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1、数学建模作业 食堂排队问题建模,演讲人：马朋博 学号：20130067 班级:试1301 同组成员：高记远 许童心 韩敏 曾航,引言,在学校，我们常常可以看到这样的情景：下课后，许多同学争相跑向食堂去买饭，为数不多的食堂窗口前很快就排满了长长的队伍。所以增加窗口数量，减少排队等待时间，是同学们十分关心的问题。然而就食堂角度来看，虽然可以赢得更多同学到该食堂来就餐。但同时也会增加食堂的运营成本。因此，我们将根据综合食堂中午的拥挤状况建立数学模型，为其拥挤状况找到一个比较合理的解决方案。,摘要,首先，我们分析了一些调查数据，发现学生流符合泊松分布，服务时间符合指数分布，由此，我们的模型就变成了排队
2、理论模型。根据模型求解得到的数据，我们对模型分析后发现，解决本模型的关键就在于分析学生平均排队时间，如果对其窗口数进行关系拟合，就两者之间的关系进行分析。针对窗口数与顾客平均排队时间之间的关系，比较增加窗口后成本的增加量与减少排队等待时间所带来的收益之间的关系。,模型的建立与分析,我们假设食堂的座位数是足够的，不需要添加新的桌椅。所以解决食堂拥挤状况，主要解决排长队的问题。就此问题建立模型，进行分析。食堂窗口与就餐人员之间是服务机构与顾客的关系,可以按如下示意图表示,等待服务,顾客,接受服务,到达,排队规则,服务时间,服务系统,离开,我们假设学生到食堂就餐的时刻是随机的,用N(t)表示0,t)
3、时间内到达该服务系统的顾客数,用V(n)表示第n位顾客所需的服务时间,则有随机变量 V(n),n=1,2,.因此,由排队论的有关知识,t时刻到达服务系统的人数为k 的概率为:P(N(t)=k)=,k=1,2,其中0,第n位顾客所需的服务时间不超过t的概率服从负指数分布:P(V(n)t)=其中0.,为了使模型便于求解,我们假定：,每个工作人员的打饭效率相同。每个窗口的饭菜相同。食堂打饭服务系统的容量无限,来到食堂就餐的学 生不会在未打好饭之前离去.这样,得到一个输入过程为最简单流,服务时间为负指数分布,1个服务台,系统容量无限,顾客数无限的等待制排队模型.,这里,对有关符号的数量指标加以说明:,
4、单位时间内平均到达的顾客数,即平均到达率;单位时间内受到服务的顾客数,即平均服务率;1/每位顾客的平均服务时间;Lq 等待队长的期望值;Wq 等待时间的期望值.,模型求解,假设食堂有4个服务窗口,对该食堂进行讨论.在12:00至12:40之间,每4分钟为1个时段,统计到达人数,如下表.,求得平均到达率为:=(68+93+105+118+134+147+136+113+89+47)/(1044)=5.94(人/分钟),相应地,对50名顾客接受服务的时间进行统计,得到下表.,1/=(22.5+357.5+812.5+317.5+122.5+127.5)/(5060)=9.42（秒）=0.157(分
5、钟),求得平均服务时间为:,所以平均服务率为:,=6.37(顾客/分钟),结果分析 上述模型求出的平均服务时间为9.4秒,这与实际情况大体吻合;等待队长的期望值为12.88顾客,明显偏长,但实际上,高峰期往往排队会更长些,这主要是因为在高峰期,用餐人数比闲时明显增多(如下图所示),且持续时间较长;相应地,现实中高峰期的等待时间也比求得的平均等待时间(2.17分钟)要久.,时段,到达人数,窗口设置改进,现假设各时段内的用餐人数是均匀增加的,根据各时段的到达人数分别求出每个时段需要的窗口数,如下表所示.,窗口数,时段,所以,给食堂管理部门的建议,按就餐人员到达时间设置窗口:12:00前个,12:00后3个,12:05后4个,12:15后5个,12:35后4个,12:40后2个.调整后,就餐人员排队等待时间仅为原来的一半,排队造成的不满也将明显减少;同时,食堂窗口所需要的人力成本也相应地减少.,某些饭菜受欢迎而有一些却不受欢迎,这样使得某些窗口前排队过久引起不满,而另有一些窗口空闲造成资源浪费,增加了食堂的运营成本,建议食堂提高烹调技艺,全面改善饭菜质量.,
