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1、 莱斯利模型,假定在总体中任意一个女性的最大年龄是N岁，这里的总体仅指女性人口总体，并将其当做按不同年龄分组的个体的集合。,将总体分成n个期限相等的年龄组，于是每组的期限为N/n年，按下表来记下各个年龄组：,假设已知在时刻t=0时每一个组中的女性人数，令在第i组中有 个女性，则记为,这个向量称为初始年龄分布向量。,现在来考虑这n个组中每组的女性人数随时间的推移而变化的情况。设任意两个连续的观察时间间隔和年龄区间的期限相等，即令,这样，在时刻 时于第（i+1）组中的所有女性在时刻是均在第i组中。,在两次连续的观察时间之间的出生和死亡过程，用下述人口学参数来描述：,表示每一个女性在第i年龄组期间生
2、育儿女的平均数。,表示第i年龄组的女性可望活到第（i+1）年龄组的分数。,显然 不允许任何bi等于0，否则就没有一个没有女性会活到超过第i年龄组。,同样，至少有一个 是正的，这样就保证有n个女儿出生了。与正的 对应的年龄组称为生育年龄组。,记 是在时刻个 年龄组中的女性数目，则称,为在时刻 时年龄分布向量。在时刻，第一个年龄组中的女性数恰好就是在 和 之间出生的女孩数，即,（5.1）,（5.2）,将（5.1）式和（5.2）用矩阵表示即得,（5.3）,简记为,（5.4）,其中,称为莱斯利矩阵。由（5.4）式可得,（5.5）,因此，如果已知初始年林分布 及莱斯利矩阵L，就能求出在以后任何时间的女性
3、年龄分布。,极限状态,（5.5）式给出了总日在任意时间的年龄分布，但是它并不能直接反映增长过程动态的情况。,为此我们需要考虑莱斯利矩阵L的特征值和特征向量，L的特征根是它的特征多项式的根，这个特征多项式为,为了求这个多项式的根，引入函数,（5.6）,利用这个个函数，特征多项式 可写为,（5.7）,由于所有的 和 为非负的，可以看作 对于大于零是单调减少的。,另外，在 处有一条垂直渐近线，而当趋于无穷大时则趋于零。因此，存在唯一的一个，使得。即矩阵L有一个唯一的正特征值，是单根，对于 的一个特征向量是满足：的非零向量。,解得,（5.8）,由于 是单根，它相应的特征空间是一维的，因而任意它所对应的
4、特征向量 是某个倍数，则有定理,定理1 一个莱斯利矩阵L有一个唯一的正特征值，并且有一个所有元素均为正的特征向量。,总体年龄分布的长期行为是由正的特征值 及它的特征向量 来决定的。实际应用中，由数学软件很容易求出矩阵的特征值与特征向量，请读者参阅第四章相关内容。,定理2 如果 为莱斯利矩阵L的唯一的正特征值，是L的特征值，它可以是任意实数或复数，则。,称为L的主特征值。如果对L的所有其他特征值有，那么 称为L的严格主特征值。并不是所有的莱斯利矩阵都满足这个条件，例如,请读者利用数学软件验证L的唯一正特征值不是严格主特征值，并且有（单位矩阵）。,于是对于任意选择初始年龄分布，都有,因此年龄分布向
5、量以三个时间单位为周期而摆动，如果 是严格主特征值，这种摆动（也称人口波）就可能不会发生。,下面价格叙述关于 是严格主特征值的必要和充分条件。,定理3 如果莱斯利矩阵的第一行有两个连续的元素 和 不等于零，则L的正特征值就是严格主特征值。,因此，如果女性总体有两个相继的生育年龄组，它的莱斯利矩阵就是一个严格主特征值。只要年龄组的期限足够小，现实中的总体总是这中情况。,假设L是可对角化的，此时L有n 个特征值 与它们相对应的n个线性无关的特征向量为。将其中严格主特征值排在第一，建立一个矩阵P，其余个列就是L的特征向量。,于是L的对角化就由下式给出,则,因此，对于任意初始年龄分布向量 就有,此等式
6、两边除以，就得出,（5.9）,由于 是严格主特征值，所以 当 时,这样就得到,（5.10）,如果将列向量 的第一个元素用常熟C来表示，则可以证明（5.10）式右端为，C是一个只与初始年龄分布向量 有关的正常数，于是得到,（5.11）,对于足够大的k值，由（5.11）式给出近似式,（5.12）,由（5.12）式还可得出,（5.13）,比较（5.12）和（5.13）式可知对于足够大的k值，有,（5.14）,这说明对于足够大的时间值，每个年龄分布向量是前一个年龄分布向量的一个数量倍数，这个数量就是矩阵的正特征值。因此，在每一个年龄组中的女性比例据变为常量。,由给出常时期人口的年龄分布向量（5.12）式,根据正特征值 的数值，会有三种情况：,）如果，总体最终是增长的；,）如果，总体整体是减少的；,）如果，总体整体是不变的。,的情形有特殊意义，因为它决定了一个具有零增长的总体。对于任何初始年龄分布，总体趋于一个是特征向量的某个倍数,由（5.6）和（5.7）式可看出，当且仅当,（5.15）,时才有。,表达式,（5.16）,称为总体的净繁殖率。因此，总体的净繁殖率为1时，一个总体有零总体增长。,
