为了保护人类赖以生存的自然环境,可再生资源(如渔业、林业资源)的开发必须适度,一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益.,例3.3.3 最优捕鱼策略,考虑对某种鱼的最优捕捞策略：假设这种鱼分4个年龄组，称1龄鱼，4龄鱼,各年龄组每条鱼的平均重量（单位：g）分别为5.07、11.55、17.86、22.99，各个年龄组的鱼的自然死亡率均为0.8(1/年),这种鱼为季节性集中产卵繁殖,平均每条4龄鱼的产卵量为1.109105个,3 龄鱼的产卵量为这个数的一
21、半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月,卵孵化并成活为1龄鱼,成活率（1龄鱼条数与产卵总量n之比）为,1.221011/（1.221011+n）,渔业管理部门规定,每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业.如果每年投入的捕捞能力(如渔船数、下网次数等)固定不变,这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比,比例系数不妨称捕捞强度系数.通常使用13mm 网眼的拉网,这种网只能捕3龄鱼和4龄鱼，其两个强度系数之比为0.42:1.渔业上称这种方式为固定努力捕捞.,建立数学模型分析如何实现可持续捕获(即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变),并且在此前提下得到最高的年收获量
22、(捕捞总重量),渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年,合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏.已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为:122,29.7，10.1，3.29（109为）条），,如果仍用固定努力量的捕捞方式,该公司应采取怎样的策略才能使总收获量最高.,分析：此题中的数据、条件特别多,有的难于把握,有的会直接影响到所建模型是否正确.,1.捕捞强度系数 q,单位时间捕捞量与鱼群条数成正比时的比例系数,可否理解为捕捞量占总鱼群量的百分率？,否！,将捕捞强度系数 q 的定义用数学表达式写出.,设i 龄鱼在t,t+t时间段内由捕捞产生的变化量（捕捞量）为,单位时间的捕捞量是,对任何时间间隔 t
23、都有,2.考虑 q 是否有量纲（或单位）？,思考：,1.此模型可与哪一个模型类比？,3.怎样理解捕捞强度系数q？,2.自然死亡率r(0.8（1/年）),是否理解为鱼死亡的概率为0.8？,不对！,类似于人口增长模型中的“自然（相对）增长率”，理解为鱼群未受其他外界影响下的“自然增长率”.,即单位时间内死亡鱼的数量与鱼的总量之比，可得描述鱼群自然死亡的微分方程：,请考虑在捕捞的情况下，鱼群数量变化的规律？,思考：,3.成活率c 的影响,成活率c 为1 龄鱼条数与产卵总量n 之比,c=1.221011/（1.221011+n）,设t 年的产卵量为n，则t+1年的1 龄鱼数目为,N1(t+1)=n c
24、,说明下一年1 龄鱼的成活率使得鱼群对于捕捞量有一定的适应能力.,0,充分分析正确理解数据和条件可以进一步明确问题。,5.哪些条件是可以变动的？等等。,2.数据来源是否可靠？,3.所给条件有什么意义？,4.哪些条件是本质的？,还应该分析,1.从数据中可得到什么信息？,问题,在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4450，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？,要求,不仅回答问题，而且建立计数器读数与录像带转过时间的关系。,思考,计数器读数是均匀增长的吗？,录像机计数器的用途,经试验，一盘标明180分钟的录像带从头走到尾，时间用了184分，计数器读数从0000变到6061。,录像机计数器的工
25、作原理,录像带运动,问题分析,观察,计数器读数增长越来越慢！,模型假设,录像带的运动速度是常数 v；,计数器读数 n与右轮转数 m成正比，记 m=kn；,录像带厚度（加两圈间空隙）为常数 w；,空右轮盘半径记作 r；,时间 t=0 时读数 n=0.,建模目的,建立时间t与读数n之间的关系,（设v,k,w,r为已知参数）,模型建立,建立t与n的函数关系有多种方法,1.右轮盘转第 i 圈的半径为r+wi,m圈的总长度等于录像带在时间t内移动的长度vt,所以,2.考察右轮盘面积的变化，等于录像带厚度乘以转过的长度，即,3.考察t到t+dt录像带在右轮盘缠绕的长度，有,模型建立,思 考,3种建模方法得
26、到同一结果,但仔细推算会发现稍有差别，请解释。,模型中有待定参数,一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法。,思 考,参数估计,另一种确定参数的方法测试分析,将模型改记作,只需估计 a,b,理论上，已知t=184,n=6061,再有一组(t,n)数据即可,实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合,现有一批测试数据：,用最小二乘法可得,模 型 检 验,应该另外测试一批数据检验模型：,模 型 应 用,回答提出的问题：由模型算得 n=4450 时 t=116.4分，剩下的录像带能录 184-116.4=67.6分钟的节目。,揭示了“t 与 n 之间呈二次函数关系”这一普遍规律，当录像带
27、的状态改变时，只需重新估计 a,b 即可。,汽车刹车距离,美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：,背景与问题,正常驾驶条件下,车速每增10英里/小时，后面与前车的距离应增一个车身的长度。,实现这个规则的简便办法是“2秒准则”：,后车司机从前车经过某一标志开始默数 2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何,判断“2秒准则”与“车身”规则是否一样；,建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。,问题分析,常识：刹车距离与车速有关,10英里/小时(16公里/小时)车速下2秒钟行驶29英尺(9米),车身的平均长度15英尺(=4.6米),“2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则不同,刹车距离,反应时间,司机状况,制动系统灵活性,制动器作用力、车重、车速、道路、气候,最大制动力与车质量成正比，使汽车作匀减速运动。,车速,假 设 与 建 模,1.刹车距离 d 等于反应距离 d1 与制动距离 d2 之和,2.反应距离 d1与车速 v成正比,3.刹车时使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的改变;,F d2=m v2/2,F m,t1为反应时间,且F与车的质量m成正比,反应时间 t1的经验估计值为0.75秒,参数估计,利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k,模 型,最小二乘法 k=0.06,“2秒准则”应修正为“t 秒准则”,模 型,
